Matrix

1. Matrix ง 30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต

2. ความหมายของเมทริกซ์ • บทนิยาม 6.1 การนำจำนวนจริงมาเขียนเรียงกันให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็น 2 มิติ โดยอยู่ในแนวนอนที่เรียกว่า แถว และในแนวตั้งที่เรียกว่า หลัก ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ เราจะเขียนแทนด้วย A ด้วย [aij] เมื่อ aij เป็นจำนวนจริงใดๆ ในแถวที่ iและหลักที่ jของ A จะกล่าวว่า Aเป็นเมทริกซ์ขนาด m x n ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ที่มี mแถวและ nหลัก เขียนแทนขนาดของ Aด้วย m x n

3. ตัวอย่าง • A เป็นเมทริกซ์ขนาด 3x2 • a12 = 2 • a32 = 5 • B เป็นเมทริกซ์ขนาด ? • b12 = ? • b23 = ?

4. กรณีทั่วไป ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n เขียนแทน A ด้วย [aij]mxn เมื่อaij เป็นจำนวนจริง โดยที่ และ นั่นคือ

5. บทนิยาม 6.2 เรียกเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวว่า เมทริกซ์แถว หรือ เวกเตอร์แถว และ เรียกเมทริกซ์ที่มีหลักเดียวว่า เมทริกซ์หลัก หรือ เวกเตอร์หลัก

6. บทนิยาม 6.3 เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก เรียกว่า เมทริกซ์จัตุรัส และ เรียกเมทริกซ์ที่ทุกจำนวนมีค่าเป็น 0 ว่า เมทริกซ์ศูนย์ เขียนแทนด้วย [0] หรือ 0 ตัวอย่าง

7. บทนิยาม 6.4 ให้ A = [aij] และ B = [bij] จะกล่าวว่า Aและ Bเป็นเมทริกซ์ที่เท่ากัน เขียนแทนด้วย A = B ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและจำนวนในตำแหน่งที่ตรงกันเท่ากัน นั่นคือ aij = bijทุกค่า iและ j เมทริกซ์ใดที่เท่ากันบ้าง? A = C

8. การดำเนินการบนเมทริกซ์การดำเนินการบนเมทริกซ์ • บทนิยาม 6.5 ให้ A = [aij] และ B = [bij] เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n ผลบวกของ Aและ Bเขียนแทนด้วย A + B มีค่าเท่ากับ [aij + bij] และ A + B มีขนาดเป็น m x n • บทนิยาม 6.6 กำหนด A = [aij] เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n ผลคูณของสเกลาร์ kของ Aเขียนแทนด้วย kA หรือ Akมีค่าเท่ากับ [kaij] และมีขนาดเป็น m x n

9. ตัวอย่าง กำหนด และ จงหา A + B วิธีทำ เนื่องจาก A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด 3 x 3 จะได้ว่า A + B เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด 3 x 3 A + B = = =

10. ตัวอย่าง กำหนด และ k1 = -1, k2 = 0 จะได้ว่า

11. ทฤษฎีบท 6.1 • ให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n และ k1และ k2เป็นสเกลาร์ จะได้ว่า • (A + B) + C = A + (B + C) • A + B = B + A • A + 0 = A = 0 + A • A + (-A) = 0 = (-A) + A • k1(A + B) = k1A + k1B • (k1 + k2)A = k1A + k2A • (k1k2)A = k1 (k2A) • 1A = A

12. บทนิยาม 6.7 ให้ A = [aij] เป็นเมทริกซ์ขนาด m x k และ B = [bij] เป็นเมทริกซ์ขนาด k x n ผลคูณของ Aและ Bเขียนแทนด้วย ABมีค่าเท่ากับ [cij] ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขนด m x n โดยที่ มีค่าเท่ากับผลบวกของผลคูณของจำนวนในแถวที่ iของ A และหลักที่ jของ B โดยที่ cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aikbkj เมื่อ และ

13. ศึกษาเพิ่มเติม • http://demonstrations.wolfram.com/MatrixMultiplication/(recommended) • http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php • http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics) • Matrix chain multiplication

14. จงพิจารณาว่า เราสามารถหาผลคูณของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ ได้หรือไม่    AB = ? BA = ? AC = ? CA = ? BC = ? CB = ?   

