Moje katharsis

1. Moje katharsis czyli rozmyślania zakochanej w muzyce matematyczki Marlena Fila Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

2. Spis rzeczy: • Matematyka i muzyka… • …dziedzina sztuki, • abstrakcyjny twór… • Prawdziwie znana tylko wybranym… • …i wymagająca całkowitego oddania. • Twierdzenie o izomorfiźmie oktaw. • Pewna piękna definicja… • Wyjątkowość liczby pięć. • Bibliografia.

3. Dziedzina sztuki…

4. …abstrakcyjny twór…

6. …prawdziwie znana wybranym…

7. …wymagająca całkowitego oddania. Georg Cantor (1845 -1918) Wolfgang Amadeusz Mozart (1756-1791) Robert Schumann (1810-1856) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

8. Twierdzenie: Każde dwie oktawy są izomorficzne.

9. Dowód: Oznaczmy oktawy: O1, O2. Określmy odwzorowanie j: O1→O2 w następujący sposób: c1→c2 d1→d2 … h1→h2. • Homomorficzność O1i O2 : oczywiste. • Iniektywność: nie ma dwóch różnych nut, których obraz w odwzorowaniu jjest tą samą nutą. • Suriektywność: nie ma takiej nuty w oktawie O2, której nie odpowiadałaby żadna nuta w oktawie O1. Stąd odwzorowanie j jest bijekcją.Z faktu, że O1 i O2 są homomorficzneoraz z tego, że odwzorowanie j jest bijekcją dostajemy natychmiast tezę twierdzenia. □

10. Zdarzyło się sto lat temu… David Hilbert (1862-1943) Arnold Schönberg (1874-1951)

11. Dodekafonia Def. Seria (niem. Reihe – szereg) opiera się na skali dwunastostopniowej, przy czym każdy dźwięk jest tutaj samodzielny i niezależny od innych. Wszystkie dźwięki są jednakowo ważne. Żaden nie może być pominięty. Żaden nie może się powtórzyć. Tak skonstruowana seria reguluje ściśle następstwo dźwięków, ale nie reguluje ich przynależności do danej oktawy. G. Szarecka: „Muzykologia dla dzieci i młodzieży. Kurs słuchania muzyki”, Wydawnictwo Szkolne Paderevianum, Warszawa 2004

12. Seria występuje w czterech postaciach: • Postać oryginalna, podstawowa; • Inwersja – opiera się na odwróconych interwałach; • Rak – wersja oryginalna czytana od tyłu; • Inwersja raka – złożenia raka i inwersji.

13. Izometrie na płaszczyźnie Symetria Obrót Translacja

14. Seria występuje w czterech postaciach: Ad. 1: Postać oryginalna: Ad. 2: Odbicie jej w pionie tworzy inwersję: Ad. 3: Odczytanie od tyłu to seria retragonalna, tzw. rak: Ad. 4: Inwersja raka – złożenie raka i inwersji:

15. 5

16. Twierdzenie: Niech f: [a,b]→R będzie ciągłym odwzorowaniem. Jeżeli f(x1)˃O dla pewnego x1ϵ[a,b]oraz f(x2)˂O dla pewnego x2ϵ[a,b], to istnieje x0ϵ[a,b]taki, że f(x0)=O. Dowód: Niech T=f([a,b]). Wówczas T jest spójną przestrzenią. Jeżeli zero nie należy do T, to T=(R-∩T)ᴗ(R+∩T), gdzie: R-={xϵR: x˂O}, R+={xϵR: x˃O}. Oczywiście (R-∩T)∩(R+∩T)=Ø i zbiory: R-∩T, R+∩T są otwarte w T. Ponieważ T jest spójna, otrzymujemy sprzeczność. Stąd OϵT, tzn. O=f(x0) dla pewnego x0ϵ[a,b]. □

17. Dziękuję za uwagę

18. Bibliografia: • Literatura przedmiotu: • 1) Słowniczek muzyczny, Jerzy Habela, Polskie Wydawnictwo Muzyczne SA, Kraków 2005, ISBN: 83-224-0336-4. • 2) Zasady muzyki, Franciszek Wesołowski, Polskie Wydawnictwo Muzyczne SA, Kraków 2008, ISBN: 978-83-224-0461-4. • 3) Muzykologia dla dzieci i młodzieży; kurs słuchania muzyki, Grażyna Szarecka, Wydawnictwo Szkolne Paderevianum, Warszawa 2004, ISBN: 83-9206128-0-2. • 4) Mała encyklopedia muzyki, Józef Władysław Reiss, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1960. • 5) Z muzyką przez wieki i kraje; historia muzyki, Bogusław Śmiechowski, (pisałam na podstawie własnych notatek z tego podręcznika zrobionych kilka lat temu; samego podręcznika niestety nie udało mi się już odzyskać). • 6) Matematyka dla humanistów, Michał Szurek, Wydawnictwo RTW, Warszawa 2000, ISBN: 83-7294-0004-5. • 7) Matematyka przy kominku, Michał Szurek, Wydawnictwo btc, Legionowo 2008, ISBN: 978-83-60233-33-7. • 8) O nauczaniu matematyki; wykłady dla nauczycieli i studentów, tom VIII, wykład 15: Geometria, Michał Szurek, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 2006, ISBN-10: 978-83-7420-074-X; ISBN-13: 83-7420-074-5. • 9) Filozofia matematyki; Antologia tekstów klasycznych, Roman Murawski, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2003, ISBN: 83-232-1239-2. • 10) Wikipedia: http://pl.wikipedia. • 11) H. Kąkol: skrypt z topologii ogólnej.

19. II. Utwory muzyczne: • Genesis: " Firth of fifth" 1973r. • Joe Hisaishi Departures: „Memory” (ścieżka dźwiękowa z filmu pt. „Pożegnania”; Japonia, 2008r. • System of a Down: Toxicity: „Toxicity” (cover: http://www.youtube.com/watch?v=WMKmQmkJ9gg) • „Civilisations Brought By Sea” – ścieżka dźwiękowa z filmu pt. Apocalipto; 2006r. • Vanessa Mae: „Red Violin”, 1995r.

20. III. Fotografie: • http://www.jezuici.krakow.pl, http://www.hinkenberg.de,http://pl.123rf.com, http://mojamuzyka.manifo.com,http://zamek-sandomierz.pl, http://www.mathsisfun.com,http://www.fanpop.com, http://amicojoe.altervista.org,http://explow.com, http://pl.wikipedia.org,http://www.wwmusic.pl, A. Sołtysiak: skrypt z analizy matematycznej, http://poznan.olx.pl,http://pl.123rf.com, http://www.docstoc.com,http://amazingdata.com, http://www.dipity.com,http://www.maximus.pl, http://www.highestfive.com,http://muzykotekaszkolna.pl, http://www.matematycy.interklasa.pl,http://www.mathematik.uni, bielefeld.de,http://www.violinstudent.com, http://www.edustat.com.pl,http://www.math.edu.pl, http://www.gnosis.art.pl, http://www.nasze-tatuaze.pl, http://piotreko.w.staszic.waw.pl