Wstęp do analizy matematycznej

1. Wstępdo analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

2. Przebieg zmienności funkcji • Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na wyznaczeniu pewnych własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej określonej za pomocą pewnego wzoru. • Własności te można wywnioskować z wzoru funkcji oraz z jej pochodnych rzędu pierwszego i drugiego. Pozwalają one skonstruować przybliżony wykres funkcji. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

3. Przebieg zmienności funkcji • Schemat rozwiązywania jest następujący: • własności wynikające wprost z wzoru funkcji • dziedzina funkcji i punkty nieciągłości, • punkty przecięcia z osiami (z osią 0X – miejsca zerowe, z osią 0Y – wartości w zerze), • własności szczególne (parzystość, nieparzystość, okresowość, ciągłość), • granice na końcach przedziałów określoności, • asymptoty, • własności wynikające z pochodnej rzędu pierwszego • przedziały monotoniczności, • ekstrema lokalne funkcji, Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

4. Przebieg zmienności funkcji • Schemat rozwiązywania (ciąg dalszy): • własności wynikające z pochodnej rzędu drugiego • przedziały wypukłości i wklęsłości, • punkty przegięcia, • zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki (na podstawie poprzednich punktów) i określenie zbioru wartości funkcji, • szkic wykresu funkcji. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

5. Przebieg zmienności funkcji Przykład. Zbadać przebieg zmienności funkcji y  (2x  3)/(x  1). Funkcja jest określona, gdy x  1. Obliczamy pochodną: y ’  5/(x  1)2. Dla x  1 pochodna y ’  f ’(x) jest dodatnia, a więc funkcja y  f (x) jest stale rosnąca. Zbadajmy zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu x  1. Gdy x  1 z lewej strony, to y  , a gdy x  1 z prawej strony, to y  . Prosta x  1 jest więc asymptotą pionową krzywej y  f (x). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6. Przebieg zmienności funkcji Badamy granice funkcji, gdy x wzrasta nieograniczenie: lim (2x 3)/(x  1)  2 i lim (2x 3)/(x  1)  2, x x  a więc prosta y  2 jest asymptotą poziomą krzywej. Chcąc znaleźć ewentualne punkty przegięcia, szukamy miejsc zerowych pochodnej rzędu drugiego y ”  10/(x  1)3. Funkcja ta nie ma miejsc zerowych, a więc krzywa nie ma punktów przegięcia. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7. Przebieg zmienności funkcji Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji: Wykres funkcji przedstawiono na rysunku. Zadania – zob. plik WDA-1.PDF Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

8. Równania i nierówności Wśród równań i nierówności wyróżniamy m. in.: • równania stopnia zero, • równania liniowe z jedną niewiadomą, • nierówności liniowe z jedną niewiadomą, • równania liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi, • nierówności liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi, • układy równań liniowych, • układy nierówności liniowych, • równania kwadratowe z jedną niewiadomą, • równania sześcienne z jedną niewiadomą, • równania wielomianowe wyższych stopni, • równania i nierówności z wartością bezwzględną, • równania i nierówności trygonometryczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

9. Równania i nierówności Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których wszystkie niewiadome występują w potęgach zerowych (w zapisie równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo np. x 0 = 1). Jeśli z zapisu równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równania, to informacja taka musi znaleźć się w treści zadania (inaczej równanie może nie dać się rozwiązać). Równanie stopnia zero może być albo sprzeczne, albo tożsamościowe, czyli rozwiązaniem jest albo zbiór pusty, albo zbiór liczb rzeczywistych R (dla równań z jedną niewiadomą), albo zbiór wszystkich par rzeczywistych R2 (dla równań z dwiema niewiadomymi), albo zbiór wszystkich trójek liczb rzeczywistych R3 (dla równań z trzema niewiadomymi) itd. Przykłady 2  2 = 5 (równanie sprzeczne) 2x 0 + 3y 0 = 5 (równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

10. Równania i nierówności Równanie z jedną niewiadomą, inaczej: równanie liniowe, to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, np. ax+ b = 0, gdzie a i b oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym a 0. Typy równań liniowych: • równanie tożsamościowe, np. 2x + 1 = 2x + 1 (rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych), • równanie sprzeczne, np. 3x + 1 = 3x +5 (rozwiązaniem jest zbiór pusty), • równanie oznaczone, np. 2x + 3 = 0 (to równanie ma jeden pierwiastek x = 3/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

