MATRIX

1. MATRIX

2. Definisi • Matrix adalah himpunan skalar (Riil dan Complex), yang disusun secara empat persegi panjang (baris x kolom) • Skalar – skalar disebut Elemen Matrix • Batas-batas [ ] atau atau

3. Contoh baris 1 baris 2 baris 3 1 2 3 4 kolom Matrix Riil

4. Notasi Matrix • Nama Matrix dengan huruf Besar A, B, C, P, Q • Secara lengkap Matrix A = (aij), artinya matrix A dengan elemen (aij), dimana : index i adalah baris ke-i, index j adalah kolom ke-j

5. Matrix Secara Umum Atau dapat ditulis :

6. Operasi Matrix • Penjumlahan Matrix (Syarat ukuran sama) • Perkalian Skalar terhadap Matrix • Perkalian Matrix

7. Penjumlahan Matrix DEFINISI: • Jika A = (aij) dan B = (bij), (ukuran sama) • Maka C = A + B, dimana cij = aij + bij ; atau A + B = (aij + bij) CONTOH dan maka

8. Penjumlahan Matrix (1)

9. Perkalian Skalar terhadap Matrix • Jika l suatu skalar dan A = (aij), • Maka lA = (laij), Matrix lA diperoleh dengan mengalikan elemen matrix A dengan l Contoh maka

10. Perkalian Matrix • Secara umum perkalian Matrix tidak komutatif AB  BA • Perkalian Matrix AB; Matrix A = Matrix Pertama Matrix B = Matrix Kedua DEFINISI • A = (aij) berukuran (p x q); • B = (bij) berukuran (q x r) Maka Perkalian AB adalah Matrix C = (cij) berukuran (p x r)

11. Kombinasi linear satu vektor v = kelipatan u, yaitu v = lu, dengan arah yang sama (sejajar) v dan u disebut koliner (segaris) Kombinasi linear dua vektor v dan u1, u2 disebut koplanar (sebidang) Perkalian Matrix (1) u v l2u2 v = l u u2 u1 l1u1

12. Perkalian Matrix (1) • CONTOH • BA ukuran (2 x 3)

13. Perkalian Matrix (2)

14. Tugas Buat Algoritma untuk: • Penjumlahan Matrix • Perkalian Skalar terhadap Matrix • Perkalian Matrix

15. Transpose Matrix DEFINISI: • Jika A = (aij) dengan ukuran (m x n) • maka Tranpose Matrix AT = (aji), dengan ukuran (n x m) CONTOH

16. Sifat Matrix Transpose • (A + B)T = AT + BT • (AT)T = A • l(AT) = (lA)T • (AB)T = BT AT

17. Jenis Matrix Khusus • Matrix Bujur Sangkar, • jumlah baris = jumlah kolom Contoh Matrix (2x2) Matrix (3 x 3)

18. Jenis Matrix Khusus (1) • Matrix Nol ( O ) Semua elemen = 0 CONTOH Matrix (2x2) Matrix (2 x 3) Matrix (3 x 3) Sifat-Sifat Matrix NOL: • A + O = A (ukuran A = ukuran O) • AO = 0; OA = 0 (bila syarat perkalian OK)

19. Jenis Matrix Khusus (2) • Matrix Diagonal Matrix Bujur sangkar, dimana elemen diluar diagonal utama = Nol (aij) =Matrix Diagonal, bila aij = 0, untuk i  j CONTOH :

20. Jenis Matrix Khusus (3) • Matrix Identitas ( I ) Matrix Diagonal dimana diagonalnya bernilai 1 semuanya CONTOH :

21. Jenis Matrix Khusus (4) • Matrix Idempoten, Periodik, Nilpoten • Idempoten : AA = A2 = A (A = Matrix Bujur Sangkar) • Periodik : AAA….A = Ap = A (dengan periode p-1) • Nilpoten : Ar = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer terkecil)

22. Matrix Nilpoten • Matrix A = Nilpoten dengan index = 3 = = = = O

23. Transformasi Elementer • Penukaran tempat baris/kolom • baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A) • kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A) • Mengalikan baris/kolom dengan Skalar l • Baris ke-i dengan Skalar l  0  Hi(l)(A) • Kolom ke-i dengan Skalar l  0  Ki(l)(A) • Menambah baris/kolom dengan l kali baris/kolom • Baris ke-i dng l kali baris ke-j, Hij(l)(A) • Kolom ke-i dng l kali kolom ke-j, Kij(l)(A)

24. Penukaran Baris/Kolom CONTOH

25. Mengalikan Baris/Kolom dng Skalar CONTOH

26. Menambah Baris ke-i dengan Skalar kali Baris ke-j • CONTOH

27. Menambah Kolom ke-i dengan Skalar kali Kolom ke-j

28. Contoh Lain

29. Matrix Ekivalen • DEFINISI • Dua Matrix dikatakan ekivalen (A~B), bila salah satunya diperoleh dari yang lain dengan transformasi2 elementer terhadap baris/kolom CONTOH • Ekivalen Baris

30. Matrix Ekivalen (Contoh) ~ ~ ~ = B

31. Matrix Elementer