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Lagrange-Formalismus

Lagrange-Formalismus. Warum Lagrange Benötigte Begriffe Zwangsbedingungen ( holonome ) Generalisierte Koordinaten Lagrange-Gleichungen 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte) 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung

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Presentation Transcript

  1. Lagrange-Formalismus • Warum Lagrange • Benötigte Begriffe • Zwangsbedingungen (holonome) • Generalisierte Koordinaten • Lagrange-Gleichungen • 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte) • 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung Variationsrechnung (Hamilton´s Wirkungsprinzip) • Beispiel

  2. Warum Lagrange • Alternative zu Newton Weiteres Werkzeug zur Bestimmung von Bewegungsgleichungen Aber beliebige Koordinaten wählbar • Zwangsbedingungen leichter implementierbar Explizites Ausrechnen der Zwangskräfte relativ leicht möglich Oder Elimination der Zwangskräfte durch generalisierte Koordinaten -> Reduktion der Dimension des Problems (Freiheitsgrade) • Zu lösenden Gleichungen invariant unter Koordinatentransformationen Behalten immer die gleiche Form • Bessere analytische Möglichkeiten (zB. Symmetrien <-> Erhaltungsgrößen ; Begriff der Gesamtenergie bei v-abhängigen Potentialen)

  3. Benötigte Begriffe • Holonome Zwangsbedingungen (griech.: „ganz gesetzlich“) • Gleichungen zwischen den Ortskoordinaten (auch explizite Zeitabhängigkeit zugelassen) • Darstellbar als vollständiges Differential einer Funktion

  4. Generalisierte Koordinaten • An das Problem angepasste Koordinaten • Können die `Dimension des Problems` verringern Jede Zwangsbedingung entspricht dem Festhalten einer generalisierten Koordinate -> Reduktion der Freiheitsgrade

  5. Lagrange-Funktion • L = T – V T … kin. Energie V … verallgemeinerte potentielle Energie

  6. Die Lagrange-Gleichung(en) • Lagrange-Gleichung erster Art s …. Anzahl der Zwangsbedingungen Fk = 0 λk … Lagrange-Multiplikator Koordinatentransformation L = T –V , Q = -∇V Lagrange-Gleichung 2.Art (Euler-Lagrange-Glg.)

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