11. Równania i nierówności Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądają podobnie do równań liniowych, ale zamiast znaku równości zawierają jeden ze znaków nierówności: ostrej (<, >), nieostrej (, ) lub znak różności (). Wyróżniamy trzy typy nierówności: • nierówność tożsamościowa  jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, np. 6x + 3  6x + 3, • nierówność sprzeczna  nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą, np. 3x  5 > 3x + 4, • nierówność nieoznaczona  ma nieskończenie wiele pierwiastków, ale nie są nimi wszystkie liczby rzeczywiste, np. 3x + 6 < 0  rozwiązaniem jest przedział (, 2). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

12. Równania i nierówności Równania liniowe z dwiema niewiadomymi zawierają dwie zmienne, obie (co najwyżej) w pierwszej potędze: ax + by + c = 0, gdzie a, b i c oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym przynajmniej jedna z liczb a i b jest różna od zera. W zależności od tego, które ze współczynników a i b są różne od zera, rozwiązaniem jest • prosta y = c/b, równoległa do osi x, gdy a = 0 i b 0, • prosta x = c/a, prostopadła do osi x, gdy a  0 i b = 0, • prosta y = ax/b  c/b. Równanie liniowe z trzema niewiadomymi: ax + by + cz = 0, gdzie przynajmniej jedna z liczb a, b i c jest różna od zera. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

13. Równania i nierówności W nierównościach liniowych z dwiema niewiadomymi występują dwie niewiadome i jeden ze znaków <, >, ,  lub . Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 posiada pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik  = b2  4ac jest dodatni lub równy zeru. Gdy  > 0, pierwiastkami są x1 = (b  )/2a, x2 = (b + )/2a, a gdy  = 0, to równanie posiada jeden pierwiastek podwójny x = b/2a. Gdy  < 0, to równanie posiada dwa pierwiastki zespolone. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14. Równania i nierówności Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej (1) ax2 + bx + c > 0 lub nierówności (2) ax2 + bx + c < 0, a 0, możemy założyć, że a > 0. Rozwiązanie nierówności (1): • gdy  > 0, to x < x1 lub x > x2, gdzie x1 i x2 oznaczają pierwiastki trójmianu kwadratowego, • gdy  = 0, to x  R  {b/2a}, • gdy  < 0, to x  R. Rozwiązanie nierówności (2): • gdy  > 0, to x1 < x < x2, • gdy   0, to nie ma rozwiązań. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

15. Równania i nierówności Przy rozwiązywaniu równości wykładniczych, w których niewiadoma występuje w wykładnikach potęgi, często korzystamy z następującej własności funkcji wykładniczej: jeśli podstawa a spełnia warunek a > 0 oraz a 1 ia x = a y, to x = y. Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, w których niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu korzystamy z własności, że jeślia > 0 oraza  1 ilogax = logay, to x = y. Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym występują funkcje trygonometryczne. Rozwiązanie takiego równania powinno uwzględniać okresowość tych funkcji. W równaniach z wartościami bezwzględnymi należy uwzględnić przypadki, gdy wartości występujące w symbolach wartości bezwzględnej są ujemne i nieujemne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

16. Równania i nierówności Równaniestopnia trzeciego to równanie postaci ax3 + bx2 + cx + d = 0, gdzie a 0. Dzieląc to równanie przez a i podstawiając x = y  b/3a otrzymujemy równanie (1) y 3 + 3py + 2q = 0, gdzie 3p = (3ac b 2)/(3a 2) oraz 2q = (2b 3)/(27a 3)  (bc)/(3a 2) + d/a. Liczba rozwiązań rzeczywistych równania (1) zależy od znaku wyróżnika D = q 2 + p 3. Jeżeli D > 0, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone. Jeśli D = 0, to w przypadku, gdy p = q = 0, równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny równy 0, a gdy p 3 = q2  0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest dwukrotny. Gdy D < 0, to równanie ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

17. Równania i nierówności Gdy D 0, korzystamy ze wzorów Cardana: y1 = u + v, y2 = 1u + 2v, y3 = 2u + 1v, gdzie u = (q + D 1/2)1/3, v = (q  D 1/2)1/3, a 1 i 2 oznaczają pierwiastki równania x 2 + x + 1 = 0, tzn. 1 = (1 + i3)/2, 2 = (1  i3)/2. Jeśli D < 0, to wprowadzamy pomocniczą niewiadomą , taką że cos = =q/r3, gdzie r = |p|, przy czym  oznacza +1 lub 1, zgodnie ze znakiem q i pierwiastki obliczamy ze wzorów: y1 = 2r cos(/3), y2 = 2r cos(60  /3), y1 = 2r cos(60 + /3). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

