Greek s

1. Greeks Chapter 18 «Read Ben Graham and Phil Fisher, read annual reports, but don't do equations with Greek letters in them.» WarrenBuffett

2. Problem • Tezgah üstü piyasada opsiyon satan bir mali kuruluş riskleri yönetmekte sorun yaşayacaktır. • Eğer benzer bir opsiyon bir borsada işlem görüyorsa satışını yaptığı opsiyona benzer opsiyonu borsadan satın alarak açık konumunu bu şekilde yönetebilir. • Eğer bu seçenek mümkün değilse mali kurumun kendini koruması zor olacaktır. • Mali kurumların bu gibi risklerin farklı boyutlarından kendilerini korumak için kullandıkları araçların her biri farklı Yunan harfleriyle betimlenmiştir.

3. Örnek Olay • Konunun devamında aşağıda verilen örnek senaryo incelenecektir: • Bir mali kuruluş $300,000’a 100.000 hisse senedi için Avrupa tipi Call opsiyonunu temettü vermeyen bir hisse için satmış olsun. • Hisse senedi spot fiyatı (S0) $49, uygulama fiyatı (K) $50, risksiz faiz oranı (r) %5, senedin fiyat oynaklığı (σ) %20, uygulama vadesi (T) 20 hafta (20/52=0,3846 yıl) ve hisse senedinin beklenen getirisi (µ) yıllık %13’dür • Black-Scholes-Merton opsiyon fiyatlaması uyarınca bu miktar için opsiyonun fiyatı $240.000 (her bir hisse için $2.4) • Bu durumda kuruluş opsiyonu teorik fiyatın $60.000 üzerinde satmıştır, fakat halen risklere karşı korumasızdır.

4. NakedandCoveredpositions–Açık ve Örtülü konum • Naked: Mali kuruluşun (firma) hiçbir şey yapmadan beklemesi durumu.Bu durumda hisse fiyatı $50’ın altına gerilerse firma için bir sorun olmaz. Opsiyon uygulanmaz ve firma $300,000 kâr elde eder.Eğer hissenin fiyatı vade sonunda, örneğin, $60’a çıkarsa ise firma hisse başına $7 zarar edecektir: Kâr = (50-60+3)*100.000 = (-7)*100.000 = ($700,000) • Covered: Firma opsiyona konu olan (100.000 adet) hisse senedini satın alması durumu.Bu durumda opsiyon uygulanırsa firma kendini önceki senaryonun zararından korumuş olurken aksi durumda yine risk altındadır.Eğer vade sonunda hisse fiyatı $40 ise firma hisse başına $6 zarar edecektir: Kâr = (40-49+3)*100.000 = (-6)*100.000 = ($600,000)

5. NakedandCoveredpositions–Açık ve Örtülü konum • İki durumda da zarar olasılığı bulunduğu için açık ve örtülü konumlar koruma aracı olarak çalışmamaktadır. • Black-Scholes-Merton fiyatı $240,000 olduğuna göre bu işlem sonucunda opsiyonun fiyatı $240,000’a yakın ve firmanın teorik kârı $60.000 olmalıdır. $300,000 - $240,000 = $60,000

6. Stop-lossstrategy–zararı durdurma stratejisi -1- • Bir diğer yöntem firmanın kendini zarardan korumak için senet fiyatının hareketlerine göre açık ve örtülü konuma geçmesi olarak belirtebiliriz. • Hisse senedinin fiyatı dalgalandıkça (σ=%20) firma kendi konumunu ayarlar: • Hisse senedi fiyatı uygulama fiyatını aşarsa hisse senedini satın alarak konumu kapatır aksi halde açar. • t1, t3, t5: örtülü konum • t2, t4: açık konum K T t1 t2 t4 t5 t3

