Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

1. Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf rumpf@uni-duesseldorf.de

2. member/2 append/3 delete/3 reverse/2 reverse/3 permute/2 sort/2 qs/2 partition/4 Listenelemente finden Listen konkatenieren Listenelemente löschen/einfügen Liste umkehren (naiv) Liste umkehren (mit Akkumulator) Liste permutieren (n!) Liste permutationssortieren (n!) Liste mit Quicksort sortieren (n log n) Liste in Teillisten partitionieren Listenverarbeitung bisher GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

3. deleteall/3 • % deleteall(Term,Liste1,Liste2) • deleteall(_,[],[]). • deleteall(X,[X|T1],L):- • deleteall(X,T1,L). • deleteall(X,[H|T1],[H|T2]):- • X \= H, • deleteall(X,T1,T2). Termination Lösche X aus Kopf Lösche X aus Rest T1 Behalte Kopf H, falls H X Lösche X aus Rest T1 deleteall/3 löscht alle Vorkommen eines Terms aus einer Liste, während delete/3 genau ein Vorkommen eines Terms löscht und scheitert, wenn der Term nicht vorkommt. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

4. % makeset(Liste1,Liste2) makeset([],[]). makeset([H|T1],[H|T2]):- deleteall(H,T1,L), makeset(L,T2). Termination. Behalte Kopf H. Löschen aller H aus T1 liefert L. Entferne alle Duplikate aus L. makeset/3 makeset/2 entfernt mit Hilfe von deleteall/3 alle Duplikate aus Liste1 und liefert Liste2 als Ergebnis. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

5. Verschachtelte Listen • Als Listenelemente können beliebige Terme auftreten, also auch Listen. • [1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6] • Die Verarbeitung von Listen von Listen erfordert häufig doppelte Rekursion, sodaß bei einer Zerlegung nicht nur der Rest, sondern auch der Kopf rekursiv weiterverarbeitet wird. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

6. Verflachen von Listen • Das Prädikat flatten/2 wandelt eine verschachtelte Liste in flache Liste um. • ?- flatten([1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6],L). • L = [1,2,3,a,b,x,y,c,4,5,6] • yes GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

7. flatten/2 • %flatten(VerschachtelteListe, FlacheListe) • flatten([],[]). • flatten([H|T],FL):- • flatten(H,FH), • flatten(T,FT), • append(FH,FT,FL). • flatten(X,[X]):- • X \= [], X \= [_|_]. Leere Liste ist schon flach. Zerlege verschachtelte Liste. Verflache Kopf.Verflache Rest.Konkateniere verflachten Kopf und Rest zu Ergebnis. Term in flache Liste packen,falls Term keine Liste ist. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

8. Effizienz von flatten/2 • flatten/2 hat nach dem zweiten rekursiven Aufruf einen Aufruf von append/3. Dies drückt die Performance ähnlich nach unten, wie wir es schon beim naiven reverse/2 gesehen haben. • Verbesserung: flatten/3 mit Akkumulator! GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

9. flatten/3 flatten/2 ruft flatten/3 auf.Initialisierung des Akkumulators.Termination.Falls verschachtelte Liste leer,verflache Kopf des Akkumulators.Falls Kopf von VL nichtleere Liste,nimm Rest von VL in Akkumulatorund verflache H.Falls Kopf von VL keine Liste ist,übernimm den Kopf in flache Listeund verflache Rest von VL. • flatten(VL,FL):- • flatten(VL,[],FL). • flatten([],[],[]). • flatten([],[H|Acc],FL):- • flatten(H,Acc,FL). • flatten([H|T],Acc,FL):- • is_list(H), • flatten(H,[T|Acc],FL). • flatten([H|T1],Acc,[H|T2]):- • not is_list(H), • flatten(T1,Acc,T2). GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

10. is_list/1 • Das Prädikat is_list/1 ist beweisbar, wenn das Argument eine leere oder nichtleere Liste ist. • is_list([]). • is_list([_|_]). • Aus Effizienzgründen verzichten wir auf Korrektheit für is_list/1 , indem wir auf den rekursiven is_list/1 -Beweis für Restlisten nichtleerer Listen verzichten. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

11. (2) CALL: flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0098) ? > (5) CALL: flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0AB8) ? > (8) CALL: flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0C14) ? > (11) CALL: flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0D70) ? > (13) CALL: flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _0D70) ? > (16) CALL: flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _11E4) ? > (19) CALL: flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _1340) ? > (21) CALL: flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], _1340) ? > (24) CALL: flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], _17B4) ? > (27) CALL: flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], _1910) ? > (30) CALL: flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], _1A6C) ? > (34) CALL: flatten( [], [[4,[],5,6]], _1D00) ? > (35) CALL: flatten( [4,[],5,6], [], _1D00) ? > (38) CALL: flatten( [[],5,6], [], _1F94) ? > (40) CALL: flatten( [], [[5,6]], _1F94) ? > (41) CALL: flatten( [5,6], [], _1F94) ? > (44) CALL: flatten( [6], [], _2540) ? > (47) CALL: flatten( [], [], _269C) ? > (47) EXIT(N): flatten( [], [], []) (44) EXIT(N): flatten( [6], [], [6]) (41) EXIT(N): flatten( [5,6], [], [5,6]) (40) EXIT(N): flatten( [], [[5,6]], [5,6]) (38) EXIT(N): flatten( [[],5,6], [], [5,6]) (35) EXIT(N): flatten( [4,[],5,6], [], [4,5,6]) (34) EXIT(N): flatten( [], [[4,[],5,6]], [4,5,6]) (31) EXIT(N): flatten( [c], [[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (30) EXIT(N): flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (27) EXIT(N): flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], [z,c,4,5,6]) (24) EXIT(N): flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], [y,z,c,4,5,6]) (21) EXIT(N): flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (19) EXIT(N): flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (16) EXIT(N): flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [b,x,y,z,c,4,5,6]) (13) EXIT(N): flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (11) EXIT(N): flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (8) EXIT(N): flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (5) EXIT(N): flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (2) EXIT(N): flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [],[1,2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

12. Graphen • Viele Probleme lassen sich graphentheoretisch modellieren. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt mit klar definierten Eigenschaften und Methoden. • Bäume sind Graphen mit speziellen Eigenschaften. Wir nähern uns jetzt Bäumen an, indem wir von gerichteten Graphen über DAGs zu geordneten Bäumen kommen. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

13. Gerichteter Graph • Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel <N, E>, wobei N(odes) eine Menge von Knoten und E(dges) eine Menge E  N × N von Kanten ist. • G1 = <{a,b,c,d,e}, {<a,b>,<a,c>, • <b,d>,<d,c>, • <d,e>,<d,a>}> a b c d e GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

14. als Fakten: node(a). ... node(e). edge(a,b). ... edge(d,a). als Struktur: ([a,b,c,d,e], [(a,b),(a,c), (b,d),(d,c), (d,e),(d,a)]) Prolog-Repräsentation: Graph GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

15. Transitive Hülle • Die transitive Hülle eines Graphen G= <N, E> ist die Menge H(G)  N × N, sodaß gilt: • 1. E  H(G) • 2. <x, y>  H(G)  <y, z>  H(G)  <x, z>  H(G) • Die transitive Hülle liefert uns alle Verbindungen, die zwischen Knoten bestehen. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

16. Berechnung in Prolog • Transitive Hülle für Faktenrepräsentation: • closure(X,Y):- edge(X,Y). • closure(X,Y):- edge(X,Z), closure(Z,Y) • Transitive Hülle für Listenrepräsentation: • closure(X,Y,E):- member((X,Y),E). • closure(X,Y,E):- member((X,Z),E), closure(Z,Y,E). • % E = [(N1,N2),...,(Ni,Nk)] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

17. DAG • Ein gerichteter azyklischer Graph (DirectedAcyclicGraph) G = <N, E> ist ein Graph, für den gilt: • <x, y>  H(G): x  y • Kein Knoten ist in H(G) mit sich selbst verbunden. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

18. Bäume • Ein DAG G = <N, E> ist ein Baum, wenn gilt: • x,y,z  N: <x, z>  E  <y, z>  E  x = y • Jeder Knoten in einem Baum hat maximal einen Vorgänger. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

