Kvantmekanikens rötter

1. Kvantmekanikens rötter Sverker Johansson Högskolan för Lärande & Kommunikation

2. Fysikens problem år 1900 • Etern och ljusets hastighet • Glöd • Ljus bevisat vara både våg och partikel • Atomer borde vara instabila • Kemins mönster • Radioaktivitet • Energikälla • Orsak & verkan • Merkurius bana

3. Bohrs atommodell • Hur få atomer stabila? • Hindra elektroner från att byta bana hur de vill! • Förbjud mellanliggande banor. • Tillåt endast banor där omkretsen = ett heltal gånger h/mv. Helt godtyckligt påhitt, men det funkar för väte! VARFÖR??

4. Glöd Förväntad glöd Verklig glöd

5. Plancks strålningslag Antag att ljus kommer i “paket”, med Energi = Plancks konstant (h) gånger frekvensen (f) Max Planck Helt godtyckligt påhitt, men det funkar! mellanstora paket, går ibland VARFÖR?? stora paket, går inte alls små paket, går bra hög låg Frekvens

6. Är allting vågor?Louis de Broglie • Ljus är vågor – men också “ljuspaket” • E=hf, blir detsamma som p=hf/c, där p är rörelsemängd. • Men c/f = våglängd (l), så p=h/ l. • Tillämpa detta på elektroner också! • För elektroner är p=mv • Alltså l=h/mv. • Har elektroner våglängd?? Helt befängd idé!?

8. Koppla ihop Bohr och de Broglie! • Bohr: Helt antal gånger h/mv runt banan. • de Broglie: • Våglängd = h/p = h/mv • Helt antal våglängder runt banan! • Ok, åtminstone en ledtråd till varför Bohrs modell funkar. • Men hur kommer vi vidare?

9. Heisenberg & Schrödinger1925 Schrödinger Heisenberg • Löser båda samtidigt atomproblemet var och en på sitt sätt. • Kombination av matematiska knep och inspirerade gissningar. • Helt olika matematiska knep: • Heisenberg: matriser och diskret matematik • Schrödinger: vågfunktioner och operatorer Acaлкa,вы продолжаетесь наблюдать ?

10. Vi håller oss till Schrödinger(Heisenbergs matte ännu konstigare) Schrödinger Heisenberg • Klassisk fysik: rörelseenergi + lägesenergi = total energi mv2/2 + V = E (p=mv): p2/2m + V = E • Antag att det finns en vågfunktionψ (psi) som beskriver ”vågigheten” hos en elektron. • Multiplicera energiekvationen med ψ : p2/2m ψ + V ψ = E ψ • Ersätt p med operatorn ih∂/∂x: Detta är Schrödingerekvationen! • Lös ekvationen! h2/2m ∂2ψ/∂x2 + V ψ =Eψ

11. Schrödingerekvationen h2/2m ∂2ψ/∂x2 + V ψ =Eψ • Har bara lösningar för vissa energier • Matchar elektronernas energi i ”tillåtna” banor • Löser Bohrs problem • Matchar de Broglies vågidéer

12. Vad betyder då vågfunktionen? Var är elektronen någonstans?? • Svaret på båda frågorna hänger ihop. • Vågfunktionen innehåller information om SANNOLIKHETEN att hitta elektronen i ett visst tillstånd. • Elektronen har inte ett visst bestämt läge, det finns bara olika SANNOLIKHET att hitta den på olika ställen.

13. Samma sak för andra egenskaper, som hastighet, riktning m.m. • För varje egenskap finns en matematisk operator som används för att få fram sannolikt värde för den egenskapen ur vågfunktionen. • Schrödingerekvationen består egentligen av energi-operatorn: h2/2m ∂2ψ/∂x2 + V ψ =Eψ h2/2m ∂2/∂x2 + V är energioperatorn (h2/2m ∂2/∂x2 + V) ψ =Eψ

14. Egenheter • Egentillstånd, egenvärden, och egenfunktioner är speciella begrepp i kvantmekaniken. • Ett egentillstånd är ett tillstånd där en viss egenskap har ett bestämt värde, inte bara en sannolikhet. • Egenvärdet är det bestämda värdet • Egenfunktion är motsvarande vågfunktion

15. Heisenbergs osäkerhetsrelationer • Finns inget tillstånd som är egentillstånd för både läge och rörelsemängd • Alltså kan inte både läge och rörelse-mängd ha bestämda värden samtidigt! • Totala osäkerheten måste vara större än Plancks konstant • DpDx > h

16. Exakt läge -> inte en aning om rörelsen • Exakt rörelse -> inte en aning om läget Samma sak med energi och tid • DEDt > h • Exakt energi -> inte en aning om när den har den energin • Exakt tidpunkt -> totalt osäker energi