240 likes | 351 Views
Exercicis dia 29/05/2006. Exercici de Conjunts.
E N D
Exercicis dia 29/05/2006 Exercici de Conjunts
En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D. Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A. Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C. Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res. El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D. El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B. Hi ha clients que han comprat A, B i C. En total han comprat el producte A 30 clients, el producte B 20 i el producte C 28. Quants clients té en total l'empresa ? ENUNCIAT DEL PROBLEMA:
Comprovem de seguida que seguir l’enunciat del problema és pràcticament impossible, pel què deicidim fer la representació gràfica corresponent, obtenint així una visió general del problema. ENUNCIAT DEL PROBLEMA:
1.- En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D: A B D C
2.- Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A: B A D C
3.- Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C: B A D C
4.- Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res: B A 5 D 8 C 7 7
B 5 C 7 5.- El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D: A D 8 x 2x 7
6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B: B A 5 D 8 x C 2x 7 7
6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B: B A 5 D 8 y x C 2x 2y+2 7 7
7.- Hi ha clients que han comprat A, B i C: B A 5 D 8 y x C z 2x 2y+2 7 7
8.- En total han comprat el producte A 30 clients... B A 5 D 8 y 30 x C z 2x 2y+2 7 7 x+3y+z+10=30
... el producte B 20 ... B A 5 D 8 y 20 x C z 2x 2y+2 7 7 x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20
... i el producte C 28: B A 5 D 8 y x C z 2x 2y+2 28 7 7 x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20 2x+2y+z+9=28
D’aquesta manera, i a partir de la representació gràfica del problema, hem aconseguit poder-lo plantejar en forma d’equacions de 3 incògnites, formant així un sistema d’equacions... B A 5 D 8 y x C z 2x 2y+2 7 7 x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20 2x+2y+z+9=28
... que com no, resoldrem pel sistema de Gauss: x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20 2x+2y+z+9=28
Multiplicant la 1ª fila per 2 i:- restant-la a la 2ª fila,- restant-la a la 3ª fila...
... multiplicant la 2ª fila per 4 i restant-la a 5 vegades la 3ª ...
... i ja podem aïllar la “z”: Per substitució, resolem el sistema: -5y –1·(5) -15 = 40 x + 3·(4) + 1·(5) + 10 = 30 -z + 5 = 0 -5y = -20 x + 27 = 30 z = 5 y = 4 x = 3 z = 5 y = 4 x = 3
Podem comprovar els resultats substitïnt les incògnites a les equacions obtingudes a partir del gràfic: A x+3y+z+10=30 3 + 12 + 5 + 10 = 30 2x+y+z+5=20 6 + 4 + 5 + 5 = 20 B C 2x+2y+z+9=28 6 + 8 + 5 + 9 = 28 z = 5 y = 4 x = 3
Ara ja tenim prou informació per resoldre el problema.Amb el principi d’inclusió – exclusió obtenim la suma dels 4 conjunts: A U B U C U D 63
Tornant al gràfic, i sabent que la suma dels conjunts dóna 63, nomes ens cal afegir els clients que no han comprat res: B B A D C 7 = 70 A + B C + D = 63 + +
D’aquesta manera hem resolt la pregunta del problema: Quants clients té en total l'empresa ? La resposta és 70.
Fonaments de Matemàtica Discreta Una producció de: per a Fonaments de Matemàtica Discreta 1er E.T.I.G (nocturn)EUNCET Lluis Bausela Oriol Conesa Harold González