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MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. TEMA 1.6 * 2º BCT. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas. Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.
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MÉTODO DE GAUSS-JORDAN TEMA 1.6 * 2º BCT Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas. • Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss. • OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero. • Sea: a.x + b.y + c.z = d • a´.x + b’.y + c’.z = d’ • a”.x + b”.y + c”.z = d” • Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo: • a.x + b.y + c.z = d • + e.y + f.z = g • h.z = j Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Aplico el método de Jordan: • Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h • Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h • Queda: • a.x + b.y = k • + e.y = p • h.z = j • Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e • Queda: • a.x = q x = q / a • e.y = p y = p / e • h.z = j z = j / h Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Aplicación de Gauss-Jordan • 1.-Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla: • TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO • A 1 unidad 1 unidad 2 unidades • B 1 unidad 1 unidad 3 unidades • C 1 unidad 2 unidades 5 unidades • La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
RESOLUCIÓN: • Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente. • El sistema de ecuaciones quedará así: • x + y + z = 400 • x + y +2z = 600 • 2x + 3y + 5z = 1500 • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • 1 1 1 400 • 1 1 2 600 • 2 3 5 1500 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Aplicando el método de Gauss: • A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación. • F3 = F3 – 2F1 • A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación. • F2 = F2 - F1 • 1 1 1 400 • 0 0 1 200 • 0 1 3 700 • Permutamos las dos últimas filas: • 1 1 1 400 • 0 1 3 700 • 0 0 1 200 • Vemos que el sistema ha quedado escalonado. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Aplicando el método de Jordan: • A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación. • F1 = F1 – F3 • A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación. • F2 = F2 – 3.F3 • 1 1 0 200 • 0 1 0 100 • 0 0 1 200 • Por último a la primera fila la resto la segunda. • F1 = F1 – F2 • 1 0 0 100 x = 100 • 0 1 0 100 y = 100 • 0 0 1 200 z = 200 • Vemos que x = 100, y = 100 , z = 200 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Aplicación de Gauss-Jordan • 2.- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?. • Resolución: • Sea N = zyx el número pedido • Sea x = la cifra de las unidades. • Sea y = la cifra de las decenas. • Sea z = la cifra de las centenas. • Tenemos: • x+y+z = 14 x + y + z = 14 • z+y=x x – y – z = 0 • xyz=zyx+396 100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
El sistema de ecuaciones quedará así: • x + y + z = 14 • x – y – z = 0 • 99.x – 99.z = 396 • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • 1 1 1 14 • 1 -1 -1 0 • 99 0 -99 396 • Aplicando el método de Gauss: • F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 • 1 1 1 14 • 0 – 2 – 2 – 14 • 0 – 99 – 198 – 990 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda: • 1 1 1 14 • 0 1 1 7 • 0 1 2 10 • A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación. • F3 = F3 – F2 • 1 1 1 14 • 0 1 1 7 • 0 0 1 3 • Aplicando el método de Jordan: • A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera: • 1 0 0 7 x = 7 • 0 1 0 4 y = 4 • 0 0 1 3 z = 3 • Solución: N = 347 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