15. ทฤษฎีบท 6.2 • กำหนด A, B และ C เป็นเมทริกซ์ซึ่งสามารถหาผลบวกและผลคูณได้ และ k เป็นสเกลาร์ จะได้ • A(BC) = (AB)C • A(B + C) = AB + AC • (A + B)C = AC + BC • k(AB) = (kA)B = A(kB)

16. โจทย์ Programming • จงเขียนโปรแกรมหาผลคูณของเมทริกซ์ A และ B ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 • จงเขียนโปรแกรมหาผลคูณของเมทริกซ์ A และ B ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขนาด M x N โดยที่ M และ N เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 4 หากไม่สามารถหาผลคูณได้ให้แสดงข้อความ “ERROR”ออกทางจอภาพด้วย

17. เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (Transposes of Matrices) • บทนิยาม 6.8 ให้ A = [aij] เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ Aเขียนแทนด้วย ATคือเมทริกซ์ [aji] ขนาด n x m ที่ได้จากการสลับแถวและหลักของ A นั่นคือ ถ้า A = [aij] และ AT= [bij] แล้ว [bij] = [aji] เมื่อ และ

18. ตัวอย่าง กำหนด จงหา AT • เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด 3 x 2 ดังนั้น AT มีขนาด 2 x 3 และ

19. กำหนด จงหา AT , BT และ CT

20. ทฤษฎีบท 6.3 • กำหนด A, B และ C เป็นเมทริกซ์ซึ่งสามารถหาผลบวกและผลคูณได้ และ k เป็นสเกลาร์ จะได้ • (A + B)T = AT + BT • (AB)T = BTAT • (kA)T = kAT • (AT)T = A

21. บทนิยาม 6.9 เมทริกซ์จัตุรัส A เป็นเมทริกซ์สมมาตร ก็ต่อเมื่อ A = AT จงพิจารณาว่า เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์สมมาตร ?   

22. เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix of order n) • บทนิยาม 6.10 เมทริกซ์เอกลักษณ์อันดับ n เขียนแทนด้วย คือเมทริกซ์ขนาด n x n ที่มี นั่นคือ

23.  เมทริกซ์ใดไม่ใช่เมทริกซ์เอกลักษณ์?

24. กำหนด จงหา AI2 และI3A

25. ทฤษฎีบท 6.4 • ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ขนาด m x nแล้ว AIn = ImA = A

26. เมทริกซ์ผกผัน • บทนิยาม 6.10 ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่ง AB = BA = In จะเรียก B ว่า เมทริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วย A-1 และเรียก A ว่าเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (Nonsingular Matrix) พิจารณาตัวอย่าง 6.12 หน้า 134

27. ดีเทอร์มิแนนต์ • บทนิยาม 6.12 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det(A) หรือ |A| นิยามโดย 1) ถ้า A = [a11] แล้ว det(A) = | a11 | = a11 2) ถ้าแล้ว det(A) = =

28. ดีเทอร์มิแนนต์ • บทนิยาม 6.12(ต่อ) 3) ถ้าแล้ว

29. ดีเทอร์มิแนนต์

30. ทฤษฎีบท 6.5 • ถ้า Aและ B เป็นเมทริกซ์ขนาด n x nแล้ว det(AB) = det(A)det(B)

31. ทฤษฎีบท 6.6 • เมทริกซ์ Aขนาด 2 x 2 จะมีเมทริกซ์ผกผันก็ต่อเมื่อ det(A) ≠0 และ ถ้า แล้ว

32. ตัวอย่าง กำหนด จงหาเมทริกซ์ผกผันของ A • เพราะว่า แสดงว่าหา A-1ได้ และ

33. ทำแบบฝึกหัดบทที่ 6 ข้อ 1 - 10

34. ศึกษาเพิ่มเติม • http://demonstrations.wolfram.com/33DeterminantsByExpansion/ • http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/matrices/determinant/basic.jsp • http://www.purplemath.com/modules/determs.htm • http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

35. เมทริกซ์กับความสัมพันธ์เมทริกซ์กับความสัมพันธ์ • การแทนความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเมทริกซ์ 0 – 1 สมมติให้ A = {a1, a2, … , am} และ B = {b1, b2, … , bn} เมทริกซ์ 0 – 1 ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Mr = [mij]mxn

36. ตัวอย่าง • ให้ A = {1, 2, 3} และ B={1, 2} และ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B สมมติให้ จงเขียนแทน r ด้วยเมทริกซ์ 0 – 1 Mr วิธีทำ เนื่องจาก r = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} จะได้เมทริกซ์ 0 – 1 Mrคือ

37. ตัวอย่าง • ให้ A = {2, 4, 6} และ B={1, 2} และ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B สมมติให้ จงเขียนแทน r ด้วยเมทริกซ์ 0 – 1 Mr วิธีทำ เนื่องจาก r = {(2, 1), (4, 1), (4, 2), (6, 1), (6, 2)} จะได้เมทริกซ์ 0 – 1 Mrคือ

38. ตัวอย่าง • ให้ A = {a1, a2, a3} และ B={b1, b2, b3, b4, b5} จงหาความสัมพันธ์ r เมื่อ

39. การนำเมทริกซ์จัตุรัส 0 – 1 ที่ใช้แทนความสัมพันธ์ ช่วยพิจารณาสมบัติสะท้อน และสมบัติสมมาตร • r มีสมบัติสะท้อน ก็ต่อเมื่อทุก i = 1,2,3,.., n นั่นคือ ถ้าพิจารณาจากสมาชิกของเมทริกซ์ 0 – 1 Mrจะได้ว่า r มีสมบัติสะท้อน ก็ต่อเมื่อ mii = 1 ทุก i = 1,2,3,…,n

40. การนำเมทริกซ์จัตุรัส 0 – 1 ที่ใช้แทนความสัมพันธ์ ช่วยพิจารณาสมบัติสะท้อน และสมบัติสมมาตร • r มีสมบัติสะท้อน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ 0 – 1 Mrเป็น 1 • r มีสมบัติสมมาตรก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์ 0 – 1 Mrเป็นเมทริกซ์สมมาตร

41. ตัวอย่าง • ให้ความสัมพันธ์ r แทนด้วยเมทริกซ์ พิจารณาว่า r มีสมบัติสะท้อนและสมบัติสมมาตรหรือไม่

42. การดำเนินการบูลีน  และ  อื่นๆ อื่นๆ

43. ตัวอย่าง กำหนด และ จงหา A B และ A B • A B = = • A B = =

44. ตัวอย่าง กำหนด และ จงหา A B และ A B

45. การหาผลคูณบูลีนของเมทริกซ์ 0 – 1(AB) • การหาผลคูณบูลีนของเมทริกซ์ 0 – 1 ของ A กับ B หรือ AB จะเหมือนกับการหาผลคูณของเมทริกซ์ธรรมดา • แทนเครื่องหมายบวก ด้วย  • แทนเครื่องหมายคูณ ด้วย 

46. ตัวอย่าง กำหนด และ จงหา A B

47. การนำการดำเนินการบูลีนมาใช้หายูเนียนและอินเตอร์เซกชันของความสัมพันธ์ 2 ความสัมพันธ์ • บทนิยาม 6.17 ให้ r และ s เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B นิยาม และ • บทนิยาม 6.18 ให้ r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B และ s เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต C นิยาม

48. ตัวอย่าง ให้ r และ s เป็นความสัมพันธ์บนเซต A ซึ่งแทนด้วยเมทริกซ์ 0 – 1 คือ และ จงหาเมทริกซ์ 0 – 1 ที่แทนความสัมพันธ์ rsและ rs วิธีทำ จากบทนิยาม 6.17 จะได้ ทำต่อ

49. ทำแบบฝึกหัดบทที่ 6 ข้อ 16 - 19