19. Geordnete Bäume • Ein geordneter Baum G = <N, E, O> ist ein Baum mit einer totalen Ordnungsrelation O  N × N, sodaß gilt: • x,y,z  N: <x, y>  E  <x, z>  E  y  z  <y, z>  O <z, y>  O • Die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens stehen in einer linearen Ordnung. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

20. Beispiel Syntaxbaum S NP VP Det N V NP Jeder Mann liebt Det N eine Frau Zwei Relationen: unmittelbare Dominanz zwischen Mutter- und Tochterknoten lineare Präzedenz zwischen Tocherknoten GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

21. Lineare Repräsentation in Prolog • als Struktur: • s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau)))) • als Liste: • [s, [np, [det, [jeder]], [n, [mann]]], [vp, [v, [liebt]], [np, [det, [eine]], [n, [frau]]]]] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

22. Univ • Strukturen und Listen können ineinander überführt werden. Prolog stellt dazu das eingebaute Prädikat =.. (Univ) zur Verfügung. • ?- det(ein) =.. L. ?- np(det(ein),n(mann)) =.. L. • L = [det,ein], yes L = [np,det(ein),n(mann)] • ?- S =.. [det,ein]. • S = det(ein), yes Allgemein:p(A1,...An) =.. [p,A1,...An] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

23. Listen vs. Strukturen • Strukturen sind zwar für das menschliche Auge leichter zu überblicken, dafür sind Listenreprä-sentationen allerdings flexibler zu verarbeiten. • Strukturen: Zugriff auf Argumente nur bei bekanntem Funktor und bekannter Stelligkeit möglich. • Listen: Zerlegung in Kopf und Rest für jede nichtleere Liste in gleicher Weise. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

24. Pretty Printing • ?- pp(s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))) • s np det jeder n mann vp v liebt np det eine n frau Ein Pretty-Printer für Bäume ist ein Programm, das die lineare Repräsentation eines Baumes als eingerückten Baum auf den Bildschirm ausgeben kann. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

25. Handwerkszeug zum Drucken • Wir benötigen ein paar eingebaute Prädikate, um einen Pretty-Printer implementieren zu können: • write(Term) Schreibt Term auf den Bildschirm. • nl Bewirkt einen Zeilenvorschub. • tab(Integer) Schreibt 0-n Leerzeichen. • Number is ExprFührt Berechnungen durch. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

26. pprint/1 • pprint(Term):- pprint(Term,0).Initialisierung des Tab-Zählers. • pprint(Term,N):-Baum drucken. • tab(N), write(F), nl, Ausgabe des Mutterknotens. • N1 is N+3,Tabulator erhöhen. • pprintl(Args,N1).Unterbäume drucken. • pprintl([H|T],N):- Unterbäume drucken. • pprint(H,N),Drucke eine Schwester. • pprintl(T,N).Drucke die anderen Schwestern. • pprintl([],_).Termination. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

27. Differenzlisten • Eine Differenzliste ist ein Paar von Listen (L1,L2), wobei L2 ein Suffix von L1 repräsentiert. Die Elemente einer Differenzliste sind die nach Abzug von Suffix L2 verbleibenden Elemente in L1. • Differenzliste gewöhnliche Liste • ([E1,...,En|T],T) [E1,...,En] • (L,[]) L • (L,L) [] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

28. [1,2,3] als Differenzliste • Für jede gewöhnliche Liste gibt es unendlich viele Darstellungen als Differenzliste, weil es beliebige Suffixe geben kann. • [1,2,3]  ([1,2,3],[]) •  ([1,2,3,4,5],[4,5]) •  ([1,2,3,a,b|T],[a,b|T]) •  ([1,2,3|T],T) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

29. Konkatenation von Diff-Listen • Differenzlisten haben einen entscheidenden Vorteil gegenüber gewöhnlichen Listen: Man kann sie in konstanter Zeit konkatenieren. Genauer: in einem Schritt. • ?- D1 = ([1,2,3|T1],T1), • D2 =([4,5,6|T2],T2), • append_dl(D1,D2,D3). • D3 = ([1,2,3,4,5,6|T2],T2), yes GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

30. append_dl/3 • append_dl((A,B),(B,C),(A,C)). GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen