Transformée de Hartley

1. Transformée de Hartley Juillet 2014

2. Transformation de Hartley rapide(FHT - Fast Hartley Transform) • La transformée de Fourier exige de travailler avec des nombres complexes. • Calculs plus compliqués. • Additions et soustractions de nombres complexes • Multiplication de nombres complexes • La transformée de Hartley se fait dans le domaine réel. • Prix à payer: on perd l’information de phase.

3. FHT - Fast Hartley Transform • Fonction de transformation: • avec

4. FHT - Fast Hartley Transform • Dans un développement similaire au DFT: • en posant n = n+N/2 dans la seconde partie:

5. FHT - Fast Hartley Transform • Identités trigonométriques: • 2 cas à analyser pour simplifier les calculs: • Si k impair • Si k pair

6. FHT - Fast Hartley Transform • Si k impair:

7. FHT - Fast Hartley Transform • Si k pair:

8. FHT - Fast Hartley Transform • Ainsi, la fonction H(k) est pour k pair: • … et pour k impair:

9. FHT - Fast Hartley Transform • Posons k = 2k pour k pair, alors H(k) devient: • … et k = 2k+1 pour k impair, alors H(k) devient:

10. FHT - Fast Hartley Transform • Avec un peu de trigo. on calcule: • … et

11. FHT - Fast Hartley Transform • Donc: • et substituant n=N/2-n dans la seconde partie

12. FHT - Fast Hartley Transform • Finalement, si on pose: • …et:

13. FHT - Fast Hartley Transform • Alors, il suffit d’utiliser: • …et: • Pour calculer la transformée

14. Exemple: FHT avec 8 points • Soit un signal échantillonné sur 8 points: • x(0)=0; x(1)=1; x(2)=2; x(3)=1; x(4)=0; x(5)=-1; x(6)=-2; x(7)=-1.

15. Exemple: FHT avec 8 points

16. Exemple: FHT avec 8 points

17. Exemple: FHT avec 8 points

18. Exemple: FHT avec 8 points

19. Exemple: FHT avec 8 points