18. Równania i nierówności Równanie n-tego stopnia to równanie postaci (1) W(x) = xn + a1x n1 + … + an = 0. Przy znajdowaniu pierwiastków korzystamy m. in. z następujących reguł: (twierdzenie Bezouta) Równanie (1) ma pierwiastek x = awtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (jednomian) x  a. Pierwiastki będące liczbami całkowitymi równania otrzymanego przez przyrównanie do zera wielomianu o współczynnikach całkowitych muszą być dzielnikami wyrazu wolnego. Specjalnym przypadkiem równania n-tego stopnia jest równanie dwukwadratowe ax4 + bx2 + c = 0, gdzie a  0. Rozwiązujemy je przez podstawienie x 2 = z. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

19. Równania i nierówności Układ równań liniowych niejednorodnych a11 + a12 + … + a1nxn = b1, a21 + a22 + … + a2nxn = b2, ……………………………………….. am1 + am2 + … + amnxn = bm jest niesprzeczny, gdy istnieje przynajmniej jeden zespół wartości {1, 2, … , n} spełniających wszystkie dane równania. Układ ten jest sprzeczny, jeżeli nie ma ani jednego takiego rozwiązania. Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

20. Równania i nierówności Rzędem macierzyA o wymiarze mn nazywamy największy stopień jej minorów różnych od zera. Minorem stopnia k macierzy (k  m i k  n) nazywamy wyznacznik składający się (z zachowaniem kolejności) z k 2 elementów macierzy leżących na przecięciu wybranych jej k kolumn i k wierszy. Aby wyznaczyć rząd macierzy, należy rozpatrzyć wszystkie jej minory stopnia l, gdzie l oznacza mniejszą z liczb m i n (lub l = m = n). Jeżeli znajdziemy jakiś minor stopnia k różny od zera, to dalej wystarczy zbadać wyznaczniki stopnia k + 1 zawierające te wiersze i te kolumny danej macierzy, na przecięciu których znajdują się liczby tworzące wyznacznik stopnia k. Jeśli wszystkie takie minory rzędu k + 1 są równe zeru, to rząd macierzy jest równy k. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

21. Równania i nierówności Niesprzeczny układ równań liniowych rozwiązuje się w następujący sposób: • obliczamy rząd r macierzy układu, • zmieniamy porządek równań układu, a w równaniach przestawiamy niewiadome x1, x2, … , xn w taki sposób, żeby w lewym górnym narożniku macierzy znalazł się minor stopnia r, różny od zera. Mogą zajść dwa przypadki: 1 r = n, r  m. Rozwiązując układ pierwszych n równań z n niewiadomymi otrzymujemy jedynie rozwiązanie {1, 2, … , n}, ponieważ wyznacznik tego układu nie równa się zeru. Jeżeli n < m, wtedy to samo rozwiązanie spełnia również m  n pozostałych równań, które wynikają z pierwszych. Układ jest oznaczony. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

22. Równania i nierówności 2 r < n, r  m. Rozwiązujemy układ pierwszych r równań względem pierwszych r niewiadomych x1, x2, … , xr, wyrażając te niewiadome przez n  r pozostałych niewiadomych xr+1, xr+2, … , xn. Otrzymujemy rozwiązanie w postaci układu funkcji liniowych: x1 = x1(xr+1, xr+2, … , xn), X2 = x2(xr+1, xr+2, … , xn), ………………………………… xr = xr(xr+1, xr+2, … , xn), ponieważ wyznacznik układu równań nie równa się zeru. Niewiadomym xr+1, xr+2, … , xn można nadać dowolne wartości. Te same rozwiązania spełnia również m r pozostałych równań (jeśli r < m), które wynikają z pierwszych. Układ równań jest nieoznaczony. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

23. Równania i nierówności Jeżeli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to do rozwiązania układu równań liniowych stosujemy twierdzenie Cramera. Jeśli macierz układu n równań liniowych o n niewiadomych jest nieosobliwa, to jedyne rozwiązanie x1,x2, … , xn tego układu dane jest wzorami x1 = |A1|/|A|, x2 = |A2|/|A|, … , xn = |An|/|A|, w których Ai oznacza macierz powstającą z macierzy A układu przez zastąpienie jej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Zadania – zob. plik WDA-2.PDF Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego