Cónicas II: La Elipse.

1. Cónicas II: La Elipse. Roberto Quezada

2. Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Eje menor d1 d2 Eje mayor d1+ = constante. d2 ¿Cuál es el valor de esta constante?

3. Supóngase que el centro está en el punto (h,k), los vértices en los puntos (h+a,k), (h-a,k), (h,k+b), (h,k-b) y los focos en (h+c,k), (h-c,k). (h,k+b) foco foco (h-a,k) (h,k) (h+a,k) (h+c,k) vértice (h-c,k) (h,k-b) Si la suma de las distancias desde cualquier punto a los focos ha de ser constante, entonces tomando el vértice (h+a,k)se ve que esta distancia debe ser: (a+c) + ( a-c) = 2a. Que es la longitud del eje mayor.

4. Forma estándar de la ecuación de una elipse. La forma estándar de la 4ecuación de una elipse con centro en (h,k), eje mayor 2a y eje menor 2b, donde 0<b<a, es Eje mayor horizontal (x – h)2/ a2 + (y – k)2/b2 = 1 Eje mayor vertical (x – h)2/ b2 + (y – k)2/a2 = 1 Los focos se encuentran sobre el eje mayor a c unidades del centro, donde c2 = a2 - b2. Eje mayor (h,k) (h,k) Eje mayor

5. Ejemplo 1. Encontrar el centro, los vértices, los focos y dibujar la gráfica de la elipse con ecuación (x – 1)2/ 9 + (y – 5)2/25 = 1. El centro está en el punto (1,5). El eje mayor es vertical y a = 5, b = 3. Sabemos que c2 = a2 – b2, entonces c2 = 25 – 9 = 16, y por lo tanto c = 4. Los focos se encuentran sobre el eje mayor separados c unidades del centro, es decir, se encuentran en los puntos (1,9) y (1,1). Eje mayor (1,9) Los vértices sobre el eje mayor son: (1,10) y (1,0). Y los vértices sobre el eje menor son: (-2,5) y (4,5). (1,5) (1,1)

6. Ejemplo 2. Encontrar el centro, los vértices, los focos y dibujar la gráfica de la elipse con ecuación 9x2 + 4y2 –36x +8y +31 = 0. Primero debemos encontrar la forma estándar de esta ecuación. Para esto será necesario completar cuadrados en ambas variables. 9x2 + 4y2 –36x +8y +31 = 9( x2 – 4 x) + 4( y2 + 2 y ) + 31 = 9(x2 –4 x + 4 - 4 ) + 4(y2 +2 y +1-1)+31 = 9(x – 2)2 –36 + 4 (y + 1)2 –4 +31 = 9(x – 2)2 + 4 (y + 1)2 - 9 Entonces la ecuación toma la forma 9(x – 2)2 + 4 (y + 1)2= 9, o bien, (x – 2)2 + (y + 1)2/(9/4) = 1. ¿Cómo continuar ?

7. Ejemplo 3. Encontrar la ecuación y la gráfica de la elipse con vértices (0,2),(4,2) y eje menor de longitud 2. Solución: La distancia entre los vértices (0,2) y (4,2) es 4. Como el eje menor tiene longitud 2, los vértices dados están sobre eje mayor. Entonces 2a=4, y 2b=2. De aquí se obtiene que a=2 y b=1. Además el centro es el punto medio del segmento que une (0,2) con (4,2), eje mayor, entonces el centro tiene coordenadas (2,2). Como c2 = a2- b2, entonces c = 3 y los focos estarán sobre los puntos (2-3,2) y (2+3,2). Eje menor Entonces la ecuación de la elipse es: (x – 2)2/ 4 + (y – 2)2 = 1 Eje mayor (2,2) Y su gráfica es la siguiente:

8. Ejercicios • 1. (Un tunel ). Se debe construir un arco semielíptico como • techo de un tunel para una carretera a través de una montaña. El eje • mayor debe ser de 30 metros y la altura en el centro de 10 metros. • Dibuje un bosquejo del tunel, con un sistema coordenado con el • origen en el centro del arco a la entrada del tunel. Identifique las • coordenadas de los puntos conocidos. • (b) Encuentre la ecuación de la elipse cuya parte superior es el techo • del tunel. • c) Determine la altura del arco a 10 metros del eje del tunel.

9. Después de analizar durante muchos años una enorme cantidad de datos empíricos, para lo cual sólo contaba con lápiz y papel, Johannes Kepler (1571-1630), concluyó que las órbitas de los planetas del sistema solar siguen un modelo elíptico. Es decir, son elipses con el sol en uno de sus focos. A partir de esto formuló tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Las cónicas eran bien conocidas desde el tiempo de los Griegos, pero era difícil reconocer el modelo elíptico en las órbitas de los planetas porque los focos de estas órbitas elípticas están muy cerca del centro lo cual las hace muy redondas, similares a un círculo. Para medir el grado de “redondez” de una elipse existe el concepto de excentricidad. La excentricidad e de una elipse está dada por la razón: e = c/a .

