Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

1. Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 08 Matice I jiri.cihlar@ujep.cz Matematika I. KIG / 1MAT1

2. O čem budeme hovořit: Definice matice Hodnost matice a její výpočet Regulární a singulární matice Sčítání matic a jeho vlastnosti Násobení matice reálným číslem Násobení matic a jeho vlastnosti

3. Definice matice

4. Vysvětlující příklad Zvolme ve vektorovém prostoru R4tři vektory, například: (2; 0; -1; 3), (-5; 1; 0; 4), (0; 1; -3; 2). Zapíšeme-li je pod sebe, vznikne obdélníkové schéma, kterému říkáme matice: Matice mají řádkové a sloupcové vektory, hlavní diagonálu, atd. S maticemi se naučíme počítat, budeme je sčítat a násobit, násobit je reálným číslem, atd.

5. Definice Obdélníkové schéma A reálných čísel tvaru které obsahuje m řádkových vektorů a n sloupcových vektorů budeme nazývat maticí typu (m,n). Prvky a11, a22, a33, atd. tvoří hlavní diagonálu matice.

6. Transponovaná matice Nechť je dána matice A typu (m,n). Transponovanou maticí k matici A (budeme ji označovat AT ) budeme nazývat matici typu (n,m), která má následující tvar: Řádkové vektory matice A jsou sloupcovými vektory matice AT, matice AT vzniká „otočením“ matice A kolem osy určené hlavní diagonálou.

7. Čtvercová matice Jestliže má matice typ (n,n), tedy počet jejích řádkových vektorů je roven počtu jejích sloupcových vektorů, budeme ji nazývat čtvercovou maticí.

8. Hodnost matice

9. Definice Nechť je dána matice A typu (m,n). Hodností matice A budeme rozumět dimenzi vektorového prostoru W, který je generován jejími řádkovými vektory. Jsou-li řádkové vektory matice A lineárně nezávislé, pak tvoří bázi vektorového prostoru W, a hodnost matice A je tedy rovna číslu m. Jsou-li řádkové vektory matice A lineárně závislé, pak je hodnost matice A menší než číslo m.

10. Důležité tvrzení Nechť je dána matice A typu (m,n), kde m  n, která má všechna čísla v hlavní diagonále nenulová, čísla „pod hlavní diagonálou“ jsou všechna rovna nule a čísla „nad hlavní diagonálou“ jsou libovolná. Řádkové vektory této matice A jsou lineárně nezávislé a hodnost matice A je tedy rovna číslu m. (Proč?)

11. Jak počítat hodnost matice? Řádkové vektory matice A generují vektorový prostor W (jeho dimenzi hledáme). Budeme postupně řádky matice A měnit, ovšem tak, aby se neměnil jimi generovaný vektorový prostor W. Tak se postupně dostaneme k tvaru matice, který známe z předcházejícího tvrzení, a kde tedy dimenzi W snadno poznáme. Jaké úpravy můžeme s řádky matice provádět, aby se přitom jimi generovaný vektorový prostor W neměnil?

12. Řádkové úpravy neměnící hodnost matice 1. Libovolné přemístění řádkových vektorů, 2. vynásobení řádku nenulovým číslem, 3. k libovolnému řádku je možno přičíst nenulový násobek jiného řádku, 4. vynechání nulového řádkového vektoru. Proč tyto úpravy generátorů nemění prostor W? Jak vlastní výpočet probíhá?

13. Příklad Vypočítejme postupnými úpravami hodnost matice: Hodnost zadané matice je tedy rovna číslu h(A) = 4.

14. Poznámka V předcházejících úvahách jsme místo s řádkovými vektory matice mohli pracovat se sloupcovými vektory matice. Mohli bychom tedy vedle (řádkové) hodnosti matice zavést i pojem sloupcové hodnosti matice. Pak by se však dalo dokázat, že obě tyto hodnosti se sobě rovnají. To je také důvod k tomu, že se ve slovním označení používá jen „hodnost“, není třeba obě rozlišovat. Při výpočtech hodnosti je tedy možné používat buď řádky nebo sloupce.

15. Regulární a singulární matice Čtvercové matice typu (n,n) můžeme rozdělit na dvě skupiny podle toho, zda jsou jejich řádkové vektory lineárně nezávislé či lineárně závislé. Čtvercovou matice typu (n,n) budeme nazývat regulární právě tehdy, když její řádkové vektory jsou lineárně nezávislé a její hodnost je tedy n. Čtvercovou matice typu (n,n) budeme nazývat singulární právě tehdy, když její řádkové vektory jsou lineárně závislé a její hodnost je tedy menší než číslo n.

16. Sčítání maticNásobení matice reálným číslem

17. Vysvětlující příklad Sčítat můžeme dvě matice jen tehdy, pokud mají stejný typ, tedy mají-li stejný počet řádků i sloupců. Výsledná matice má opět stejný typ, a je složena z čísel, která vypočteme jako součet stejnolehlých čísel v obou daných maticích: Matice daného typu (m,n) tvoří spolu s operací sčítání komutativní grupu.

18. Definice sčítání matic Dvě matice A, B stejného typu sčítáme takto:

19. Vysvětlující příklad Reálným číslem k můžeme násobit libovolnou matici A. Výsledná matice k.A má stejný typ, a je složena z čísel, která vypočteme jako k-násobek stejnolehlých čísel v původní matici: Matice daného typu (m,n) tvoří spolu s operací sčítání a operací násobení reálným číslem vektorový prostor.

20. Definice násobení matice reálným číslem Matici A libovolného typu násobíme reálným číslem takto:

21. Násobení matic

22. Vysvětlující příklad Násobit můžeme dvě matice pouze tehdy, pokud počet sloupců první z nich je roven počtu řádků druhé z nich, tedy mají-li typy například (m,p) a (p,n). Výsledný součin je matice typu (m,n). Prvek součinu, který leží v i-tém řádku a j-tém sloupci je roven skalárnímu součinu i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice.

23. Definice násobení matic Součinem matice A typu (m,p) a matice B typu (p,n) je matice C typu (m,n) : Každýprvek cijje roven skalárnímu součinu i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice.

24. Vlastnosti násobení matic Násobení matic není úplné na množině všech matic (všech typů). Násobení matic je však úplné na množině všech čtvercových matic typu (n,n). Násobení matic není komutativní – přesvědčíme se o tom vhodným příkladem. Lze dokázat, že násobení matic je asociativní – můžeme to ověřit vhodnými příklady. Čtvercové matice typu (n,n) spolu s operací násobení tvoří nekomutativní pologrupu.

25. Co je třeba znát a umět? • Základní pojmy související s maticemi, • pojem hodnosti matice a její výpočet, • pojmy regulární a singulární matice, • sčítání matic, násobení matic číslem, • násobení matic, jeho vlastnosti.

26. Děkuji za pozornost