例 8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}  F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。

定义8.1设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数(函数也可以称作映射)。对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x的值。例8.1设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}  F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。定义8.2设F，G为函数，则 F=GFG∧GF 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：1．domF=domG 2．x∈domF=domG都有F(x)=G(x) 例如函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为 domF={x|x∈R∧x≠-1} 而domG=R。domF≠domG。

定义8.3设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A，ranfB，则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。 例如f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数，g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。符号化表示为 BA={f|f：A→B} 例8.2设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。

例8.2设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。 解BA={f0,f1,…,f7}，其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>} 由排列组合的知识不难证明：若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|BA|= ? 当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：1. A=ф且B=ф，则BA={ф}。2. A=ф且B≠ф，则BA={ф}。3. A≠ф且B=ф，则BA=ф。

定义8.5设函数f：A→B,A1A,B1B。(1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。特别的，当A1=A时称f(A)为函数的像。 (2) 令f -1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f -1(B1)为B1在f下的完全原像。在这里注意区别函数的值和像两个不同的概念。函数值f(x)∈B，而像f(A1)B。问：f -1(f(A1))恒等于A1吗？例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足f(1)=f(2)=0,f(3)=1

定义8.6设f：A→B，(1)若ranf=B，则称f：A→B是满射的。(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f：A→B是单射的。(3)若f：A→B既是满射又是单射的，则称f：A→B是双射的(或一一映像)。如果f：A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。如果f：A→B是单射的，则对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。

例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?(1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1(2) f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集(3) f：R→Z，f(x)=x (4) f：R→R，f(x)=2x+1(5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。解(1) f：R→R，f(x)=-x2+2x-1是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。 (2) f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…}R。 (3) f：R→Z，f(x)=x是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。

例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?(1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1(2) f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集(3) f：R→Z，f(x)=x (4) f：R→R，f(x)=2x+1(5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。 (4) f：R→R，f(x)=2x+1是满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。 (5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x不是单射的，也不是满射的，当x→0时，f(x)→+∞；而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。

例8.5对于以下各题给定的A，B和f，判断是否构成函数f：A→B。如果是，说明f：A→B是否为单射,满射,双射的。并根据要求进行计算。(1) A={1,2,3,4,5}B={6,7,8,9,10}f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}(2) A,B同(1)，f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}。(3) A,B同(1)，f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}。(4) A=B=R，f(x)=x3。(5) A=B=R+，f(x)=x/(x2+1)。(6) A=B=R×R，f(<x,y>)=<x+y,x-y>，令 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}，计算f(L)。(7) A=N×N，B=N，f(<x,y>)=|x2-y2|。计算f(N×{0}),f -1({0})。解(1) 能构成f：A→B,但f：A→B既不是单射也不是满射，因为f(3)=f(5)=9，且7ranf。

(2) f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}。 不能构成f：A→B，因为f不是函数。<1,7>∈f且<1,9>∈f,与函数定义矛盾。 (3) f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}。不能构成f：A→B，因为domf={1,2,3,4}≠A。 (4) A=B=R，f(x)=x3。能构成f：A→B，且f：A→B是双射的。 (5) A=B=R+，f(x)=x/(x2+1)。能构成f：A→B，但是f：A→B既不是单射的也不是满射的。因为该函数在x=1取得极大值f(1)=1/2。函数不是单调的,且ranf≠R+。

(6)A=B=R×R，f(<x,y>)=<x+y,x-y>，令 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}，计算f(L)。(6)A=B=R×R，f(<x,y>)=<x+y,x-y>，令 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}，计算f(L)。能构成f：A→B，且f：A→B是双射的。f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R×{-1} (7) A=N×N，B=N，f(<x,y>)=|x2-y2|。计算f(N×{0}),f -1({0}) 能构成f：A→B，但是f：A→B既不是单射的也不是满射的。因为f(<1,1>)=f(<2,2>)=0，且2ranf。f(N×{0})={n2-02|n∈N}={n2|n∈N}, f -1({0})={<n,n>|n∈N}。

定义8.7(1) 设f：A→B，如果存在y∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=y，则称f：A→B是常函数。(2) 称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数，对所有的x∈A都有IA(x)=x。(3) 设<A, >，<B, >为偏序集，f：A→B，如果对任意的x1，x2∈A，x1 x2，就有f(x1) f(x2)，则称f为单调递增的；如果对任意的x1，x2∈A，x1 x2，就有f(x1) f(x2)，则称f为严格单调递增的。类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。 (4) 设A为集合，对于任意的A'A，A'的特征函数A'：A→{0,1}定义为A'(a)=1，a∈A' A'(a)=0，a∈A-A'(5) 设R是A上的等价关系，令g：A→A/Rg(a)=[a]，a∈A称g是从A到商集A/R的自然映射。

例 8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}  F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。