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4.3.1 空间直角坐标系. 学习目标 :. 1 、空间直角坐标系的建立 ; 2 、空间直角坐标系的划分 ; 3 、空间点的坐标 ; 4 、特殊位置的点的坐标 ; 5 、空间点的对称问题。. 思考:. 在教室里同学们的位置坐标. z. y. O. x. 以单位正方体 的 顶点 O 为原点 , 分别以射线 OA , OC , 的方向为正方向 , 以 线段 OA,OC, 的长为单位 长度 , 建立三条数轴 : x 轴 , y 轴 ,
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学习目标: 1、空间直角坐标系的建立; 2、空间直角坐标系的划分; 3、空间点的坐标; 4、特殊位置的点的坐标; 5、空间点的对称问题。
思考: 在教室里同学们的位置坐标 z y O x
以单位正方体 的 顶点O为原点,分别以射线OA, OC, 的方向为正方向,以 线段OA,OC, 的长为单位 长度,建立三条数轴:x轴,y轴, z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 。 z O y C A B x 一、空间直角坐标系: 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.
z y x 右手直角坐标系
z 1350 y 1350 x 空间直角坐标系的画法: 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴. 2.y轴和z轴的单位长度相同, x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. o
Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ • Ⅰ O 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 二、空间直角坐标系的划分: 空间直角坐标系共有八个卦限
思考: 空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示?
z R M Q y P x 三、空间点的坐标: 设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R. O M’
z R M Q y P x 三、空间点的坐标: 设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示, (x,y,z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z). 其中x叫做点M的横坐标, y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标. O M’
z • C E • 1 • B • O • F y 1 • 1 • D A x 四、特殊位置的点的坐标: 小提示:坐标轴上的点至少有两个坐标等于0;坐标面上的点至少有一个坐标等于0。 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
z • C E • 1 • B • O • F y 1 • 1 • D A x 规律总结: (1)坐标平面内的点: xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0 (2)坐标轴上的点: x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
五、空间点的对称问题: 点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (x,-y,-z) (1)与点M关于x轴对称的点: (-x,y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,-y,z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,-z) (4)与点M关于原点对称的点: 规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。
五、空间点的对称问题: 点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (x,y,-z) (5)与点M关于平面xOy的对称点: (-x,y,z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (x,-y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: 规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。
两点间距离公式 类比 猜想
一、空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1) 和点Q(x2,y2,z2)的距离公式:
二、空间中点坐标公式: 在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解:
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)BC边上中线AM的长。 解:
【总一总★成竹在胸】 一、空间两点间的距离公式: 二、空间中点坐标公式:
x在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则x在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1)AB= ; (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
a∥b⇔ • a⊥b⇔ • cos〈a·b〉= x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R) x1x2+y1y2+z1z2=0
cos〈n1,n2〉 -cos〈n1,n2〉
题型分析 考点一 用向量证明平行、垂直问题 如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,且PA=AD,E,F分别为线段AB,PD的中点.求证: (1) AF∥平面PEC; (2) AF⊥平面PCD.
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点,AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设AB=a,PA=AD=1, 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), D(0,1,0),F(0, , ). (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)PD=(0,1,-1),CD=(-a,0,0), ∴AF·PD=(0, , )·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, , )·(-a,0,0)=0, ∴AF⊥PD,AF⊥CD,又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD. 【评析】用向量证明线面平行时,最后应说明向量所在的基线不在平面内.
*对应演练* 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.证明: (1) C1M∥平面ADE; (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
(1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立坐标系如图,设正方体的棱长为1.(1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立坐标系如图,设正方体的棱长为1. 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), C1M=(1,-1,- ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则 m·DA=0 a=0 m·DE=0 a+b+ c=0. 令c=2,得m=(0,-1,2). ∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,- ) =0+1-1=0,∴C1M⊥m. 又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.