Download
1 / 12
E N D
Schema Horner ţi pt to pt tonti n
Î analiza matematica schema Horner, numită după matematicianul englez William George Horner , este un algoritm pentru calculul eficient al valorii polinoamelor . Metoda Horner este un procedeu de aproximare a rădăcinilor unui polinom. Aceasta poate fi folosită de asemenea pentru împărţirea polinoamelor liniare. Deşi schema este numită după William George Horner, care a descris-o în 1819, metoda era cunoscută de Isaac Newton în 1669, şi chiar mai demult de către matematicianul chinez Ch'in Chiu-Shao în secolul al – XIII - lea. n
Fiind dat polinomul : Atunci este valoarea lui unde sunt numere reale, se cere calculul valorii polinomului pentru o valoare a lui dată, adică pentru . Pentru asta, se defineşte o secvenţă de constante după cum urmează:
Pentru a înţelege cum funcţionează, polinomul poate fi pus în forma : apoi se substituie iterativ bi în expresia :
Pentru a înţelege cum funcţionează, polinomul poate fi pus în forma : Exemplu : Să se calculeze f (x) = 2x³ - 6x² + 2x -1 pentru x0 = 3 . Prin extragerea repetată a factorului comun x , f , poate fi adus la forma x (x ( 2x – 6 ) + 2 ) -1 . Se foloseşte o formă sintetică de organizare a calculului. apoi se substituie iterativ bi în expresia :
Exemplu : Să se calculeze f (x) = 2x³ - 6x² + 2x -1 pentru x0 = 3 . Prin extragerea repetată a factorului comun x , f , poate fi adus la forma x (x ( 2x – 6 ) + 2 ) -1 . Se foloseşte o formă sintetică de organizare a calculului.
Exemplu : Să se calculeze f (x) = 2x³ - 6x² + 2x -1 pentru x0 = 3 . Prin extragerea repetată a factorului comun x , f , poate fi adus la forma x (x ( 2x – 6 ) + 2 ) -1 . Se foloseşte o formă sintetică de organizare a calculului. Folosim acest x0 x0
x0 x³ x² x¹ xº f (x) = 2x³ - 6x² + 2x -1 Coeficientii ecuatiei f(x)
f (x) = 2x³ - 6x² + 2x -1 x0 = 3 x0 x³ x² x¹ xº Coboram 2-ul -1 + 6 = 3 X 2 = 3 X 0 = -6 + 6 = 3 X 2 = 2 + 0 = deoarece 3 2 -6 2 -1 6 0 6 0 2 5 2
f(x0) = 2x³ + 2x + 5 - 6x² - 6 x0 x³ x² x¹ xº = 2x ( x² + 1) + 6 ( x² - 1) + 5 3 2 -6 2 -1 Dam factor comun 6 0 6 2 0 2 5
Eficienţă : Dacă fiecare putere este calculată separat prin înmulţiri repetate, calculul valorii unui polinom de gradul n necesită n adunări şi (n2 + n)/2 înmulţiri. (Asta poate fi redus la n adunări şi 2n + 1 înmulţiri dacă puterile lui x sunt calculate iterativ.) În termeni de cifre (sau biţi) algoritmul naiv trebuie să memoreze de cca. 2n ori numărul x (rezultatul având ordinul de mărime xn, deci şi rezultatele intermediare trebuie memorate aşa). Prin contrast, schema Horner necesită doar n adunări şi n înmulţiri, şi trebuie să memoreze doar de n ori un număr de cifre corespunzător lui x. S-a arătat că schema Horner este optimă, în sensul că este nevoie de cel mai mic număr de operaţii. Că numărul de adunări este minim a fost arătat de Alexander Ostrowski în 1954; iar că numărul de înmulţiri este minim de Victor Pan, în 1966. Dacă însă x este o matrice, schema Horner nu mai este optimă, puteri ale lui x fiind deja calculate. Schema Horner este adesea folosită pentru conversia valorilor între diferite sisteme de numeraţie poziţionale, unde x este baza sistemului, iar coeficienţii ai sunt cifrele reprezentării numărului în baza x. Dacă x este o matrice, eficienţa e chiar mai mare.
Autorul acestui pps : Florescu Cristian , 11 B ; Profesor coordonator : Taflaru Carmen
