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4.3.1 空间直角坐标系

4.3.1 空间直角坐标系. 学习目标 :. 1 、空间直角坐标系的建立 ; 2 、空间直角坐标系的划分 ; 3 、空间点的坐标 ; 4 、特殊位置的点的坐标 ; 5 、空间点的对称问题。. 思考：. 在教室里同学们的位置坐标. z. y. O. x. 以单位正方体 的 顶点 O 为原点 , 分别以射线 OA ， OC ， 的方向为正方向 , 以 线段 OA,OC, 的长为单位 长度 , 建立三条数轴 : x 轴 , y 轴 ,

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4.3.1 空间直角坐标系

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Presentation Transcript

  1. 4.3.1空间直角坐标系

  2. 学习目标: 1、空间直角坐标系的建立; 2、空间直角坐标系的划分; 3、空间点的坐标; 4、特殊位置的点的坐标; 5、空间点的对称问题。

  3. 思考： 在教室里同学们的位置坐标 z y O x

  4. 以单位正方体 的 顶点O为原点,分别以射线OA， OC， 的方向为正方向,以 线段OA,OC, 的长为单位 长度,建立三条数轴:x轴,y轴, z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 。 z O y C A B x 一、空间直角坐标系： 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．

  5. z y x 右手直角坐标系

  6. z 1350 y 1350 x 空间直角坐标系的画法： 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴． 2.y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半． o

  7. Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ • Ⅰ O 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 二、空间直角坐标系的划分： 空间直角坐标系共有八个卦限

  8. 思考： 空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？

  9. z R M Q y P x 三、空间点的坐标： 设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R． O M’

  10. z R M Q y P x 三、空间点的坐标： 设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)． 其中x叫做点M的横坐标， y叫做点M的纵坐标， z叫做点M的竖坐标． O M’

  11. z • C E • 1 • B • O • F y 1 • 1 • D A x 四、特殊位置的点的坐标： 小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

  12. z • C E • 1 • B • O • F y 1 • 1 • D A x 规律总结： (1)坐标平面内的点: xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0 (2)坐标轴上的点: x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

  13. 思考：

  14. 五、空间点的对称问题： 点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (x,-y,-z) (1)与点M关于x轴对称的点: (-x,y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,-y,z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,-z) (4)与点M关于原点对称的点: 规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。

  15. 思考：

  16. 五、空间点的对称问题： 点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (x,y,-z) (5)与点M关于平面xOy的对称点: (-x,y,z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (x,-y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: 规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。

  17. 两点间距离公式 类比 猜想

  18. 一、空间两点间的距离公式： 在空间直角坐标系中，点P(x1，y1，z1) 和点Q(x2，y2，z2)的距离公式:

  19. 二、空间中点坐标公式： 在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

  20. 例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长； 解:

  21. 例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。 解:

  22. 【总一总★成竹在胸】 一、空间两点间的距离公式： 二、空间中点坐标公式：

  23. x在空间直角坐标系中，设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则x在空间直角坐标系中，设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则 （1）AB= ; (x2-x1,y2-y1,z2-z1)

  24. a∥b⇔ • a⊥b⇔ • cos〈a·b〉＝ x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0

  25. cos〈n1，n2〉 -cos〈n1，n2〉

  26. 题型分析 考点一 用向量证明平行、垂直问题 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点.求证： (1) AF∥平面PEC; (2) AF⊥平面PCD.

  27. 【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1, 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), D(0,1,0),F(0, , ). (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.

  28. (2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), ∴AF·PD=(0, , )·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, , )·(-a,0,0)=0, ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD. 【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内.

  29. ＊对应演练＊ 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.证明： (1) C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.

  30. （1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), C1M=(1,-1,- ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则 m·DA=0 a=0 m·DE=0 a+b+ c=0. 令c=2，得m=(0,-1,2). ∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,- ) =0+1-1=0,∴C1M⊥m. 又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.

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