. Situación de las matemáticas en el siglo XVIII

1. .Situación de las matemáticas en el siglo XVIII • Las matemáticas son consideradas una Ciencia de la Naturaleza: Las teorías matemáticas deben reflejar la realidad física, son una herramienta para formular y descubrir las Leyes de la Naturaleza. • Las definiciones matemáticas son descriptivas; no crean objetos matemáticos sino que describen algo que se supone debe imitar una realidad externa. • Los matemáticos eran, cada vez más conscientes de que los progresos del Cálculo dependían de un mejor conocimiento de los números reales. • Los números reales están asociados con magnitudes y se interpretan geométricamente. Son algo dado en la realidad física. • La idea de número irracional lleva consigo asociada la del infinito, y por tanto necesitará los fundamentos de una teoría matemática del infinito.

2. Concepto de función en el siglo XVIII • El concepto de función, que fue formulado por primera vez por J. Bernouilli, está entremezclada con las relaciones entre variables, es decir con las ecuaciones. La correspondencia entre variables se interpretaban en términos geométricos. No existía la idea de dominio de una variable. • Había que identificar como tales nuevas funciones de una variable y varias variables; había que extender las técnicas de derivación y de integración a estas nuevas funciones . • El concepto de continuidad era considerado desde un punto de vista filosófico, más como una ley de la naturaleza que como un concepto propiamente matemático. • Las ideas sobre el concepto de límite eran confusas debido al uso de los infinitésimos, que eran algo así como variables con límite cero.

3. Concepto de función en el siglo XVIII • La función logaritmo, originada como relación entre los términos de una progresión geométrica y una aritmética, fue tratada en el siglo XVII como la serie resultante de la integración de 1/1+x. • El estudio de Wallis, Newton, Leibniz y J. Bernouilli mostró la función logaritmo como la inversa de la función exponencial. • A medida que Leibniz, y los hermanos Bernouilli abordaban problemas como el movimiento del péndulo, el perfil de una cuerda suspendida en dos puntos fijos, el movimiento a lo largo de trayectorias curvilíneas, no sólo empleaban funciones algebraicas elementales, sino que se llegaban a formas más complicadas.

4. El Cálculo Diferencial • Con todo el mayor logro del siglo XVII había sido el cálculo infinitesimal: • De ese manantial brotaron nuevas e importantes ramas de la matemática: e.d.o., series, geometría diferencial, cálculo de variaciones, funciones de variable compleja. • Así pues, después de la invención del Cálculo el objetivo era usarlo para descubrir nuevos resultados. • Al principio, nadie se preocupó mucho por la corrección matemática de los procedimientos empleados. La confianza en dichas técnicas descansaba en su extraordinaria eficacia para resolver multitud de problemas. • Sin embargo, a finales del siglo XVIII, el uso continuado de los infinitésimos, que nadie sabía explicar, unido a la incomprensión que se tenía de los números irracionales y de los procesos de convergencia, propiciaron estudios críticos de los conceptos básicos del Cálculo.

5. El misterioso Cálculo Diferencial • La dificultad no estribaba sólo en el mero concepto de infinitésimo ya de por sí difícilmente sostenible, sino en la forma en que los infinitésimos se manejaban en los cálculos. Además dependiendo del tipo de Cálculo eran tratados de una forma u otra. • 1.- Con los infinitésimos podía operarse como cantidades finitas no nulas y, en particular, podía dividirse por ellos. • 2. Los infinitésimos podían ser tratados como cantidades nulas. Así, si x es una cantidad positiva y Θ un infinitésimo, entonces x+Θ=x

6. El misterioso Cálculo Diferencial • Había infinitésimos de primer orden despreciables frente a cantidades finitas; de segundo orden que eran despreciables frente a los de primer orden, y así sucesivamente. • Para acabar de empeorar las cosas, los infinitésimos no respetaban la propiedad arquimediana, pues el producto de cualquier cantidad finita por un infinitésimo seguía siendo un infinitésimo.

7. Críticas • El más duro de los ataques al uso del Cálculo infinitesimal fue el realizado por el obispo George Berkeley (1685-1753). • En 1734 publicó The Analyst, Or A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. (El «infiel» era Edmond Halley.) • Señaló, con razón, que los matemáticos estaban procediendo más bien inductiva que deductivamente y que no daban la lógica o las razones de sus pasos. • Berkeley dice que Newton da primero a x un incremento pero que después lo hace cero; esto, dice, es un desafío a la ley de contradicción y la fluxión obtenida es, en realidad, 0/0. • Atacó también el método de diferenciales según lo presentaban Fermat, Leibniz y otros en el continente: la razón de las diferenciales, decía, determinaría la secante y no la tangente; • El error se anula al despreciar diferenciales de orden superior y así «en virtud de un doble error, aunque no a una ciencia, se llega a pesar de todo a la verdad»,

8. Críticas e Intentos de justificación • «En cualquier otra ciencia los hombres demuestran las conclusiones a partir de los principios y no los principios a partir de las conclusiones.» • Pese a varios intentos de réplica ninguna fue suficientemente consistente. Lo mismo que Newton, Mclaurin amaba la geometría, y por ello trató de fundamentar las fluxiones en la geometría de los griegos y en el método de exhaustivo, esperando de este modo evitar el concepto de límite; • Su logro fue utilizar tan hábilmente la geometría que persuadió a otros a hacer lo mismo y abandonar el análisis. • Los matemáticos continentales se fiaban más de las manipulaciones formales de expresiones algebraicas que de la geometría. • Los representantes más importante de este enfoque fueron Euler, Lagrange y D´Alembert.

9. Leonhard Euler Leonhard Paul Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo 1783). Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el Cálculo o la Teoría de grafos. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la Mecánica, Óptica y Astronomía.

