Introdução à Robótica

1. Introdução à Robótica PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATOE-mail: andre.marcato@ufjf.edu.br PPEE – Sala 206 – 2102 3460 Aula Número: 02 Cinemática Posição de um Corpo Rígido Matriz de Rotação Composição de Matrizes de Rotação Ângulos de Euler

2. Manipulador: cadeia de corpos rígidos (ELOS ou LINKS) conectados através JUNTAS (ou JOINTS) de revolução ou prismáticas. Uma extremidade do manipulador é limitada por uma base. Na outra extremidade é acoplado do efetuador (end-effector) O movimento resultante da estrutura é obtido pelos movimentos elementares de cada ELO (LINK) em relação ao anterior. É necessário descrever a posição e orientação do efetuador (ou ferramenta). Objetivo: Derivar a equação cinemática direta (baseado em algebra linear) e tratar o problema cinemático inverso. Posição e orientação do efetuador como função das variáveis JUNTAS (JOINTS) Estruturas cinemáticas: cadeia fechada e cadeia aberta Espaço operacional x Espaço de Juntas Técnica de calibração dos parâmetros do manipulador cinemático Dada a posição do orientador qual o valor das variáveis JUNTAS (JOINTS) Introdução

3. Pose de Um Corpo Rígido (1) Um corpo rígido é completamente descrito no espaço pela sua posição e orientação (pose) em relação a um sistema de coordenadas (frame). Corpo Rígido O-xyz frame de referência ortonormal Posição de Um Ponto O’ do corpo rígido em relação ao frame de referência O-xyz. x, y, z: Vetores unitários dos eixos do frame

4. Pose de Um Corpo Rígido (2) Para descrever a orientação do corpo rígido, é necessário considerar um frame ortonormal acoplado ao mesmo e expressar seus vetores unitários em relação ao frame de referência. Seja O’-x’y’z’ um frame com origem em O’ e x’, y’ e z’ são os vetores unitários dos eixos deste frame. Estes vetores podem ser expressos em relação ao frame de referência O-xyz através das equações: Os componentes de cada vetor unitário são os ângulos diretores dos eixos do frame O’-x’y’z’ em relação ao frame de referência O-xyz

5. Matriz de Rotação (1)

6. Matriz de Rotação (2) - Propriedades 1 1 1 Matriz Homogênea

7. Rotações Elementares (1) Considere as frames que podem ser obtidas via rotações elementares da frame de referência em torno de um dos seus eixos. Positivas: Se realizadas no sentido horário Suponha que a frame de referência (O-xyz) seja rotacionada por um ângulo a em torno de eixo z para gerar a frame O’-x’y’z’

8. Rotações Elementares (2) Os vetores unitários da nova frame podem ser descritos por: • Logo, a matriz de rotação da frame O’-x’y’z’ em relação a frame O-xyz (obtida através de uma rotação em torno do eixo z é:

9. Rotações Elementares (3) De maneira análoga, pode ser mostrado que as rotações através de um ângulo b em torno do eixo y e através de um ângulo g em torno do eixo x são respectivamente dadas por: • Observa-se também que:

10. Representação de um Vetor (1) Considere o caso no qual a origem da frame de um corpo rígido coincide com a frame de referência • o’ = 0, onde 0 denota um vetor nulo 3x1. • Em relação ao frame de referência, um ponto P no espaço pode ser representado por: • Ou, em relação ao frame O-x’y’z’:

11. Representação de um Vetor (2) Considerando que p e p’ são representações do mesmo ponto P, tem-se: • A matriz de rotação R representa a matriz de transformação de vetor de coordenadas no frame O-x’y’z’ para o mesmo vetor no frame O-xyz.

12. Exemplo 2.1 (1) Considere dois frames com origem comum rotacionados entre si por um ângulo a em torno do eixo z. Seja p e p’ os vetores de coordenadas do ponto P, expressos nos frames O-xyz e O-x’y’z’. • Utilizando relações geométricas, a relação entre as coordenadas do ponto P nas duas frames é:

13. Exemplo 2.1. (2) a

14. Exemplo 2.1. (3) a

15. Exemplo 2.1. (4)

16. Rotação de um Vetor A matriz de rotação pode ser também interpretada como um operador matricial que permite a rotação de um vetor por um dado ângulo em torno de um eixo arbitrário no espaço. Seja p’ um vetor no frame de referência O-xyz, o produto Rp’ produz um vetor p com o mesmo módulo mas rotacionado em relação a p’ de acordo com a matriz R. A igualdade do módulo dos dois vetores pode ser provada observando que pTp = p’TRTRp’. Módulo ou Norma de um vetor:

17. Exemplo 2.2. (1) Considere o vetor p que é obtido pela rotação do vetor p’ no plano xy em torno de um ângulo a sobre o eixo z do frame de referência. Seja (p’x, p’y, p’z) as coordenadas do vetor p’. O vetor p tem as seguintes componentes:

18. Exemplo 2.2. (2) b b 90-b

19. Exemplo 2.2. (3) b-a b-a

20. Exemplo 2.2. (4)

21. Resumo: Propriedades Matriz Rotação Descreve a orientação mútua entre dois frames coordenados. Seus vetores coluna são os ângulos diretores dos eixos do frame rotacionado em relação ao frame original. Representa a transformação de coordenadas entre um ponto expresso em dois frames distintos (com origem comum). É o operador que permite a rotação de um vetor no mesmo frame.