7. Stop-lossstrategy–zararı durdurma stratejisi -2- • Firma alım ve satım sonucu zarardan kurtulacağı için vade sonunda elde edeceği kazanç aldığı opsiyon primi olacaktır. • Bu korunma stratejisinin maliyeti (Q) aşağıdaki şekilde gerçekleşecektir: Q = max(S0 – K, 0) • Eğer t=0 da koruma altına alsa idi S0 olacaktı fakat K>S0 olduğu için (S0 – K) olarak gerçekleşir • Eğer ST<K ise 0 olur • Bu formülün doğru olması için işlem maliyetinin 0 olması gerekir • Bunun şekliyle Q her zaman Black-Scholes-Merton fiyatından aşağı olacaktır ve bir yatırımcı bu stratejiyi kullanarak her zaman risksiz kâr elde edebilir.Fakat bu iki temel nedenle mümkün değil: • Firmanın kendini korumak için yatırıma ayırması gereken nakit miktarı ve bunun maliyeti • Alım satım işlemlerinin uygulama fiyatından farklı bir fiyattan yapılması

8. Stop-lossstrategy–zararı durdurma stratejisi -3- • İkinci engel firmanın korunma maliyetini belirgin bir şekilde arttıracaktır: • Etkin bir piyasada firma hisse sendi fiyatının ne yönde ilerleyeceğini bilemeyecektir. Bunun sonucu olarak ve piyasa işleyişi gereğince firma açığını kapatırken K + ϵgibi bir fiyattan hisse senedi alırken açık konuma geçerken de K - ϵgibi bir fiyattan satış gerçekleştirecektir. • Buna bağlı olarak zarardan korunma stratejisi her seferinde, işlem maliyeti dışında, (K+ϵ)-(K-ϵ)= 2ϵmaliyet doğuracaktır. • Bu durumda firma ϵ’yi küçültmek için piyasayı yakından takip etmeli ve alım-satım sıklığını artırmalıdır

9. Stop-lossstrategy–zararı durdurma stratejisi -4- • Zararı durdurma stratejisi yüzeysel bakılınca cazip görünse de iyi çalışan bir yöntem değildir: • Out-of-the-money opsiyonlarda korunmanın maliyeti bulunmamakta • Hisse senedi fiyatının vadeye kadar uygulama fiyatını çokça kesmesi durumunda ise maliyeti epeyce artmakta • Monte Carlo simülasyonu tarihsel fiyat oynaklığı verisine bağlı rastgele sayılar üreterek tahmini maliyeti ortaya çıkarabilmektedir. • Koruma performansı: • Monte Carlo yöntemi ile yapılan bir simülasyonda zararı durdurma stratejisinin hisse senedi fiyatı ne kadar yakından takip edilse de 0.70’in altına düşmediği görülmüş (1.02 – 0.70) Koruma maliyeti = Koruma performansı * Black-Scholes-Merton fiyatı Koruma maliyeti = 0.70*$240,000 = $168,000

10. Delta hedging– Δ -1- • Bir hisse senedi fiyatının değişimi sonucu hisse senedi opsiyonunun fiyat değişiminin oranını gösterir. • Delta koruması satışını yaptığımız bir opsiyonun karşılığında ne kadar hisse senedi bulundurmamız konusunda yol gösterir. • Call opsiyon için delta koruması pozitif ve put opsiyonu için delta koruması negatif sonuç verir. • Örnek: • Hisse senedi fiyatı $18’dan $22’a çıktığında opsiyon fiyatı (call) $0’dan $1’e çıkıyorsa:Δ = (1-0)/(22-18) = 0,25 • Hisse senedi fiyatı $48’dan $62’a çıktığında opsiyon fiyatı (put) $4’dan $0’a düşüyorsa:Δ = (0-4)/(62-48) = -0,1667

11. Delta hedging– Δ -2- • Delta bir hisse senedi fiyatında (S) yer alan değişim karşılığında hisse senedi opsiyon fiyatında (c) oluşan değişim olarak tanımlanmakta:Δ = δc/δS • O halde bir hisse senedi fiyatı küçük bir değişim ($1) gösterdiğinde, örneğin, hisse senedine bağlı bir Call opsiyonu fiyatı buna bağlı ($0.6) bir değişim gösteriyorsa bu opsiyonun Delta’sı:Δ = 0.6/1 = 0,6olarak hesaplanır • Bu durumda opsiyonu satan taraf açık konumun yarattığı bu riskten kurtulmak için Delta oranında açığını kapatması yeterli olacaktır.

12. Delta hedging– Δ -3- • Bu durumda opsiyonu satan taraf açık konumun yarattığı bu riskten kurtulmak için Delta oranında açığını kapatması yeterli olacaktır: • Örnek:Bir yatırımcının $100 değerinde bir hisse senedi için $10 karşılığında 20 Call opsiyonu yazdığını düşünelim.Bu durumda yatırımcının açık pozisyonu (20*100=) 2000 adet hisse senedi olacaktır.Hisse senedinin değeri $101 olduğunda opsiyonun fiyatı $10.60 olursa yatırımcı yazmış olduğu opsiyondan $1200 kaybederken,Delta koruması neticesinde satın aldığı (0,60*2000=) 1200 adet hisse senedinden $1200 kazanarak kendini koruma altına almış olacaktır. • Bu durumda yatırımcı Delta (neutral) tarafsız olarak adlandırılır.

13. Delta hedging– Δ -4- • Bir opsiyonun Delta’sı doğrusal hareket etmez ve dolayısıyla sabit kalmaz: • Yatırımcı pozisyonunu dengelemişken opsiyonun Delta’sı değişebilir. • Bu durumda yatırımcı konumunu yeniden dengelemek durumunda kalacaktır (rebalancing) • Önceki örnekten devam edecek olursak;A fiyat seviyesinde Δ = 0,60B fiyat seviyesinde Δ = 0,65 olsun • Hisse senedi fiyatı B olduğunda yatırımcı daha fazla hisse senedi alarak açığını kapatmak zorundadır: (2000*0,65)-(2000*0,60) = 100 • Bu işlemin adı Dinamik koruma (Dynamichedging) olarak anılmaktadır Opsiyon fiyatı Eğim = 0,65 Eğim = 0,60 B A Hisse senedi fiyatı

14. Delta hedging– Δ -5 • Statik koruma (Statichedging – hedgeandforget):Opsiyon satılırken portföy koruma altına alınır ve değişimler karşısında tekrar dengeleme yapılmaz • Her iki yöntemde de Portföy= -1*Opsiyon + Δ*Opsiyon*Hisse Senedi‘nden oluşur

15. Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası -1- Black-Scholes-Merton opsiyon fiyatlama formülleri: • N(x): Normal dağılıma göre x’den küçük olma olasılığı • Δ(call) = N(d1) • Yatırımcı opsiyon satarak –N(d1) kadar hisse senedi kısa konumuna geçmiştir. • Temettü vermeyen bir hisse senedine bağlı bir call opsiyonu için bulundurulması gereken hisse miktarını vermesi için pozitif değerlidir. • Δ(put) = N(d1) – 1 • Yatırımcı put opsiyonu satarak hisse senedinde uzun konuma geçmiştir ve bunu dengelemek için negatif değerli bir delta oranında (N(d1) – 1<0) hisse senedinde kısa pozisyon almalıdır.

16. Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası -2- Baştaki örneği yukarıda geçen formülle hesaplarsak: • N(0,0542) = 0,522 • Buna göre hisse senedi değişimi karşısında opsiyon fiyatı %52,2 kadar değişim gösterecektir.Bu nedenle opsiyonu satan taraf opsiyonun dayalı olduğu hisse senedinin %52,2’si kadar hisse senedi bulundurmalıdır. • S0=49, K=50, r=5%, T=0,3846, σ=20%

17. Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası -3- Temettü vermeyen bir hisse senedinin Call ve Put opsiyonlarının değişimleri: • Opsiyonun uygulama tarihi ve Delta değişimi Δ(call) Δ(put) Δ(call) Hisse senedi fiyatı K 0 1 Inthemoney 1 At themoney Out of themoney 1 0 Hisse senedi fiyatı K 0 Vadeye kalan süre

18. Delta korumasının hareketli görünümü • Monte-Carlo simülasyonu sonucu Delta korumasının performansı:

19. Bir portföyün deltası • Bir hisse senedine (S) dayalı farklı opsiyonların bir portföyü elde bulunduruluyorsa portföyün Deltası:Π: Portföy değeri Örnek: Bir portföy aynı hisse senedinin aşağıda listelenen farklı opsiyonlarını içeriyor olsun: • 100,000 Call-Long K=$55 T=3ay Δ=0,533 • 200,000 Call-Short K=$56 T=5ay Δ=0,468 • 50,000 Put-Short K=$56 T=2ayΔ=-0,508 100,000*0,533-200,000*0,468-50,000*(-0,508)=-14,900 Bu durumda portföy 14,900 adet hisse senedi alınarak Delta Yansız yapılabilir

20. Theta (Θ) -1- • Bir opsiyon portföyünün Theta’sı, her şey sabit kaldığı durumda, zaman geçtikçe portföyün değerinde oluşan değişimdir. Bir başka değişle portföyün zamanla bozulmasıdır. • Formülde yer alan T yıl sayısını belirtmektedir. • Portföy diğer koşullar değişmese dahi hergün bozulacağı için Theta hesabı gün sayısıyla (365 - DerivaGem) veya işlem günü sayısıyla (252)yapılır. • Bir put opsiyonunda bozulma call opsiyonunda yer alan bozulmadan daha fazla olacaktır: • Bu pozitif getiri beklentisiyle de açıklanabilir.

21. Theta (Θ) -2- • Başta verilen örneğin Theta’sı: • S(0)=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846 • -4,31 • Her takvim günü için Theta=-4,31/365 = -0,0118 • Her işlem günü için Theta =-4,31/252= -0,0171 • Buna göre satılan her opsiyonun değeri, hisse senedi fiyatı değişmese dahi, her gün (takvim/işlem) 0,0118/0,0171 kadar düşecektir. • Theta portföy korumak için değil açıklayıcı bir istatistik olarak kullanılmaktadır • Vadeye kalan süre azaldıkça At the Money opsiyonunun Theta’sı yüksek miktarda negatif olmakta yani değeri hızlı bir şekilde düşmektedir. Θ Vadeye kalan süre 0 Out of themoney Inthemoney At themoney

22. Gamma (Γ) -1- • Bir opsiyon portföyünün Gama’sı dayalı varlığın fiyatının opsiyon portföyünün deltasını ne miktarda değiştirdiğini gösterir. • Bir portföyün Gama’sı portföyün(Π) dayanak varlık (S) üzerinden ikinci dereceden türevidir: • Eğer Gama küçükse Delta değişimleri küçük olacaktır ve Delta Yansız bir portföyü dengelemek için daha seyrek alım-satım yapılacaktır. • Eğer Gama büyükse dayanak varlığın fiyat değişimlerine çok duyarlı demektir.

23. Gamma (Γ) -2- • A noktasında Delta Yansız olan bir portföy dayanak varlık fiyatı B noktasına geldiğinde Delta doğrusal kabul edilip yansız bir portföy oluşturulmaya çalışılırsa Delta’nın doğrusal olmayan hareketi nedeniyle bir hata ortaya çıkacaktır (b’-b) ve portföy yansız olmaktan çıkacaktır. • Gamma bize bu eğriliği vermektedir. Opsiyon fiyatı b’ b Eğim = 0,65 a A B Hisse senedi fiyatı

24. Gamma (Γ) -3- • : Küçük bir zaman aralığı • Küçük zaman aralığında dayanak varlıkta oluşan fiyat değişimi • : Dayanak varlık fiyat değişimi karşılığı portföyde oluşan fiyat değişimi • : Delta Yansız bir portföyün Theta’sı • Bir portföyün Gamma’sı büyüdükçe dayanak varlık fiyat değişimleri sonucu portföyün fiyat değişimleri derinleşecektir. • Delta Yansız bir portföyün Gamma’sının -10,000 olduğunu varsayarsak dayanak varlıkta +2 veya-2 lik bir fiyat değişimi olursa portföyün değeri; 0,5*10000*2^2 = ±20,000kadar değişecektir

25. Gamma (Γ) -4- • Bir opsiyon portföyünü Gamma Yansız yapmak için dayanak varlık kullanılamaz; onun yerine eğimi azaltacak bir başka aracı portföye dahil etmek gerekir: • Şuan elimizde bulunan Delta Yansız bir portföyün Gamma’sıΓ, alım-satımı yapılan opsiyonun Gamma’sı ise ΓT ve ağırlığı wT olursa yeni portföyün Gamma’sı: olarak hesaplanır • O halde başlangıçtaki portföyü Gamma Yansız yapmak için portföye dahil edilmesi gereken opsiyonun ağırlığıolmalıdır • Portföyün içeriği değiştiğinde Delta’sı değişeceği için portföyü Delta Yansız yapmak için dayanak varlık ağırlığı da uyarınca yapılmalıdır. • Delta eğrisi (b’) doğruya (b) çevrileceğinden dayanak varlık portföyü tekrar düzenlenmelidir. Bu da alım-satım faaliyetini azaltacaktır. • Delta Yansız portföyün ΓGamma’sı -3000 ve portföye katılan opsiyonun ΓT göreceli Gamması 1,5 ve Deltası 0,62 isekadar dayanak varlık portföyden çıkarılabilir

26. Gamma (Γ) -5- • Temettü vermeyen bir hisse senedi için Avrupa tipi Call veya Put opsiyonu Gamma’sıformülüyle hesaplanır • S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846; d1=0,0542 • =0,0655 • Dayanak varlığın fiyatı ΔS miktarda değiştiğinde opsiyonun deltası0,0655*ΔSkadar değişecektir. At the Money Γ Out of the Money Γ Inthe Money 0 K Hisse Senedi Fiyatı Vade

27. Vega (ν) (Küçük nu) -1- • Bir opsiyon portföyünün Vega’sı dayanak varlık standart sapmasında oluşan değişimler karşısında oluşan portföy değerindeki değişimdir • Bir opsiyon portföyünün Vega’sı (ν) , Gamma’ya benzer şekilde, dayanak varlık alımıyla (satımıyla) azaltılamazken bir başka opsiyonun (νT) portföye dahil edilmesiyle (long/short) değiştirilebilirBu yöntemle portföy portföy Vega Yansız bir duruma getirilebilir. • Bu yöntemin uygulanabilmesi için Delta Yansız bir portföyekadar yani opsiyon katılmalıdır • Fakat bu yöntemle portföy Delta ve Vega Yansız olduğu halde Gamma Yansız olmayacaktır.Bir portföyü Gamma ve Vega Yansız yapmak için aynı dayanak varlığa bağlı iki opsiyonun portföye eklenmesi gerekir.

28. Vega (ν) -2- • Amaç Gamma’yı ve Vega’yı Yansız (0) yapmak olduğu için; • İki denklemin çözümü sonucuw1=400, w2=6000bulunur ve ilk portföye ağırlıklarınca iki opsiyon daha eklenir. • Son halde oluşturulan portföy ise Delta Yansız olmayacağı içinadet dayanak varlık son portföye eklenmelidir.

29. Vega (ν) -3- • Bir portföyün Vega’sıformülüyle hesaplanır • S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846; N’(d1)= Bu durumda portföyün standart sapması (değişkenliği) %1 (Δσ) artarsa (%20 -> %21) opsiyon portföyünün değeriartacak demektir

30. Rho (ρ) • Risksiz faiz oranında oluşan bir değişim sonucu opsiyon portföyünün değerinde gerçekleşen değişimi ölçer • Diğer koşullar aynı kalmak kaydıyla faiz oranı değiminin portföy değerine etkisi:ile hesaplanır • S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846 O halde risksiz faiz oranı (r) bir puan (Δr=%1) artarsa (%5 -> %6) opsiyon portföyünün değeri0,01*8,91 = 0,0891kadar artar