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Computer Graphics. 第６回 モデリング２ 曲線・曲面，その他の表現手法. 芝浦工業大学情報工学科 青木　義満. 曲面の例. 曲線・曲面. 曲線・曲面 コンピュータ内部では，全て数式として表現 立体の稜線を表現するための曲線の式 面を表現するための曲面の式 曲線・曲面の分類 数式の形式により，以下の 3 種類に分類 陰関数形式 パラメータ形式 陽関数形式 . パラメトリック曲線・曲面 工業製品設計 フォント（ TrueType Font ） ベジェ曲線・曲面

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Presentation Transcript

  1. Computer Graphics 第６回 モデリング２ 曲線・曲面，その他の表現手法 芝浦工業大学情報工学科 青木　義満

  2. 曲面の例 曲線・曲面 • 曲線・曲面 • コンピュータ内部では，全て数式として表現 • 立体の稜線を表現するための曲線の式 • 面を表現するための曲面の式 • 曲線・曲面の分類 • 数式の形式により，以下の3種類に分類 • 陰関数形式 • パラメータ形式 • 陽関数形式 Computer Graphics

  3. パラメトリック曲線・曲面 • 工業製品設計 • フォント（TrueType Font） • ベジェ曲線・曲面 • 1966年、ルノーの車体設計を行うための曲面としてBezierによって提案 Computer Graphics

  4. パラメトリック曲線・曲面の利用 Computer Graphics

  5. xy平面上の原点中心，半径rの円 原点中心，半径rの球面 陰関数形式 • 　平面曲線：　f(x, y) = 0 • 　曲面： f(x, y, z) = 0 • 　空間曲線：　f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0 • （曲面fと曲面gの交線） Computer Graphics

  6. 交点 直線： 球面： レイトレーシング法（光線追跡法）に適している （後述） 陰関数形式表現の特徴 • 長所 • 交点計算に適している • 例）　球面と，直線との交点 tに関する2次方程式 ↓ 交点 Computer Graphics

  7. f(x,y,z)<0 (球の内部) f(x,y,z)=0 (境界面) 陰関数形式表現の特徴 • 長所 • 数式で曲線，曲面の領域を区分可能 • 位置，衝突判定に適する f(x,y)=0 f(x,y)>0 f(x,y)<0 f(x,y,z)>0 (球の外部) Computer Graphics

  8. y x 陰関数形式表現の特徴 • 短所 • 座標値を計算により求める必要 • 適当な間隔でサンプリングするのに適さない • 格子状の点列から多面体を形成 • パラメータ形式，陽関数形式の方が適する 曲線・曲面上の点列計算 →　各軸に平行な格子線との 　　　　交点を計算 Computer Graphics

  9. パラメータ形式 • パラメータ（媒介変数）を介して，曲線・曲面を定義する方法 • 曲線：1つのパラメータtに対して，2D，3D空間内の点を対応させる • 曲面：2つのパラメータ(u, v)に対して3D 空間内の点を対応させる 平面曲線：　x=f(t), y=g(t) 空間曲線：　x=f(t), y=g(t), z=h(t) 曲　面　　：　x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v) Computer Graphics

  10. パラメータtを変化させることで， 円を記述 パラメータu, vを変化させることで， 球面を記述 c.f. 陰関数形式 パラメータ形式表現の例 • 円のパラメータ形式表現 • 球面のパラメータ形式表現 パラメトリック曲線，パラメトリック曲面 Computer Graphics

  11. パラメトリック形式の特徴 • CGで最も多用される曲線，曲面 • 長所 • 曲線・曲面上の点列を求めることが容易 • 曲線の場合 • 曲面の場合 曲線のパラメータ形式表現 x=f(t), y=g(t), z=h(t) パラメータ値を繰り返し代入 →　曲線・曲面上の点列 曲面のパラメータ形式表現 x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v) Computer Graphics

  12. 直線： 連立 パラメトリック形式の特徴 • 短所 • 交点計算に適さない （レイトレーシングには適さず） 3元1次連立方程式 →　解きにくい式 Computer Graphics

  13. t+Δt t+3Δt t+2Δt t t+4Δt t+5Δt パラメトリック曲線の描画アルゴリズム Δt = 1/n ; t = 0 ; x1 = f(0); y1 = g(0); for( i=1; i <= n; i++ ){ t = t + Δt ; x2 = f(t); y2 = g(t); DrawLine ( x1, y1) to ( x2, y2); x1 = x2; y1 = y2; } Computer Graphics

  14. z 陽関数形式 • 1つの座標値の関数として他の座標値を求める形式 • 平面曲線： y = f(x) • 曲面：　z = f(x,y) x → y x , y → z 放物線（陽関数形式） 放物線（陰関数形式） (x,y) 放物線（パラメータ形式） 回転放物面（陽関数形式） 回転放物面（陰関数形式） 回転放物面（パラメータ形式） Computer Graphics

  15. ２次曲線 • ２次多項式(陰関数形式) • 円錐面の断面線 • 楕円，　放物線，　双曲線 • 楕円 • 陰関数形式 • パラメータ形式 • 放物線 • 陽関数形式 • 双曲線 • 陰関数形式 Computer Graphics

  16. パラメトリック曲線 • パラメータの陽関数形式：　C=F(t) • CGで用いられる曲線 • エルミート（Hermite）曲線 • ベジエ（Bezier）曲線 • Bスプライン(B-spline)曲線 • 有理ベジエ(Rational Bezier)曲線 • 非一様有理Bスプライン曲線（NURBS） Computer Graphics

  17. p1 p0 p2 ベジエ曲線 • 与えられた点（制御点）に沿って，滑らかな曲線を描く方法 • 例）３点　p0, p1, p2に沿った曲線を描く Computer Graphics

  18. p1 pi p2 p0 pi+1 pN ベジェ曲線 曲線上の点P(t)は，制御点Piの加重平均 として表される Computer Graphics

  19. バーンスタイン関数 （Bernstein） 重み係数 ベジェ曲線 3次ベジェ曲線 Computer Graphics

  20. Bernstein関数 3次係数 0次係数 １次係数 2次係数 t=0 t=1 ベジェ曲線 ３次ベジェ曲線 Computer Graphics

  21. 2次曲面 • 2次多項式によって表現される代数曲面 • 点対称：　2次曲面の中心 • 中心有り：　有心 • 中心無し：　無心 • 9種類 • 楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円錐面 楕円放物面，双曲放物面，楕円柱面，双曲柱面， 　　放物柱面 Computer Graphics

  22. 二次曲面 楕円面　 　　　一葉双曲面　 　　　二葉双曲面 Computer Graphics

  23. 二次曲面 • 楕円錐面　 楕円放物面　 双曲放物面 Computer Graphics

  24. 楕円柱面 双曲柱面　　 放物柱面 二次曲面 Computer Graphics

  25. パラメトリック曲線・曲面 • Bezier 曲線・曲面 • B-Spline 曲線・曲面 • 有理 B-Spline, NURBS • 細分割曲線・曲面 Computer Graphics

  26. Bezier曲面 Computer Graphics

  27. m x n 次　Bezier曲面式 Computer Graphics

  28. 【参考資料】曲線・曲面描画ソフト • Function View(フリーソフト) • 作者：和田 啓助 • http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/ • Bezier Curve Generator Ver.2.0（フリーソフト） • http://www.dsgn.im.hiroshima-cu.ac.jp/~shimbara/program/ • ISURFACE version 1.0.6 （フリーソフト） • 作者：戸野恵太 • http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/tono.html Computer Graphics

  29. Bスプライン曲線 • 制御点{Pi}とノット列{ti}によって曲線を定義 • 複数の多項式曲線を接続して一本の曲線を作る • 接続点でのパラメータをノットで指定 • 制御点の重み付けにBスプライン関数を用い，関数の定義にノット列を使用 • ノット値が一定間隔：一様Bスプライン曲線 • そうでないもの：非一様Bスプライン曲線 Computer Graphics

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