Ciąg liczbowy

1. Ciąg liczbowy Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Materiały do nauki / matematyka koniec

2. Definicja ciągu Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcje określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y Ciągiem skończonym n-elementowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze n początkowych liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wartościami są liczby rzeczywiste.

3. Sposoby określania ciągu 1. Poprzez wymienienie jego kolejnych wyrazów 2. Poprzez opis słowny Każdej liczbie naturalnej została przyporządkowana jej odwrotność 3. Poprzez wzór ogólny

4. Monotoniczność ciągu Ciąg rosnący Ciąg malejący Ciąg stały Ciąg nierosnący Ciąg niemalejący

5. Ciąg rosnący Ciąg ( ) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa od zera.

6. Ciąg malejący Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza od zera.

7. Ciąg stały Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest równa od zera.

8. Ciąg nierosnący Ciąg ( ) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa lub równa zero

9. Ciąg niemalejący Ciąg ( ) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza lub równa zero

10. Definicja ciągu arytmetycznego Ciąg( ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby rzeczywistej, zwanej różnicą ciągu.

11. Zadanie Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny Obliczam wyraz Sprawdzam różnice Odp. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą dlatego podany ciąg jest arytmetyczny

12. - ciąg arytmetyczny o różnicy r ( a ) n pierwszy wyraz ciągu - a 1 = + a a r 2 1 = + = + + = + a a r a r r a 2 r 3 2 1 1 = + = + + = + a a r a 2 r r a 3 r 4 3 1 1 . . Wzór na n-ty wyraz ciągu

13. Zadanie Drugi wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 3 a szósty 4. Wyznacz pierwszy wyraz i różnice ciągu Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 0,25 a różnica 2,75

14. Suma n-początkowych wyrazów ciągu ciąg arytmetyczny o różnicy r

15. Zadanie Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych mniejszych od 102 Odp. Suma wszystkich parzystych liczb naturalnych mniejszych od 102 wynosi 2550

16. Definicja ciągu geometrycznego Ciąg( ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę rzeczywistą, zwana ilorazem ciągu.

17. Zadanie Sprawdź czy podany ciąg jest geometryczny Obliczam wyraz Sprawdzam iloraz Odp. Iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą, dlatego podany ciąg jest geometryczny

18. Wzór na n-ty wyraz ciągu ciąg geometryczny o ilorazie q pierwszy wyraz ciągu

19. Zadanie Między liczby 3 i 75 wstaw liczbę x, tak aby ciąg (3, x, 45) był geometryczny Odp.

20. Suma n-początkowych wyrazów ciągu ciąg geometryczny o ilorazie q

21. Zadanie Pewien gospodarz wynajął firmę do wykopania studni o głębokości 20m. Za pierwszy metr miał zapłacić 1 grosz a za każdy następny dwa razy tyle co za poprzedni. Ile złotych zapłaci gospodarz za wykopanie całej studni? Odp.Za wykopanie studni gospodarz zapłaci 10485,75 zł.