1 / 51

Exercicis

Exercicis. Variable aleatòria. Propietats de l'esperança i la variància d'una variable aleatòria discreta. Propietats de l'esperança. Propietats de la Variància. Exercici 1. X: E(X)=3 V(X)=2 Y=3X+6. a) E(Y) = E(3X+6) = E(3X)+E(6) = 3E(X) + 6 = 3·3 + 6 = 15.

macon-guerrero
Download Presentation

Exercicis

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Exercicis Variable aleatòria Curs 2013-14 URV

  2. Propietats de l'esperança i la variància d'una variable aleatòria discreta Propietats de l'esperança Propietats de la Variància Curs 2013-14 URV

  3. Exercici 1 X: E(X)=3 V(X)=2 Y=3X+6 a) E(Y) = E(3X+6) = E(3X)+E(6) = 3E(X) + 6 = 3·3 + 6 = 15 b) V(Y) = V(3X+6) = V(3X)+V(6) = 9V(X) = 9·2 = 18 c) DE(Y) = = = 4’24 d) CV(Y) = DE(Y)/E(Y) = 4’24/15 = 0,28 Curs 2013-14 URV

  4. Variables aleatòries discretes • Funció de probabilitat: • Es una funció que associa a cada resultat possible de la variable discreta X la probabilitat de aquest resultat • P(x)=P(X=x) • Funció de distribució de probabilitat • F(x)=P(X≤x) Curs 2013-14 URV

  5. Exercici 2 b) P(X≤3) = F(3) = 0’6 c) P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1- 0’1 =0’9 d) P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) - P(X ≤ 1) = F(4) – F(1) = 0’8 – 0’2 = 0’6 Curs 2013-14 URV

  6. Exercici 2 E(X) = 0·0’1 + 1·0’1 + 2·0’1 + 3·0’3 + 4·0’2 + 5·0’1 + 6·0’1 = 3’1 Curs 2013-14 URV

  7. Qualsevol variable aleatòria X que representi el nombre d'èxits en n proves idèntiques i independents, amb probabilitat d'èxit p constant d'una prova a l'altre, se'n diu una variable aleatòria binomial amb paràmetres n i p. Variable aleatòria binomial X~B(n,p) Curs 2013-14 URV

  8. Variable aleatoria binomial • Funció de probabilitat • Esperança o mitjana • Variància Curs 2013-14 URV

  9. Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) • Funció de probabilitat TAULES Curs 2013-14 URV 9

  10. Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 10 Bioestadística FMCS Reus

  11. Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) • Funció de probabilitat NO EXISTEIX TAULA: X~B(4,0’9) Curs 2013-14 URV

  12. Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) Y: Nombre de pacients que no milloren Y~B(4,0’1) X=4-Y Curs 2013-14 URV

  13. Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 13 Bioestadística FMCS Reus

  14. Exercici 3 Curs 2013-14 URV 14

  15. Exercici 3 • Esperança o mitjana • Variància X: B(4,0,9) E(X) = np = 4*0,9 = 3,6 V(X) = np(1-p) = 4*0,9*0,1 = 0,36 DE(X) = √V(X) = √ 0.36 = 0,6 CV(X) = DE(X)/E(X) = 0,6/3,6 = 0.1667 Curs 2013-14 URV

  16. Exercici 4 Meningitis: Mortalitat 30% Supervivència 70% 9 nens amb meningitis (n=9) X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis X~B(9,0’7) NO EXISTEIX TAULA: X~B(9,0’7) Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) X=9-Y Curs 2013-14 URV

  17. Exercici 4 X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) Curs 2013-14 URV 17

  18. Exercici 4 Y~B(9,0’3) Curs 2013-14 URV 18

  19. Exercici 4 X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) a) P(X≥5) = P(Y≤4) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4) = 0,0404 + 0,1556 + 0,2668 + 0,2668 + 0,1715 = 0,9011 b) P(X=9) = P(Y=0) = 0,0404 c) P(6≤X≤8) = P(1≤Y≤3)= P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) = 0,1556 + 0,2668 + 0,2668 = 0,6892 Curs 2013-14 URV 19

  20. Exercici 5 • N=8 P=0’9 • X: Nombre de persones sense crisi de migranya • X~B(8,0’9) O • N=8 P=0’1 • Y: Nombre de persones amb crisi de migranya • Y~B(8,0’1) Curs 2013-14 URV

  21. Exercici 5 X: Nombre de persones sense crisi de migranya Y: Nombre de persones amb crisi de migranya Y~B(8,0’1) a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0) Curs 2013-14 URV

  22. Curs 2013-14 URV

  23. Exercici 5 X: Nombre de persones sense crisi de migranya Y: Nombre de persones amb crisi de migranya Y~B(8,0’1) a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0) = 0’4305 + 0’3826 = 0’8131 b) P(X>3) = P(Y<5) = 1 – P(Y≥5) = = 1 – ( P(Y=5) + P(Y=6) + P(Y=7) + P(Y=8) ) = Curs 2013-14 URV

