Project D2: Kempenland

1. Project D2:Kempenland Sander Verkerk Christian Vleugels Begeleider: Annemarie Aarts Opdrachtgever: Monique van den Broek

2. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland

3. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Probleembeschrijving • Gegeven: • Plattegrond van het museum • Soorten camera’s: • 90°-camera • 180°-camera • 360°-camera • Doel: Plaats camera’s zodanig dat alle gehele coördinaten in het museum beveiligd zijn tegen minimale kosten Het probleem

4. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland De camera’s

5. Inleiding Beveiliging van museum Kempenland • Het probleem • Wat te bepalen? • Hoe pakken we het aan? • Overstap naar de wiskunde • Flowchart • Algoritmen • Java programma • Voorbeeld op klein niveau • Terug naar het museum • Resultaten • Conclusie

6. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Doel: Plaats camera’s zodanig dat alle gehele coördinaten in het museum beveiligd zijn tegen minimale kosten • Harde eis: Alle gehele coördinaten moeten beveiligd worden • Iedere soort camera heeft voorwaarden Wat gaan we bepalen?

7. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Overstap naar de Wiskunde • Java programma • Optimalisatie Hoe pakken we het aan?

8. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Muren zijn rechte lijnen met een richtingscoëfficiënt op een bepaald domein • Kostenfunctie: Totale kosten = #(90°-camera’s) x + #(180°-camera’s) x #(360°-camera’s) x Overstap naar de Wiskunde

9. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Ken waarden toe aan potentiële camera-punten: • 1 als er een camera is geplaatst • 0 als er geen camera is geplaatst Dit leidt tot de volgende Kostenfunctie: Overstap naar de Wiskunde

10. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland Minimaliseer: Onder de voorwaarde: (In woorden: per punt dat beveiligd moet worden, moet er minstens 1 camera zijn die dat punt beveiligd) Optimalisatie

11. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Verzamelingen definiëren: • M = {punten die muur zijn} • Hierin hebben we 2 soorten: Buitenmuur en Binnenmuur • B = {punten die beveiligd moeten worden} • C90 = {punten waar een 90 graden camera kan} • C180 = {punten waar een 180 graden camera kan} • C360 = {punten waar een 360 graden camera kan} • S(b) = {c ϵ Cx | b ϵB, b-c snijd geen muur} Overstap naar de Wiskunde

12. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Bepaal alle roosterpunten (x,y); • Bepaal welke roosterpunten een muur zijn; • Bepaal welke muren buitenmuren zijn; • Bepaal de roosterpunten die beveiligd moeten worden; • Bepaal de roosterpunten waar je welke camera kunt hangen; • Bepaal welke camera’s een punt uit B kunnen beveiligen; • Bepaal welke hieruit overbodig zijn. Flowchart

13. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Algoritme voor het bepalen van M; • Algoritme voor het bepalen van de buitenmuren/binnenmuren • Algoritme voor het bepalen van B; • Algoritme voor het bepalen van C90, C180, C360 • Algoritme voor het bepalen van S(b). Algoritmen

14. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • xStart = xEind: Muur is een verticale lijn, verhoog de y-waarde steeds met 1 • yStart = yEind: Muur is een horizontale lijn, verhoog de x-waarde steeds met 1 • Schuine muur Bepaal de richtingscoëfficiënt, verhoog de x-waarde met 1 en kijk of de y-waarde die bij die x-waarde hoort een roosterpunt is M bepalen

15. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland Buitenmuren bepalen

16. Beveiliging van museum Kempenland B bepalen

17. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Twee mogelijkheden: • Punt op de muur is snijpunt van 2 (of meerdere) muren • Punt op de muur is geen snijpunt C90, C180, C360 bepalen

18. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • 3 zijden van een driehoek bekend, dan liggen de hoek van die driehoek vast • Cosinusregel: Punt is een snijpunt

19. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Nu nog de twee kijkrichtingen vinden waartussen de camera kan kijken: minimale kijkrichting, maximale kijkrichting Punt is een snijpunt

20. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Snijpunt is beginpunt ene muur, eindpunt andere muur • Snijpunt is beginpunt ene muur, beginpunt andere muur • Snijpunt is eindpunt ene muur, eindpunt andere muur • Snijpunt ligt tussen het begin- en eindpunt van de ene muur • Snijpunt ligt tussen het begin- en eindpunt van de andere muur Gevalsonderscheid

21. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland • Punt is uiteinde van een muur: 360°-camera die helemaal rondkijkt • Punt ligt op een binnenmuur: 180°-camera die naar boven kijkt, 180°-camera die naar beneden kijkt • Punt ligt op een buitenmuur: 180°-camera die naar “binnen” kijkt Punt is geen snijpunt

22. Beveiliging van museum Kempenland S bepalen • Bekend: Begin- en eindpunten van de muren Punt dat beveiligd moet worden Alle camerapunten • Muur beschrijven als een functie: y = am ∙ x + bm • Lijn tussen punt en camera beschrijven als een functie: y = ac ∙ x + bc

23. Beveiliging van museum Kempenland S bepalen • Snijpunt berekenen: am ∙ x + bm = ac ∙ x + bc x = • Bepalen of het snijpunt op de lijn en de muur ligt.

24. Beveiliging van museum Kempenland Java programma • Leest de txt-file van de coördinaten van de begin- en eindpunten van de muren • Maakt array van alle roosterpunten • Maakt een mooie plattegrond van het museum • Maakt gebruik van vectoren voor de verzamelingen • Geeft uiteindelijk voor ieder punt, welke camerapunten dat punt kunnen beveiligen

25. Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland Voorbeeld

26. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland Zelf berekend: • Een optimale oplossing is: • 90°-camera met coördinaten ((0,0), 0, 90) • 90°-camera met coördinaten ((3,3), 180, 270) • Minimale kosten: • 2 x €3000,- = €6000,- Voorbeeld

27. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland Met behulp van het programma: • Een optimale oplossing is: • 90°-camera met coördinaten ((0,0), 0, 90) • 90°-camera met coördinaten ((3,0), 90, 180) • Minimale kosten: • 2 x €3000,- = €6000,- Voorbeeld

28. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland Terug naar het museum

29. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland Met behulp van het programma: • De optimale oplossing: • 15 camera’s: • 4 90°-camera’s • 11 180°-camera’s • 0 360°-camera’s • Minimale kosten: • 4 x €3000,- + 11 x €5000,- = €67000,- Terug naar het museum

30. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland

31. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland • Het Java-programma werkt voor het kleine voorbeeld • Cplex geeft ons “dezelfde” optimale oplossing voor het kleine voorbeeld • Dus we nemen aan dat het voor het museum ook werkt • Optimale oplossing: €67000,- Conclusie

32. Zandloper Beveiliging van museum Kempenland Zijn er nog vragen?