1 / 26

Blackova – Scholesova analýza

Ekonomická univerzita, Fakulta hospodárskej informatiky Dolnozemská cesta 1, 852 35 Bratislava. Blackova – Scholesova analýza. doc. RNDr. Ľudovít Pinda,CSc . EU FHI, Katedra matematiky e-mail: pinda@euba.sk. november 2009. Bratislava. CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ.

mauve
Download Presentation

Blackova – Scholesova analýza

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Ekonomická univerzita, Fakulta hospodárskej informatiky Dolnozemská cesta 1, 852 35 Bratislava Blackova – Scholesova analýza doc. RNDr. Ľudovít Pinda,CSc. EU FHI, Katedra matematiky e-mail:pinda@euba.sk november 2009 Bratislava

  2. CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ

  3. CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ

  4. JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA Obr.1 - priemerná miera výnosnosti rastu ceny aktíva - volatilita aktíva meraná strednou kvadratickou odchýlkou výnosnosti aktíva

  5. , hodnota aktíva v čase • je náhodná premenná a riadi sa normálnym rozdelením, • stredná hodnota sa rovná nule, • disperzia je JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA (1) Wienerov proces: .

  6. JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA je náhodná premenná sa riadi štandardizovaným normálnym rozdelením. Štandardizované normálne rozdelenie má nulovú strednú hodnotu, disperziu rovnú jednej a rozdelenie pravdepodobnosti dané funkciou pre Ak definujeme operátor očakávania ako pre ľubovoľnú funkciu F, potom a

  7. AkS sa riadi podľa (1), potom sa riadi lognormálnym rozdelením. Budúca cena aktíva závisí len od súčasnej ceny aktíva. Nezávislosť od vývoja ceny v minulosti sa nazýva Markovova vlastnosť. . Teda ďalšia hodnota S je väčšia o Ďalej disperzia dS je kde JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA

  8. ak ITÔOVO LEMMA Ak zmeníme S o malú hodnotu dS, potom z Taylorovho rozvoja môžeme písať (2) Ak za dS zoberieme tvar uvedený v (1) a umocníme ho na druhú, tak (3)

  9. Výsledok môžeme rozšíriť na funkciu dvoch premenných . Potom môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu v okolí ako ITÔOVO LEMMA

  10. BLACKOV – SCHOLESOV MODEL • S – cena aktíva v čase , • V(S,t) – hodnota opcie, • C(S,t) – hodnota kúpnej ( call ) opcie, • P(S,t) – hodnota predajnej ( put ) opcie, • – volatilita odpovedajúceho aktíva, • E – dodacia cena, dohodnutá v prítomnosti, • T – doba exspirácie ( životnosti ) opcie, • r – bezriziková úroková sadzba so spojitým úrokovaním, • at – the – money, opcia je realizovaná v hodnote odpovedajúceho aktíva, • in – the – money, realizačná cena je menšia (väčščia) pre kúpnu (predajnú) opciu) ako S, • out – of – the – money, kúpna, predajná opcia, je mimo intristickej hodnoty.

  11. BLACKOV – SCHOLESOV MODEL PUT - CALL PARITA

  12. PREDPOKLADY: • cena aktíva S sa riadi lognormálnym rozdelením, • bezriziková úroková sadzba r a volatilita ceny aktíva sú počítané z historických dát, • neuvažujeme transakčné náklady, • neuvažujeme dividendové platby aktíva počas životnosti opcie, • neuvažujeme arbitrážne príležitosti, • uvažujeme spojité úrokovanie, • uvažujeme krátku aj dlhú pozíciu aktíva, ktoré nemusí byť v celočíselnom násobku jednotkového množstva. BLACKOV – SCHOLESOV MODEL

  13. Ak dosadíme , tak BLACKOV – SCHOLESOV MODEL Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica

  14. je distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia resp. Blackova – Scholesova formula európskej call opcie

  15. , , , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.2

  16. , , , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.3

  17. Blackova – Scholesova formula európskej call opcie , , , (3) za podmienok pre Označme , , (4) Rovnica (4) je tzv. difúzna rovnica. Ak položíme za funkciu

  18. Ak porovnáme koeficienty pri funkcii a , tak dostaneme sústavu rovníc , , kde funkcia je riešením difúznej rovnice pre Blackova – Scholesova formula európskej call opcie z ktorej dosadzovacou metódou vypočítame Po dosadení do funkcie je

  19. . , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie s riešením Ak zavedieme substitúciu

  20. , je Blackova – Scholesova formula európskej call opcie

  21. Aproximácia distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia na štyri desatinné miesta , , , , Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica. a kde

  22. TABUĽKY Tab. 1

  23. TABUĽKY Tab. 2

  24. Príklad 1 Vypočítajme hodnotu normovaného normálneho rozdelenia pre d1 ak S = 88, X = 90, T= 0.5, r % 0.1, ,  Riešenie: Potom

  25. Príklad 2  Riešenie: Teda S = 60, X = 65, T = 0.25, r = 0.08, .Teda Hodnotu distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia určíme podľa tab. 1 príp. tab. 2. Potom Vypočítajme cenu európskej call opcie s dobou exspirácie tri mesiace. Cena odpovedajúceho aktíva je 60, realizačná cena aktíva je 65, bezriziková úroková sadzba 8 % p. a. volatilita ceny odpovedajúceho aktíva je 30 % p. a. a cena európskej kúpnej opcie C je

  26. Ďakujem za pozornosť doc. RNDr. Ľudovít Pinda, CSc. mail: pinda@euba.sk

More Related