  24. Curs 2013-14 URV

  25. Exercici 5 X: Nombre de persones sense crisi de migranya Y: Nombre de persones amb crisi de migranya Y~B(8,0’1) a) P(X≥7) = P(Y≤1) = P(Y=1)+P(Y=0) = 0’4305 + 0’3826 = 0’8131 b) P(X>3) = P(Y<5) = 1 – P(Y≥5) = = 1 – ( P(Y=5) + P(Y=6) + P(Y=7) + P(Y=8) ) = = 1 – [ 0.0004 + 0 + 0 + 0] = 0.9996 Curs 2013-14 URV

  26. El nombre de successos que ocurreixen en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat Variable aleatòria de Poisson Curs 2013-14 URV

  27. Variable aleatòria de Poisson X~P(λ) • La variable X de Poisson queda caracteritzada amb un únic paràmetre λ (Nombre mig de successos en un interval) • E(X)=λ • V(X)=λ • La seva funció de probabilitat és: Curs 2013-14 URV

  28. Exercici 6 X: Nombre de casos en una hora X~Poisson(λ=2) 24 hores 48 1 hora 2 Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 28 Bioestadística FMCS Reus

  29. Exercici 6 X~Poisson(λ=2) Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 29 Bioestadística FMCS Reus

  30. Exercici 6 X: Nombre de casos en una hora X~Poisson(2) b) P(X=0) = 0,1353 c) P(X=3) = 0,1804 d) P(X≥5) = 1 - P(X<5)= 1 - (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) = 1 - (0,1353+0,2707+0,2707+0,1804+0,0902) = 1 - 0,9473 = 0,0527 Curs 2013-14 URV 30

  31. Exemple en que la variable aleatòria generada es pot considerar com variable de Poisson • En les mateixes condicions que la variable binomial si • la característica és poc freqüent (p<0.05) • mostres grans (n≥30) La variable X segueix el model de distribució de Poisson • Una població amb una prevalença de diabetis d'un 2%. La probabilitat de trobar 0, 1, 2, 3, 4,... diabètics en una mostra de 100 individus : B(100, 0’02) Binomial (100,0’02) Poisson (2) Curs 2013-14 URV

  32. Exercici 7 • N=1200 P=0’001 • X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica • X~B(1200,0’001) N gran X~B(1200,0’001) X~Poisson(λ=1200·0’001) X~Poisson(λ=1’2) Curs 2013-14 URV

  33. Exercici 7 X~Poisson(λ=1’2) b) p(X=2) = 0’2169 c) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] = = 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] = = 1 – 0’8795 = 0’1205 Curs 2013-14 URV

  34. Exercici 8 A cada interval • X: Nombre de particules emeses • X~Poisson(λ=4) 1 segon 0’5 8 segons 4 a) P(X≥4) = 1 – [ p(X=0) + p (X=1) + p (X=2) + p(X=3) ] = = 1 – [0’0183 + 0’0733 + 0’1465 + 0’1954] = = 1 – 0’4335 = 0’5665 Curs 2013-14 URV

  35. Exercici 8 En 5 intervals • Y: Nombre de intervals que emeten 4 o mes particules • Y~B(5,0’5665) b) P(Y≥1) = 1 – [ p(Y=0)] = = 1 – [0,0153] = 0’9847 Curs 2013-14 URV

  36. Variable aleatoria normal • P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) • P(Z>-a) = P(Z<a) • P(Z<a) = 1 - P(Z>a) • P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) Curs 2013-14 URV

  37. Exercici 9 • El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg. • a. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 90 kg? • Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg Curs 2013-14 URV

  38. Exercici 9 El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg. P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90) X~N(80,10) Z~N(0,1) P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 ) a - 80 10 a Curs 2013-14 URV

  39. Exercici 9 X: N(80,10) P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = Curs 2013-14 URV

  40. Curs 2013-14 URV

  41. Exercici 9 X: N(80,10) P(70 < X < 90) = P (X > 70) – P (X > 90) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = 1 – 2·0’1587 = 0’6826 Curs 2013-14 URV

  42. Exercici 9 X: N(80,10) P (X > 95) = = P ( > ) = P (Z > 1’5) = Curs 2013-14 URV

  43. Curs 2013-14 URV

  44. Exercici 9 X: N(80,10) P (X > 95) = = P ( > ) = P (Z > 1’5) = 0’0668 Curs 2013-14 URV 44 Bioestadística FMCS Reus

  45. Exercici 10 hipertens "borderline" : Entre 90 i 100 mmHg inclusius. Les pressions sanguínies diastòliques dels quals presenten una distribució normal amb una mitjana de 80 i variança 144 (σ=12) P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100) X~N(80,12) Z~N(0,1) P(X>a) P(Z > (a-80) / 12 ) a - 80 12 a Curs 2013-14 URV

  46. Exercici 10 X: N(80,12) P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > 0’83) – P (Z > 1’67) = Curs 2013-14 URV

  47. Curs 2013-14 URV

  48. Exercici 10 X: N(80,12) P(90 < X < 100) = P (X > 90) – P (X > 100) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > 0’83) – P (Z > 1’67) = = 0’2033 – 0’0475 = 0,1558 Curs 2013-14 URV

  49. Exercici 10 X: N(80,12) P (X > 104) = = P ( > ) = P (Z > 2’0) = Curs 2013-14 URV 49 Bioestadística FMCS Reus

  50. 2,0 0,0228 Curs 2013-14 URV 50

More Related