离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三

2. 第七节 环和域 一、环的概念 1、定义： 设 R，+，* 是含两个二元运算 的代数系统，如果 ①  R，+ 是加群(交换群)； ②  R，* 是半群； ③ 运算“*”对于“+”可分配，即  a、b 、cR，

3. a* ( b+ c) = (a* b) + (a* c)， ( b+ c)* a = (b*a) + (c * a )， 则称 R，+，* 是环。 2、常见环的例子 ① 整数集合 I上 的代数系统  I，+，   是环， 称为整数环。 ② 有理数集合Q上 的代数系统 Q，+，  是 环，称为有理数环。

4. ③ 实数集合R上 的代数系统  R，+，   是 环，称为实数环。 ④ 整数集模 n剩余类代数系统 In ，， 是 环，称为 模n剩余类环。 3、环中运算 • 在环R，+，*中，加群R，+的幺元记为， 元素 a的加法逆元记为–a，并把a+(–b)简记为 a–b。因此在环中a–a= ，a–b=c  a=b+ c。（移项法则）

5. 在环 R，+，* 中，如果半群 R，* 存在 幺元，则记为 e；如果元素 a存在逆元，则 记为 a–1 。 定理 在环 R，+，* 中，运算“+”的幺元 是运算“*”的零元。 证明要点  a R，因为  + = ， a* =a*(+)= a* + a* ，即a* =  。

6. 定理 在环 R，+，*中，下述关系式成立： ① a*(–b) =(–a)*b= – a*b ， ② a*(b–c) =a*b – a*c。 证明要点：对于①，只要证明a*(–b)和(–a)*b 都是a*b的“+”运算逆就行了。例如 a*b+ a*(–b)=a*(b–b)= a* =  。 对于②， a*(b–c) = a*b+a*(–c) = a*b – a*c.

7. 4、环中零因子 定义：如果环 R，+，* 中非零元a、b满足 a*b= ，则称 a和 b是R中的零因子。 例：在模6剩余类环  I6 ，， 中，[0]是 零元，因为[2][3]=[0]、[4][3]=[0]，因此 [2]、[3]、[4]都是环中的零因子。

8. 二、整环 定义：如果环 R，+， * 中运算“* ”可交 换、有幺元e、且无零因子，则称该环为整环。 • 按定义，意味着整环是含幺环、交换环、和 无零因子环。 例：整数环 I，+，   是整环。因为整数的乘 法运算“”满足可交换、有幺元1，并且两个 整数之积 i j=0时，必然 i=0或 j=0。

9. 类似可证明，有理数环、实数环都是整环。 • 整数环是无限整环的代表。 例：素数模 p剩余类环 Ip，，是整环。 因为首先运算可换、有幺元[1]。其次， 无零因子。如果[a][b]=[0]、那么ab是p的 倍数，从而要么[a]=[0]，要么[b]=[0]。 • 素数模 p剩余类环是有限整环的代表。

10. 三、域 1、定义：如果 R，+，*是整环，并且 R –{}中每元关于运算“* ”有逆元， 则称该环为域。 • 注意，R，+，*是域也就意味着半群 R –{} ，*也是交换群。 例：I7，，是域。因为首先它是整环，

11. 有幺元[1]， 并且在 I7 –{[0]}中关于运算, 剩 余类[1]和[6]的逆元都是自身，[2]与[4]互为逆 元，[3]与[5]互为逆元。 实际上，素数模 p剩余类环 Ip，，就是域。 也是最具代表性的有限域。 至于无限域，最熟知的包括有理数域Q，+， 和实数域 R，+，   。

12. 注意，整数环I，+， 是整环，但不是域。 2、定理：有限整环 R，+， * 必是域。 证明要点：设 R –{} ={a1，a2，...，an}， b是 R –{}中任一元素。(思考…..) a) b*R=R b）b*ai = e c) b , ai互相成为逆元

13. 习题 十六 3 作业：16.2 1 旧书：习题11.7 1 附加题： I，，是整数集上的代数系统， 其中两个运算定义为：  a、bI， a b=a+b –1， a b = a+b– ab， 证明 I，，是含幺元的、交换环。

14. 第十二章 格 一、格的概念 1、格的代数定义：如果代数系统  L，， 满足 ① 封闭性 ：  a、bL， a  b L ，a  b L ② 结合性 ： a、b、cL

15. (a  b)  c = a  (b  c) ， (a  b)  c = a  (b  c) ③ 交换性： a、bL ， a  b = b  a ，a  b = b  a ④ 吸收性 ：  a、bL ， a  (a  b) = a ，a  ( a  b) = a 则称  L，， 是格。

