860 likes | 945 Views
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. část první. Teorie pravděpodobnosti.
E N D
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI • část první
Teorie pravděpodobnosti • je matematická disciplína, popisující zákonitosti týkající se jevů, které (přinejmenším z hlediska pozorovatele) mohou a nemusí nastat, resp. jejichž výsledná hodnota není předem jistá. • Příkladem může být výsledek hodu kostkou ještě předtím, než hodíme, anebo venkovní teplota zítra v poledne.
Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17. století, zpočátku inspirován hlavně hazardními hrami.
Základní pojmy • Náhodný pokus • Náhodný jev • Množina všech možných výsledků pokusů
Pokus • Každá opakovatelná činnost ve vědě, výzkumu, ale i v praktickém životě. • Rozlišujeme pokusy: • deterministické • náhodné
Deterministické pokusy • Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou vždy k témuž, předem očekávanému výsledku. • Například: Fyzikální zákon o změně skupenství vody zahřáté na 100 °C při tlaku 100 kPa.
Náhodné pokusy (NP) • Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou k různým výsledkům, tzn. výsledky pokusů se od jednoho provedení k druhému mohou měnit. • Pokusy, jejichž výsledky závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. • Častěji se vyskytující v praktické činnosti.
Náhoda a úkol pravděpodobnosti • Náhoda (jako soubor drobných příčin) má svá pravidla a své zákonitosti. • Studium a formulace těchto zákonitostí i jejich využívání je úkolem počtu pravděpodobnosti.
Náhodné pokusy důležité • účinek nového léku na pokusných zvířatech, • stanovení přesné hodnoty nějaké fyzikální konstanty (např. rychlosti světla ve vakuu), • odhad výnosu nové zemědělské plodiny, …
Náhodné pokusy klasické • slosování loterie, tahy sportky, • hody hrací kostkou, mincí, • míchání karet, … Přes důležitost prvně jmenovaných se v hodinách matematiky zaměříme na příklady z oblasti klasických náhodných pokusů pro jejich jednoduchost a názornost.
Náhodný jev (NJ), ozn. A, B, C, ... • Jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé. • Každý jev, o kterém nejsme schopni předem rozhodnout, zda nastane. • Zjednodušeně: Každý výsledek nebo skupina výsledků náhodného pokusu (NP).
Řešený příklad 1: Odlište u následujících situací náhodné pokusy (NP) od náhodných jevů (NJ). Dojdete-li k závěru, že jde o NP, vyslovte NJ a naopak: • vylosování čísla • vypěstování rostliny • vybrání losu s číslem 5 • hod kostkou • vyrobení výrobku 1. jakosti • padnutí šestky při hodu kostkou • narození chlapce • (NP) • (NP) • (NJ) • (NP) • (NJ) • (NJ) • (NJ)
Množina možných výsledků pokusů • Množinu označujeme Ω (její prvky ω) • Předpokládáme, že se jedná o množinu výsledků náhodného pokusu takových, že jsme schopni je všechny předem vyjmenovat (tzn. ve středoškolské matematice vždy konečná), se navzájem vylučují (tzn. nastane-li jeden, nemůže nastat druhý), jeden z nich nastane vždy (tzn. nemůže nastat žádný jiný než jeden z jmenovaných), každý výsledek má stejnou možnost, aby nastal.
Řešený příklad 2: V daném tvrzení rozpoznejte pojmy: náhodný pokus (NP), náhodný jev (NJ). Zapište množinu všech možných výsledků. V pořadí NP, , NJ. a) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne pětka. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: A = {5}
b) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne liché číslo. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: B = {1; 3; 5}
c) Při zkoušce pevnosti určitého vlákna v tahu se vlákno nepřetrhlo. NP: zkouška pevnosti vlákna Ω = {přetrhne, nepřetrhne} NJ: C = {nepřetrhne}
d) Pokud padne na minci orel, získám pro své mužstvo míč. NP: hod mincí Ω = {orel, panna} NJ: D = {orel}
NJ: E= e) Při hře dvěma kostkami vyhrajeme, padne-li šestka alespoň na jedné z nich. NP: hod dvěma kostkami
NP: hod dvěma kostkami Záleží na pořadí příslušného hodu, proto jsou kostky rozlišeny barevně:[Modrá; Žlutá]. = E NJ: výhra ... E
Závěr: • Ve 2. příkladu jsme názorně předvedli, že sledovaný jev je podmnožinou všech možných výsledků, které v dané situaci mohou nastat. • Pro jevy platí totéž co pro množiny a podmnožiny, jen se vžilo jiné názvosloví.
Jevy jako množiny • Důvod, proč je označujeme velkými písmeny. • Popisujeme je nějakou jistou vlastností, společnou všem prvkům daného jevu: • Například asi zřejmě neřekneme: „Padla mi šestka a jednička.“, ale spíš použijeme: „Vyhrála jsem!“ (viz Př. 2e).
Jev jistý a nemožný • V daném pokusu rozeznáváme tolik jevů, kolik je podmnožin množiny všech možných výsledků (Ω) a mezi ně počítáme také: • celou množinu: A = Ω ... jev jistý(každá množina je sama sobě podmnožinou), • prázdnou množinu: A = Ø ... jev nemožný (množina prázdná je podmnožinou každé množiny).
Náhodné jevy a vztahy mezi nimi je výsledek množiny všech možných výsledků A je výsledek příznivý jevu A A B jev A je podjevem jevu B A B jev, který nastává právě tehdy, když nastane aspoň jeden z jevů A nebo B (sjednocení jevů A, B)
A B jev, který nastává právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B současně (průnik jevů A, B) A B = Øprůnik jevů A, B je jev nemožný, tzn. jevy A, B se navzájem vylučují a říkáme, že A, B jsou jevy disjunktní A´ jev opačný k jevu A, tzn. jev, který nastane právě tehdy, když jev A nenastane (negace jevu A)
Znegujte dané věty: A:Vyber lístky, které nebudou mít stejnou barvu. A´: Vyber lístky, které budou mít stejnou barvu. B:Vyber skupinu, ve které nebudou pouze dívky. B´: Vyber skupinu, ve které budou pouze dívky. C:... budou alespoň tři kuličky červené. C´:... budou nejvýše dvě kuličky červené. D:... budou maximálně čtyři dívky. D´:... bude minimálně pět dívek. E: ... nebudou alespoň tři žáci připraveni. E´:... budou alespoň tři žáci připraveni.
Pravděpodobnost náhodného jevu V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost (ozn. P) sledovaného jevu (např. A) rovna podílu počtu příznivých výsledků danému jevu A (ozn. mA) a počtu všech možných výsledků, které v daném pokusu mohou nastat (ozn. n).
Z definice plyne, že pravděpodobnost jevu nemožného se rovná nule: jevu jistého se rovná jedné: jevu libovolného je v rozmezí hodnot od nuly do jedné:
Výsledek pravděpodobnosti • se uvádí • ve tvaru zlomku, který vnímáme jako poměr, • ve tvaru desetinného čísla, které ale daleko častěji převádíme na procenta.
Řešený příklad 3: Házejme 3 mincemi, které umíme rozlišit, např. pětikorunou, desetikorunou a dvacetikorunou českou. Na každé minci může padnout líc (L) nebo rub (R). Určete prvky množiny všech možných výsledků: Ω, vypočtěte jejich počet: n.
Na pořadí prvků ve skupině záleží nezáleží KOMBINACE VARIACE PERMUTACE
Při stanovení prvků množiny všech možných výsledků Ωje určitá libovůle podle toho, jak podrobné (jemné) chceme výsledky pokusů rozlišovat.
Řešený příklad 4: Ze třídy o 28 žácích určete losem 4 žáky, kteří se podrobí zkoušení. Určete počet n všech možných losování, neboli počet prvků množiny všech možných výsledků Ω, jestliže ...
jestliže určujeme pouze čtveřici žáků, kteří budou zkoušeni, aniž by nás zajímalo pořadí. Použijeme: KOMBINACE
určujeme čtveřici žáků, kdy chceme zajistit pevné pořadí zkoušených, například od nejslabšího po nejúspěšnějšího. Použijeme: VARIACE
Řešený příklad 5: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne šestka? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 1, protože A = {6}
Řešený příklad 6: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne liché číslo? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 3, protože A = {1, 3, 5}
Řešený příklad 7: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, a) vytáhnu prvočíslo, b) nevytáhnu prvočíslo? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a) mA = 4, protože A = {2, 3, 5, 7} b) mB = 6, protože B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
Řešený příklad 8: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou nebo trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 7, protože A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
Řešený příklad 9: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou i trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 1, protože A = {6}
Řešený příklad 10: Jaká je pravděpodobnost, že z pěti obránců půjde do hry společně zrovna Petr s Pavlem? n = C2(5) = 10 mA = 1, protože A = {1dvojice: [Petr, Pavel]}
Řešený příklad 11: Jaká je pravděpodobnost, že ze všech přirozených trojciferných čísel kamarád napíše zrovna číslo 123? n = V3´(10) – V2´(10) = 900 mA = 1, protože A = {jedno číslo:123}
Řešený příklad 12: Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že ve čtyřčlenné skupině žáků této třídy budou a) tři chlapci a jedna dívka, b) právě dva chlapci?
výběr: 4 členná skupina n = C4(18) = 3 060 a) jedna skupina: 3 CH, 1 D mA = C3(5).C1(13) = 10.13 = 130
výběr: 4 členná skupina n = C4(18) = 3 060 b) právě (přesně) dva chlapci, tzn. musíme dobrat do skupiny ještě 2 dívky: 2 CH, 2 D mB = C2(5).C2(13) = 10.78 = 780
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ • Jednoduchá pravděpodobnost
13.Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne a) číslo 3, b) číslo sudé, c) dělitelné třemi, d) dělitelné dvěma i třemi? 14.Jaká je pravděpodobnost, napíšeme-li libovolné přirozené číslo od 1 do 15, že to a) bude prvočíslo, b) nebude prvočíslo? [1/6; 1/2; 1/3; 1/6] [6/15; 9/15]