Aproksimacija i interpolacija

1. Aproksimacija i interpolacija Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

2. Opći problem aproksimacije • Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu , na osnovu tih informacija želimo f zamijeniti nekom drugom funkcijom na skupu X, tako da su f i bliske u nekom smislu. Skup X je najčešće interval oblika (može i neograničen), ili diskretni skup točaka. • Problem aproksimacije javlja se u dvije bitno različite formulacije:

3. Opći problem aproksimacije a) Poznata je funkcija f (npr. analitički), ali je njena forma prekomplicirana za računanje. U tom slučaju odabiremo neke informacije o f (koje ćemo koristiti)i po nekom kriteriju odredimo aproksimacijsku funkciju . Jednako tako, možemo ocijeniti grešku dobivene aproksimacije, obzirom na pravu vrijednost funkcije f.

4. Opći problem aproksimacije b) Funkcija f nije poznata, ali su poznate samo neke informacije o njoj, npr. vrijednosti na nekom skupu točaka. Zamjenska funkcija određuje se iz raspoloživih informacija, koje, osim samih podataka, uključuju i očekivani oblik ponašanja podataka, tj. funkcije . U ovom se slučaju ne može napraviti ocjena pogreške bez dodatnih informacija o nepoznatoj funkciji f . Varijanta (b) je puno češća u praksi. Najčešće se javlja kod mjerenja raznih veličina, jer, osim izmjerenih podataka, pokušavamo aproksimirati i podatke koji se nalaze “između” izmjerenih točaka.

5. Opći problem aproksimacije Primijetimo da se kod mjerenja javljaju i pogreške mjerenja, pa postoje posebne tehnike za ublažavanje tako nastalih grešaka. Funkcija bira se prema prirodi modela, ali tako da bude relativno jednostavna za računanje. Ona obično ovisi o parametrima , koje treba odrediti po nekom kriteriju, tzv. opći oblik aproksimacijske funkcije.

6. Opći problem aproksimacije Oblike aproksimacije funkcije možemo (grubo) podijeliti na: a) linearne aproksimacije funkcije , b) nelinearne aproksimacije funkcije.

7. Linearne aproksimacije funkcije Opći oblik je , gdje su poznate funkcije koje znamo računati. Primijetimo da se linearnost ne odnosi na oblik funkcije , već na njenu ovisnost o parametrima koje treba odrediti. Prednost ovog oblika aproksimacijske funkcije je da određivanje parametara obično vodi na sustave linearnih jednadžbi.

8. Linearne aproksimacije funkcije Najčešće korišteni oblici linearnih aproksimacijskih funkcija: 1. Algebarski polinomi, tj. . Funkciju nije nužno zapisati u standardnoj bazi običnih potencija . Često je neka druga baza pogodnija, npr. tzv. ortogonalnih polinoma ili baza , gdje su zadane točke.

9. Linearne aproksimacije funkcije 2. Trigonometrijski polinomi, pogodni za aproksimaciju periodičkih funkcija, npr. u modeliranju signala. Za funkciju uzima se m+1 funkcija iz skupa 3. Po dijelovima polinomi, tzv. splajn funkcije. Ako su zadane točke , onda se splajn funkcija na svakom podintervalu svodi na polinom određenog fiksnog (niskog) stupnja, tj. a su polinomi najčešće stupnjeva 1, 2, 3 ili 5.

10. Nelinearne aproksimacije funkcije Najčešće korišteni oblici nelinearnih aproksimacijskih funkcija: 1. Eksponencijalne aproksimacije, , koje imaju n=2r+2 nezavisna parametra, a opisuju npr. procese rasta i odumiranja u raznim populacijama s primjenom u biologiji, ekonomiji i medicini. 2. Racionalne aproksimacije koje imaju mnogo bolja svojstva aproksimacije nego polinomi, a pripadna teorija je relativno nova.

11. Kriteriji aproksimacije Aproksimacije funkcije biraju se tako da “najbolje” zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih. Najčešći su zahtjevi da graf aproksimacije funkcije prolazi određenim točkama tj. da interpolira funkciju u tim točkama ili da je odstupanje aproksimacijske od polazne funkcije u nekom smislu minimalno, tj. tada se minimizira pogreška.