16. 代数格的例子 ① 设A是已知集合，则  2A， ，   是格，称 为幂集格。因为集合运算“”和“ ”满足 这4条性质。 ② 正整数集合I+上定义最大公约数运算gcd和最 小公倍数运算lcm ，则 I+ ，lcm，gcd 是格。 因为gcd和lcm满足封闭性、结合性及交换性 是明显的。

17. 至于吸收律，首先注意 a、b I+ ， a  b=gcd(a, b) lcm(a,b), 因此 lcm(a, gcd(a, b))=a gcd(a, b)/gcd(a,b)=a, gcd(a, lcm(a, b)) = a lcm(a, b)/lcm(a,b)=a。 ③整数集合I上定义求两个数的最大值运算max 和最小值运算min，则 I，max，min 是格。

18. 因为 max和 min满足封闭性、结合性及交换 性是明显的。 至于吸收律，不管a和 b谁大谁小，都能得出 max(a, min(a, b))=a= min(a, max(a, b) )。 • 注意 由代数格的定义容易得到  L，， 还 满足幂等律，即 a L， a  a=a， a  a = a。 这可利用吸收律得到 :

19. a  a = a  (a  (a  b )) =a a  a = a  ( a  (a  b )) = a。 2、格的偏序定义：如果偏序集 L，   满足  a、bL，存在最小上界 lub(a, b)和最大 下界 glb(a, b)，则称 L，   为偏序格。 • 偏序格的 Hasse 图特点： 例：根据下述偏序集的Hasse图判断是否格？

20. a c b d e g f 图1 图3 图2

21. 偏序格的例子 ① 设A是已知集合，则偏序集 2A，   是格， 称为幂集格。因为 X、Y 2A， lub(X, Y) = X  Y, glb(X, Y) = X  Y。 ② 在正整数集合I+上定义偏序 “| ” ，则偏序集  I+ ，|  是格。因为 a、b I+ ， lub(a, b) = lcm(a,b), glb(a, b) = gcd(a, b) 。

22. ③ 整数集合 I上定义偏序 “” (即小于等于关 系)，则偏序集 I，   是格。 因为 a、b I，lub(a, b) = max (a, b), glb(a, b) = min(a, b) 。 3、偏序格与代数格的等价性 ① 如果 L，   是偏序格，则可定义代数格  L，， 如下： a、b L，令 a  b= lub(a, b) , a  b= glb(a,b)。

23. ② 如果 L，， 是代数格，则可定义偏序格  L，   如下： a、b L，令 a  b 当且仅当a  b = b或 a  b = a。 证明:(1)  L，   是偏序集 a).自反性: a a = a => a a b).反对称性:a b且b a b=a b (a b) =b a (交换律) =a

24. c)传递性: a b 且 b c (=>a c) a c =a (b c) (b c ) =(a b) c (结合律) =b c (a b ) =c (b c ) 2.证明对任意 x,y L=>lub(x,y),glb(x,y) L x (xy) = x (吸收律) y (xy) = y 因此: (xy) 是{x,y}的下界. 设,c是{x,y}的下界,即c x且c y c (x y)= c 因此 x y是{x,y}的最大下界

25. 二、格的几个式子 设 L，，是格，“”是对应的偏序。利用代数运算和偏序间的转化式，可以证明下述关系式。

26. 1、如果a  b，则 a  c  b  c， a  c  b  c。 证明要点 因为a  b  a  b = b  a  b = a， 由 (a  c)  ( b  c) = (a  b)  c = b  c , 即 得 a  c  b  c； 由 (a  c)  ( b  c) = (a  b)  c = a  c , 即 得 a  c  b  c。

27. 2、如果a  b，c  d，则 a  c  b  d， a  c  b  d。 证明要点 由 (a  c)  ( b  d) = (a  b)  (c  d) = b  d , 即得 a  c  b  d；由 (a  c)  ( b  d) = (a  b)  (c  d) = a  c , 即得 a  c  b  d。

28. 3、如果a  c，b  c，则 a  b  c。 证明要点 因为 (a  b)  c = (a  c)  ( b  c) = c  c = c。 4、如果a  b，a  d，则 a  b  d。 证明要点 因为 a  ( b  d) = (a  b)  (a  d) = a  a = a 。 5、准分配性

29. ① a  ( b  c)  (a  b)  (a  c)， ② (a  b)  (a  c)  a  ( b  c) 。 证明要点 对于①，首先a  (a  b)  (a  c)， 其次 ，由 b  a  b及 c  a  c可得到 b  c  (a  b)  (a  c)， 两者结合即可。 对于②，由 a  b  a  ( b  c) 和 a  c  a  (b  c) 两者结合即可。

30. 三、分配格 1、定义： 如果格 L，， 满足 ， ① a  ( b  c) = (a  b)  (a  c)， ② a  ( b  c) = (a  b)  (a  c) 。 则称 L为分配格。 2、分配格的例子 ① 幂集格 2A， ，   是分配格，因为集 合运算“”和“ ”间满足分配性。

31. ② 设Dn是由正整数 n的正因子构成的集合， 则因子格 Dn ，lcm，gcd 是分配格。 因为 gcd和 lcm间满足分配性，即 lcm(a, gcd(b, c))=gcd(lcm(a, b), lcm(a, c)) 及 gcd(a, lcm(b, c))=lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))。

32. ③ 格 I，max，min 是分配格。因为 max(a, min(b, c))=min(max(a, b), max(a, c)) 及 min(a, max(b, c))=max(min(a, b), min(a, c))。 3、非分配格的例子 下面的两个5点格都是典型的非分配格。

33. 左图中c(b d)=ca=c, (cb) (cd)=e d=d, 右图中b (cd)=be=b, (b c)(b d)=aa=a, 两者均不满足分配律. a a c b c d b d e e 两个5阶禁格

34. 4、定理 分配格中消去律成立，即当 a  b = a  c， a  b = a  c 时， b = c。 证明b = b  （a  b ） = b  （a  c ） = （b  a）（b  c） = （a  c）（b  c） = c  （a  b） = c  （a  c）= c。

35. 1、有界格 如果格 L，  存在最大元和 最小元，则称之为有界格。 有限格必是有界格。 有界格的最大元一般用1表示，最小元 用0表示。 例： ① 幂集格 2A， ，   是有界格。 其最大元是A，最小元是。 四、有界格和有补格

36. ② 因子格  Dn ，lcm，gcd 是有界格，其最大 元是 n，最小元是1。 ③ 两个5点格是有界格。 ④ 格  I，max，min 不是有界格。它既无最 大元，也无最小元。 2、有界格中元素的补元：设格 L，   的最大 元是1，最小元是0。 a L，如果存在b L， 使a  b= 1，a  b= 0 ，则说 b是a 的补元。

37. 例：幂集格 2{a，b，c}， ，   的补元情况。 {a,b,c} 和 互补; {a,b} 和 {c}互补; {a,c} 和 {b}互补; {b,c} 和 {a}互补. {a,b,c} {a,c} {a,b} {b,c} {a} {c} {b} 

38. 例：下面 是 5点格的补元情况。 左图中：a和e互补，d和c同与b互补； 右图中：a和e互补，b、c和d都互补。 a a c b c d b d e e 两个5阶禁格

39. 例：下面是因子格 D12 ，lcm，gcd 中补元情况。 1的补元是12；12的补元是1；3的补元是4； 4的补元是3；2和6都没有补元。 12 6 4 3 2 1

40. 例：下面是全序格 {1，2，3，4，5}，   的 补元情况。 1的补元是5，5的补元是1。 2、3、4无补元。 5 4 3 2 1

41. 元素a 的补元记为 a，元素的补元可能不唯一。 3、有补格：每个元素都有补元的有界格。 例：幂集格 2{a，b，c}， ，   和 5点格都是 有补格；而因子格 D12 ，lcm，gcd 和全序格  {1，2，3，4，5），   都不是有补格。 可见，格中的分配性和有补性是相互独立的。 4、有补分配格：满足分配性和有补性的格。

42. 有补分配格又称为布尔代数， 并记为  B，，，¯， 0， 1  。 例： 幂集格 2A， ，   是有补分配格。 ① 定理 有补分配格中每个元素的补元唯一。 证明要点 如果元素 a有两个补元 b和 c， 由补元定义a b= a  c ，a b= a  c。再根 据分配性中的消去律，即得到 b = c。

43. ② 定理 有补分配格中DeMorgan律成立。即 a b= a  b， a  b = a b。 证明要点：因为 (a b)  (a  b) = (a  b  a) (a  b  b) = 1 , (a b)  (a  b) = (a  a  b) ( b  a  b) = 0。 根据补元的唯一性， a b= a  b。 同理可证另一式。

44. ③ 定理 任何有限布尔代数都同构于某个 幂集格 2A， ，   。 证明要点 略。 作业：习题十七 2，5，8，10，15，17（1） 作业：17.1 2，5 17.2 3 17.3 1，6，8（1） 旧书： 习题12.1 2、5 习题12.2 2 习题12.3 1、6、8(1)