Równania różniczkowe cząstkowe

1. Równania różniczkowe cząstkowe • liczba zmiennych > 2 • rząd równania: rząd najwyższej pochodnej • charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe

3. klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

4. Motywacja dla takiej klasyfikacji Najprostsze rozwiązania: Również dla bardziej skomplikowanych równańlokalne własności rozwiązanie zależą od znaku wyrażenia B2-4AC.

5. y węzeł pomocniczy h=(hx,hy) hy Xk hx Parametr h charakteryzuje siatkę h x węzeł podstawowy W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów Xk (k=1,2,...,Nh )zwanym siatką. Punkty Xk są nazywane węzłami siatki.

6. Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej k+1 k hi hk k-1 i-1 i i+1

7. k+1 k hi hk k-1 i-1 i i+1

8. k+1 k hi hk k-1 i-1 i i+1

9. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta h  i,k i+1,k i-1,k Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:

10. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. hi i-1,k i,k hk n i,k-1

11. Równania eliptyczne w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y) Warunki brzegowe:

12. Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony

13. e=80 e=4 Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły

14. Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od cAMP (1YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.

15. 10 y(k) 9 8 7 p 6 hy j-1 j j+1 5 l 4 3 2 hx (0,0) 1 1 2 3 4 6 5 7 8 9 x(i)

16. Dla węzłów wewnętrznych: p j-1 j j+1 l

17. styczna m p-1 p (xkp,ykp) normalna

18. -1 -1 4 -1 -1 Metoda Jacobiegow 2D • Równanie Poissona -4* u(i,j) + u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) = h2 b(i,j) • Dla wyprowadzenie metody Jacobiego przegrupujemy: u(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) -h2 b(i,j))/4 • Niech u(i,j,m) aproksymuje u(i,j) w m krokach u(i,j,m+1) = (u(i-1,j,m) + u(i+1,j,m) + u(i,j-1,m) + u(i,j+1,m) + b(i,j)) / 4 • u(i,j,m+1) jest średnią ważoną sąsiadów • u(i,j,m+1) spełnia równanie w punkcie (i,j) • Zbieżność zależy od N i jest bardzo wolna

19. b równe 0, z wyjątkiem środka gdzie wynosib= -1/ h2

20. parameter(n=9) double precision a(n,n),b(n,n),f(n,n),h do i=1,n do j=1,n f(i,j)=0 a(i,j)=0 b(i,j)=a(i,j) enddo enddo h=1.0/n f(5,5)=-1.0/h**2 diff=1 k=0 DO WHILE(diff.gt.0.0001) call pisz(a,n,k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i,j)=0.25*(A(i-1,j)+A(i+1,j)+A(i,j-1)+A(i,j+1)-H*H*F(I,J)) END DO END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i,j)-A(i,j))**2 A(i,j) = B(i,j) END DO END DO k=k+1 write(*,*) k,diff END DO end

21. Jak przyspieszyć zbieżność ? • Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji • A*ij=(Ai+1,j+Ai-1,j+Ai,j+1+Ai,j-1)/4 • Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A • Red Block : podział siatki jak na szachownicy • Successive Over Relaxation (SOR) • A*ij=(1-s)Aij+s(Ai+1,j+Ai-1,j+Ai,j+1+Ai,j-1)/4 • dla s =1.2 do 1.4 • Multigrid – siatka hierarchiczna