LA ARMONÍA EN LA NATURALEZA : EL NÚMERO ÁUREO

1. LA ARMONÍA EN LA NATURALEZA: EL NÚMERO ÁUREO La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa. Kepler

2. El número designado con letra griega  = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea

3. La sección áurea y el número de oro La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente.

4. ESTE ES EL NÚMERO ÁUREO Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es:

5. El rectángulo áureo Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo R Q o A B C

6. Construcción del rectángulo áureo: Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y compás. Procederemos de la siguiente manera: 1.Construímosun cuadrado de lado 2a 2a 2a

7. 2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales, y trazamos la diagonal del segundo rectángulo: 2a a a Por el teorema de Pitágoras se tiene:

8. ABCD, ES RECTANGULO ÁUREO 3.marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene: B C 2a D a a A

9. POR TANTO ABCD ES RECTÁNGULO ÁUREO Como determinar cuando un rectángulo es áureo. N P D C x y x y A B M Como los triángulos rectángulos ABC y AMN son semejantes resulta:

10. ESPIRAL ÁUREA O ESPIRAL DE DURERO Si tomamos un rectángulo áureo (largo/ancho=nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo áureo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo

11. Otra espíral gnómica basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior. Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tiende hacia el número de oro. La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos. Espiral de Durero El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo.

12. EN LA NATURALEZA La espiral (El número de oro) está en los moluscos como el NAUTILUS,

13. En el huevo de las aves se encontrado también relaciones del número áureo.

14. Está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc EN EL GIRASOL EN LAS FLORES

15. En las aves En las hormigas

16. En las plantas En las flores

17. Galaxias del Universo

18. Galaxias Lenticulares

19. En un tsunami

20. EN LA ECONOMÍA Sucarnet de identidad es un rectángulo áureo, y por tanto las tarjetas de crédito, y gran parte de las tarjetas que utilizamos.

21. a b En los objetos caseros

22. EN EL SER HUMANO EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACIÓN DEL NÚMERO ÁUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCI LEONARDO DA VINCI LUCA PACCIOLI LUCA PACCIOLI A LA PROPORCIÓN ÁUREA LA DENOMINÓ PROPORCIÓN DIVINA POR SUS PROPIEDADES.

23. LEONARDO DA VINCI ENCONTRÓ EL NÚMERO ÁUREO EN RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO. VITRUBIO

24. En la mano humana, la distancia entre las falanges están en razón áurea. Es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos. Cuando los dientes no están juntos, la línea de los labios divide la parte inferior del rostro según la proporción áurea.

25. Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razón áurea de su altura.

26. Para verificar las medidas antropométricas en el ser humano podemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razones geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción geométrica.

27. Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho=nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo Esta espiral se encuentra en un gran nº de moluscos como el Nautilus de la foto. El número de oro está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc

28. EN EL ARTE LA GIOCONDA LEONARDO DA VINCI LA SAGRADA FAMILIA MIGUEL ANGEL

29. Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

31. LEDA ATOMICA

32. Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres esculturas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.)

33. Aparece en la Venus de Milo. Venus de Milo Museo del Louvre, París

34. EN LA ARQUITECTURA Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas y armoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea EL PARTENÓN GRIEGO

35. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

36. Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es

37. Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habianenseñado que las proporciones establecidas en la Gran Pirámide eran tales que: El cuadrado de la altura de la piramide es igual al área de cada una de las caras triangulares. Es decir: ( 1 ) Por el teorema de Pitágoras en el triángulo POM: Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se tiene: Tenemos la ecuación del número Áureo:

38. Pitágoras y el número de oro Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruídoen las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

39. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro. Así La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal están en proporción áurea.

40. A Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), se tiene: N F G M MF = NG = 1; MG =  De donde se tiene: Cuya raíz positiva es:

41. ¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?. Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional,de cuya existencia tuvieron conciencia antes que, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.

42. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en el dibujo que Leonardo da Vinci, hizo para ilustrar el libro LaDivina Proporción de Luca Paccioli, editado en 1509. Leonardo da Vinci "Huye de esos estudios cuyo resultado muere con el que los hace.“ Luca Paccioli

43. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de90º con el tronco. b a Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo Es decir: Vitrubio

44. La sucesión de Fibonacci y el número áureo. La serie de Fibonacci proviene de considerar la serie que se forma mediante (comenzando la serie por 1, se tiene) : 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, ... , 8 + 13 = 21, .... Leonardo de Pisa La serie de Fibonacci queda establecida mediante la serie numérica siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..... Cada número es la suma de los dos números anteriores

45. La sucesión formada por los cocientes de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … • f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1 • f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 Finalmente se tiene: • f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 •f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66... • f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 • f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 •f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ... •f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ... • f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...

46. Al dividir dos números consecutivos de la serie de Fibonacci, el resultado converge a 0,618 ó 1,618 13 / 21 = 0.619047619 21 / 34 = 0.617647058 34 / 55 = 0.618181818 Adviértase que, 1 / 0,618 = 1,618 1 / 1,618 = 0,618 21 / 13 = 1.615384615 34 / 21 = 1.619047619 55 / 34 = 1.617647059

47. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 1.5 1.6 2 1.615.. 1.625.. 1.66.. 1 1.618….

49. Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.

50. Verdes – 5, Naranjas –8 Verdes – 8, Rojas –13