10. Ya sabemos que 0 < c < a, entonces 0 <e = c/a < 1. Si e es cercano a 1. ¿Qué tan redonda es una elipse con este tipo de excentricidad? Si e es cercano a 1, entonces c es cercano al valor de a y como c2 = a2 - b2 , b debe ser pequeña. Dibujemos una elipse con estas características: tomemos a = 3 y b = 1/64. Entonces c2 = a2 - b2 b = 1/64 = 0.0156 = 9 – 0.00087 = 8.99912, a = 3 Por lo tanto c = 2.999853, Y e = c/a = 0.999951. Los focos son los puntos (-2.99912, 0) y (2.99912,0). Los cuales están muy lejos del centro. ¿ Qué pasará si e es pequeña?

11. Si e es pequeña, entonces c debe ser pequeña si a es fija. Como c2 = a2 - b2 , a y b deben ser casi iguales. Dibujemos una elipse con estas características. Tomemos a = 3 y b = 2.999, entonces c2 = a2 - b2 = 9 – 8.994001 = 0.000599, es decir c = 0.02447. b = 2.999 En este caso la excentricidad es: e = c/a = 0.02447/3 = 0.0000815. a = 3 Los focos de esta elipse se encuentran en los puntos (-0.02447, 0) y (0.02447, 0). ¡Los focos están muy cerca del centro!

12. En los siguientes ejercicios usaremos unidades astronómicas UA. Una unidad astronómica es la distancia media (promedio) de la Tierra al Sol, aproximadamente igual a 150106kms. Las UA se utilizan para especificar grandes distancias. Ejemplo 4. Suponga que la longitud del eje mayor de la órbita de la Tierra es de dos UA (300 106kms.). Si se sabe que la excentricidad de la órbita terrestre es 0.0167, calcular las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol. Solución. Trabajemos con unidades astronómicas.Tenemos que 2a = 2 UA, entonces a = 1 UA. Si e = 0.0167, entonces c/a = 0.0167 y por lo tanto c = 0.0167 a, es decir, c = 0.0167 UA. La distancia de la Tierra al Sol es máxima cuando cuando estamos en el vértice más alejado de sol y el valor de esta distancia es c + a = 1.0167 UA = 152106kms. La distancia mínima es: a - c = 1 - 0.0167 UA = 0.9833 UA = 147 106kms.

13. La siguiente tabla contiene los valores de las excentricidades de los nueve planetas del sistema solar.. Observando esta tabla se puede entender la dificultad del problema de distinguir que estas órbitas no son circulares y se aprecia mejor el trabajo de Kepler. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra tiene una excentricidad de 0.0525. Y existen algunos cometas con órbitas circulares con el Sol en uno de sus focos, por ejemplo el cometa Halley tiene una órbita con excentricidad de 0.93 aproximadamente.

14. Ejemplo 5. El primer satélite artificial de la Tierra fue el Sputnik I, lanzado por Rusia en 1957. Su mayor altura sobre la superficie terrestre fue de 938 kilómetros y su posición más baja de 212 kilómetros. Encuentre la excentricidad de la órbita si el radio de la Tierra es de 6378 kilómetros. Solución. Considerando que el centro de la Tierra es uno de los focos de la órbita, tenemos que la altura máxima es c + a y la mínima a – c. De esto obtenemos el siguiente sistema: a + c = 938 + 6378 = 7316, a – c = 212 + 6378 = 6590. Resolviendo vemos que 2 c = 7316 – 6590 = 726. Entonces, c = 363 y a = 6590 + 363 = 6953. Y por lo tanto, e = c/a = 363/ 6953 = 0.0522.

15. La propiedad de reflexión de una elipse. Las elipses tienen propiedades de reflexión análogas a las de las parábolas. Sea l la tangente a una elipse en un punto P sobre ella. Esta recta forma ángulos iguales con las líneas que unen al punto P con los focos de la elipse. P  Debido a esta propiedad, si un rayo de luz o una onda de sonido parte de uno de los focos, ésta es reflejada por la elipse y llega al otro foco.  Por esta razón los elipsoides (superficie que se obtiene al hacer girar una elipse) se utilizan en el diseño de bóvedas que reflejan el sonido y en aparatos como el litotriptor que utilizan los médicos para desintegrar cálculos renales.

16. Ejercicios. • La longitud del eje mayor de la órbita del cometa Halley es • aproximadamente igual a 36.18 UA. Encuentre una ecuación para su • órbita, colocando el centro sobre el origen de un sistema coordenado • y el eje mayor sobre el eje x. ¿Conoce usted la excentricidad de esta • órbita? 2. El cometa Hencke tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. Sus distancias al Sol están entre 0.34 y 4.08 UA. Encuentre una ecuación para la órbita con centro en el origen y eje mayor sobre el eje x. (0,10) 3. El área de la elipse en la figura es el doble del área del círculo. ¿Cuál es la longitud de su eje mayor?. Sugerencia: el área de una elipse es ab.