12. Kriteriji aproksimacije INTERPOLACIJA je zahtjev da se vrijednosti funkcija fi podudaraju na nekom konačnom skupu argumenata ili kraće točaka, koje obično nazivamo čvorovima interpolacije. Ovom zahtjevu se može, ali i ne mora dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija.

13. Kriteriji aproksimacije Drugim riječima, u najjednostavnijem obliku interpolacije, kad tražimo samo podudaranje funkcijskih vrijednosti, od podataka o funkciji f koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od (n+1) točaka, tj.podaci oblika , gdje je za k = 0, ... ,n. Parametri (kojih mora biti točno onoliko koliko i podataka!) određuju se iz uvjeta što je nelinearni sustav jednadžbi. Ako je aproksimacijska funkcija linearna, onda za parametre dobivamo sustav od, točno, n+1 linearnih jednadžbi i n+1 nepoznanica.

14. Kriteriji aproksimacije Matrica tog sustava je kvadratna, što bitno olakšava analizu egzistencije i jedinstvenosti rješenja za parametre interpolacije. MINIMIZACIJA POGREŠKE Funkcija bira se tako da se minimizira neka odabrana norma pogreške u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija definiranih na nekoj domeni X. Ove aproksimacije, često zvane i najbolje aproksimacije po normi,dijele se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome minimizira li se norma pogreške e na diskretnom ili kontinuiranom skupu podataka X.

15. Kriteriji aproksimacije Standardno se kao norme pogreške koriste 2-norma i -norma. Za 2-normu pripadna se aproksimacija zove srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje zove se metoda najmanjih kvadrata. Funkcija , tj. njeni parametri, traže se tako da bude minimalna na X. Za -normu pripadna se aproksimacija zove minimaks, a parametri se biraju tako da bude minimalna.

16. Kriteriji aproksimacije Osnovni matematički problemi u teoriji aproksimacije koje treba riješiti: a) egzistencija i jedinstvenost rješenja problema aproksimacije, što ovisi o tome koje funkcije f aproksimiramo kojim funkcijama i kako mjerimo grešku. b) analiza kvalitete dobivene aproksimacije – vrijednost “najmanje” pogreške i ponašanje funkcije greške e, c) konstrukcija algoritama za računanje najbolje aproksimacije d) dokaz efikasnosti i točnosti algoritma, a ako je proces beskonačan njegovu globalnu i asimptotsku konvergenciju.

17. Pojam interpolacije Sam pojam INTERPOLACIJE znači da se iz dvije zadane vrijednosti funkcijeodnosno dva argumenta koja se nalaze na osi apcisa nađe vrijednost funkcije koja je međuvrijednost ova dva argumenta. Ako tražimo vrijednost funkcijeza nivo argumenta izvan zadanih vrijednosti varijablionda govorimo o EXSTRAPOLACIJI. Problem interpolacije se sastoji u tome da se odredi funkcijakoja što preciznije aproksimira zadanu funkciju prema tabličnim vrijednostima, no moramo obratiti pažnju da nova funkcijatakođer treba prolaziti točkama kojima prolazi i zadana funkcijaprema tabličnim podacima.

18. Pojam interpolacije Neka je orginalna funkcija f(x) te neka je aproksimira funkcija . Ta se aproksimacija formulira dvjema nejednadžbama: , gdje je prozvoljno mali pozitivan broj

19. Interpolacija Na intervalu odredimo n+1 točku , koje se zovu čvorne točke ili čvoroviinterpolacije, u kojima je Tražimo funkciju (funkcija interpolacije) koja poprima iste vrijednosti u čvornim točkama tj. Ako je neki polinom, zadatak je jednoznačno rješiv. Dakle, kad su zadane funkcijske vrijednosti u različitim točkama možemo iskazati teorem koji u potpunosti rješava prvo ključno pitanje egzistencije i jedinstvenosti rješenja problema polinomske interpolacije u njegovom najjednostavnijem obliku.

20. Egzistencija i jedinstvenost interpolacijskog polinoma Teorem: Neka je Za zadane točke gdje je za postoji jedinstveni (interpolacijski) polinom stupnja najviše n za koji vrijedi U praksi je zabranjeno koristiti interpolacijske polinome stupnja većeg od 3, jer mogu imati vrlo velike greške. U tim slučajevima koristimo se splajnovima ili metodom najmanjih kvadrata.

21. Interpolacija Konkretizirajmo: Pretpostavimo da smo uzeli samo 2 točke One jednoznačno određuju polinom 1. stupnja tj. pravac. Njegova jednadžba glasi Tu jednadžbu možemo lako prikazati u obliku koji slijedi i u kojem je y zamijenjen sa :

22. Interpolacija Uzimajući za x od do umijesto vrijednosti funkcije vrijednosti toga polinoma , tj. vrijednosti linearne funkcije odnosno ordinate pravca, vršimo linearnu interpolaciju, koja nam je dobro poznata iz računanja s logaritamskim tablicama. Ako su nam poznate 3 točke i uzimamo u međutočkama ordinate parabole tj. vrijednosti polinoma 2.stupnja, koji glasi:

23. Interpolacija Taj polinom prolazi trima zadanim točkama jer uvrštavanjem daje To je parabolična interpolacija koja se uvijek primjenjuje kada druge tablične razlike nisu jednake, npr. pri računanju s logaritamskim tablicama od 10 decimala.

24. Interpolacija Općenito, kada je dan niz točaka , vršimo interpolaciju pomoću polinoma koji glasi:

25. Lagrangeov interpolacijski polinom To je Lagrangeovog interpolacijskog polinoma koji možemo zapisati i ovako: (PAZI: u brojnik svakog člana formule ne smije doći x s indeksom koji ima y toga člana, već svi ostali x-evi, dok je prvi član svakog faktora u nazivniku uvijek onaj x koji nismo smjeli pisati u brojniku, a ostali se x-evi jednostavno prepisuju prema brojniku)

26. Lagrangeov interpolacijski polinom Primjećujemo da čvorovi interpolacije ne moraju biti ekvidistantni kod Ako funkcija f koju interpoliramo ima(n+1)-uneprekidnu derivaciju onda smo interpolacijom napravili grešku pri čemu je Ova ocjena greške vrijedi i za Newtonov oblik interpolacijskog polinoma.

27. Zadatak 1. Naći Lagrangeov interpolacijski polinom za tablično zadane podatke . Rj. Primijetite da grešku ne možete ocjenjivati, jer nije zadana funkcija iz koje su uzeti ti podaci. Kako u tablici imamo 3 čvora, a n+1=3, imamo interpolacijski polinom 2. stupnja.

28. Zadatak 2. a) Naći interpolacijski polinom koji funkciju interpolira u točkama s x-koordinatama: b)Ocijeniti grešku tako dobivene iterpolacije; c) Izračunati vrijednost dobivenog interpolacijskog polinoma u točki d) Ocijeniti grešku iterpolacije u toj točki; e) Naći pravu grešku.

29. Zadatak 2. Rj. a) Uvrštavajući u funkciju dobijamo redom Kako imamo 3 podatka, možemo naćiinterpolacijski polinom koji ima stupanj manji ili jednak 2. Računajući dobivamo Lagrangeov interpolacijski polinom 2. stupnja koji glasi: b) Za ocjenu greške treba nam

30. Zadatak 2. i treća derivacija funkcije f: Tada imamo jer je

31. Zadatak 2. Prema tome, ocjena greške za proizvoljnu točku iz intervala glasi c) Interpolacija u zadanoj točki: d) Ocjena greške (budući da je ):

32. Zadatak 2. e) Prava greška je I ona je, naravno, po apsolutnoj vrijednosti manja ili jednaka ocjeni greške.

33. Zadatak 3. Da seodredi dozvoljeno opterećenje željeznih lanaca, kojima su karike kružnog presjeka promjera d , bilo je pokusnim putem određeno dozvoljeno opterećenje P.Za lance sljedećih promjera , dobiveno je Treba sastaviti tablicu dozvoljenih opterećenja za lance kojima je promjer d karika

34. Zadatak 3. Rj.

35. Interpolacija Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma nije pogodan kad želimo povećati stupanj interpolacijskog polinoma da bismo, eventualno, poboljšali aproksimaciju i smanjili grešku, zbog toga što interpolacijski polinom moramo računati od početka. Zato se on uglavnom koristi u teorijske svrhe (za dokaze), dok se u praksi koristi nešto bolji Newtonov oblik interpolacijskog polinoma .

36. Newtonovi interpolacijski polinomi Naime, iz teorema o egzistenciji i jedinstvenosti interpolacijskog polinoma, imamo interpolacijski polinom stupnja n koji glasi: Za određivanje koeficijenata možemo se poslužiti sistemom n+1 linearnih jednadžbi No, takav put izračunavanja koeficijenata ima 2 nedostatka: Dug je. Ne omogućuje ocjenjivanje greške i zaustavljanje rada samo na potrebnom broju točaka, pri približnom izračunavanju.

37. Newtonovi interpolacijski polinomi Postoji drugi način interpolacije, zasnovan na obrascima izraženim ne pomoću samih funkcija već pomoću tzv. razlika. RAČUN PODIJELJENIH (KONAČNIH) RAZLIKA Ako je zadana funkcija y = f(x) i , prirast nezavisne varijable kojeg zovemo korak, onda za prvu razliku ili razliku prvog reda imamo

38. Newtonovi interpolacijski polinomi Ako je za razliku imamo Ako sad obrazujemo razliku između naredni vrijednosti funkcije, možemo staviti Razlika, između dviju uzastopnih prvih razlika čini drugu razliku ili razliku drugog reda, i označava se Dakle, Ako u ovu jednadžbu uvrstimo vrijednosti prvih razlika, dobijemo

39. Newtonovi interpolacijski polinomi Ako zatim uvedemo treću razliku ili razliku trećeg reda, ona se pomoću ordinata izražava: Nastavljajući postupak, dobili bi četvrtu razliku, ... . Vidimo da svaka razlika može biti izražena pomoću osnovnih ordinata i da su koeficijenti jednaki koeficijentima Newtonova binomnog obrasca. Za izračunavanje podijeljenih razlika koriste se tablice podijeljenih razlika: horizontalna i dijagonalna. One sadrže identične podatke, samo je njihov način prikazivanja različit. Pri tome vrijedi da je:

40. Newtonovi interpolacijski polinomi Tablica 1. Horizontalna tablica razlika

41. Newtonovi interpolacijski polinomi Tablica 2. Dijagonalna tablica razlika

42. Newtonovi interpolacijski polinomi Direktno nalazimo ... tj. I dobijemo Newtonov interpolacijski polinom stupnja najviše n koji interpolira podatke

43. Prvi Newtonov interpolacijski polinom To je prvi Newtonov interpolacijskog polinoma koji možemo zapisati i ovako: Napisani Newtonov interpolacijski polinom ponekad se izražava i u drugom obliku.

44. Prvi Newtonov interpolacijski polinom Naime, zbog pojednostavljenja, umjesto vrijednosti x uvedemo broj q, . Budući da nam treba izraz oblika , izražen u funkciji od q, bit će: Sa ovim vrijednostima za razlike, prvi Newtonov interpolacijski polinom postaje

45. Prvi Newtonov interpolacijski polinom Načinom formiranja, , predodređen je za procjenjivanje vrijednosti funkcije u okolini . Prvi Newtonov interpolacijski polinom može se upotrebljavati i u okolini samo što će onda greška biti veća. • Greška interpolacije kod prvog Newtonovog interpolacijskog polinoma: gdje je , a znamo da je

46. Drugi Newtonov interpolacijski polinom Potražimo sada interpolacijski polinom od čvora u obliku Nepoznate koeficijente određujemo iz interpolacijskog svojstva Zamjenom u gornju formulu dobivamo tj. .

47. Drugi Newtonov interpolacijski polinom U ovom slučaju je što nam daje zaključak o vrijednosti Uvrštavajući sve vrijednosti zajedno sa gore izračunatim transformiranim prirastima u dobivamo drugi Newtonov interpolacijski polinom:

48. Drugi Newtonov interpolacijski polinom Zbog načina formiranja , jasno je da ovaj polinom koristimo za procjenivanje vrijednosti sa kraja interpolacijskog intervala tj. za procjenu vrijednosti funkcije u okolini . • Greška interpolacije kod drugog Newtonovog interpolacijskog polinoma: gdje je , a znamo da je .

49. Gaussoviinterpolacijski polinomi U Newtonovim formulama koriste se samo vrijednosti koje se nalaze na jednoj strani izabrane početne vrijednosti. Sada, neka je zadano 2n+1 ekvidistantnih čvorova gdje je i Gaussovi interpolacijski polinomi koriste se za sredinu tablice razlika, i to:

50. Prvi Gaussov interpolacijski polinom • Ako je koristimo prvi Gaussov polinom koji glasi