10. Leonhard Euler • Su libro Introductioin Analysin infinitorum es considerado como el tercer libro más influyente en la historia de todas las matemáticas después de los Elementos de Euclides y de los Principia de Newton • En él introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático. • Usó por primera vez la notación f(x). • La Introductio de Euler fue la primera obra en que se estableció una primera aproximación al concepto de función como una noción básica sobre la que ordenar el material de los dos volúmenes de aquella. • Euler en el mismo comienzo de dicha obra, define una función como “cualquier expresión analítica formada a partir de una cantidad variable y números o cantidades constantes”

11. Leonhard Euler • Euler comienza con la noción de función algebraica , en la que las operaciones que se hacen sobre la variable independiente son únicamente algebraicas. • A continuación introduce las funciones trascendentes, a saber las funciones trigonométricas, la logarítmica, la exponencial, las potencias de exponente irracional y ciertas integrales de que cualquier función. • La principal diferencia entre las funciones trascendentes y las algebraicas es que aquellas se repiten un número infinito de veces las operaciones de éstas últimas. Es decir las funciones trascendentes estarían dadas por serie infinitas. • Euler distingue entre funciones implícitas y explícitas .

12. función “continua” • Por función continua , tanto Euler como Leibniz y otros pensadores del siglo XVIII, entendían una función definida por una fórmula analíticas; su término continua significa en realidad analítica para nosotros, excepto en lo que se refiere a una discontinuidad esencial como por ejemplo 1/x^6 • Sin embargo, no precisó que significaba “expresión analítica” aunque sin duda indicaba , series, fracciones, productos infinitos.

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14. Leonhard Euler • En 1747 disponía ya de la suficiente experiencia con las relaciones entre exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas como para obtener resultados correctos sobre logaritmos complejos. • Recuérdese que Leibniz afirmó que no existían los logaritmos de números negativos. • La respuesta de Euler a este argumento fue que de 1/1+x=1-x+x^2-x^3+,,, Entonces para x=-3,, -1/2=1+3+9+27+… • Mientras que para x=1, ½=1-1-1+1-1 • Con lo que sumando miembro a miembro se obtiene 0=2+2+10+ • En consecuencia, afirma Leibniz el argumento basado en series no prueba nada.

15. Leonhard Euler • En 1747 disponía ya de la suficiente experiencia con las relaciones entre exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas como para obtener resultados correctos sobre logaritmos complejos. • Recuérdese que Leibniz afirmó que no existían los logaritmos de números negativos. • La respuesta de Euler a este argumento fue que de 1/1+x=1-x+x^2-x^3+,,, Entonces para x=-3,, -1/2=1+3+9+27+… • Mientras que para x=1, ½=1-1-1+1-1 • Con lo que sumando miembro a miembro se obtiene 0=2+2+10+ • En consecuencia, afirma Leibniz el argumento basado en series no prueba nada. • Veamos como calcula la diferencial de y=log x. Reemplaza x por x+dx se tiene • dy=log(x+dx)-log(x)=log(1+dx/x). • Utiliza aquí su fómula sobre el logaritmo, reemplaza x por dx/x y obtiene • dy=dx/x-dx^2/2x^2+dx^3/x^3-…. • Como todos los términos después del primero son evanescentes tenemos • d(log(x))=dx/x

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17. Leonhard Euler • Rechazó el concepto de infinitesimal como una cantidad menor que cualquier cantidad fijada y sin embargo no nula. En sus Institutiones de 1755 sostenía que : • No hay duda de que cualquier cantidad puede disminuirse hasta tal punto que se anule completamente y desaparezca. • Pero una cantidad infinitamente pequeña no es otra cosa que una cantidad evanescente y por tanto ella misma ha de ser igual a 0... pues si no fuese igual a 0, se le podría asignar una cantidad igual, lo que es contrario a la hipótesis. Sin embargo, • Obtiene la derivada de y =x^2 como sigue: da a x el incremento ω, así el correspondiente incremento de y es η=2xω + ω^2 y la razón η/ω vale 2x + ω dice entonces que esta razón se aproxima tanto más a 2x cuanto más pequeño se toma ω. • Recalca que estas diferenciales, η y ω, son absolutamente cero y que no se puede deducir de ellas otra cosa que su razón mutua, la cual se reduce finalmente a una cantidad finita. • Así acepta incondicionalmente que existen cantidades que son absolutamente cero pero cuyas razones son números finitos.

18. Leonhard Euler Puesto que había abominado de los infinitesimales, tenía que explicar cómo dy/ dx, que para él era O/O, podía ser igual a un número bien definido. • Lo hizo de la siguiente manera: • Dado que para cualquier número n se tiene que • n . O == O, entonces n == O/O; • Así las técnicas usadas simplemente son un método útil de determinar O/O;

19. L. Euler • Aceptó ∞ como número, por ejemplo, como la suma de “ 1 + 2 +3+ ..." • y también distinguió órdenes de ∞. • Así, a/dx=∞, pero a/(dx)2 es un infinito de segundo orden, y así sucesivamente. • Para derivar y =log x, reemplaza x por x + dx • dy = log (x + dx)-log x =log ( 1 + dx/x ) • Apela aquí a un resultado ya obtenido por él, • log(1+z)=z-z^2/2+z^3/3-…. con lo que obtiene • dy=dx/x -1/2(dx/x)^2 + 1/3(dx/x)^3+… • Y como todos los términos después del primero son evanescentes, tenemos d(log(x))=dx/x. • Hay más «razonamientos» de esta naturaleza en su libro, donde alienta al lector , señalando que no hay tanto misterio oculto en la derivada como se piensa, [aunque] provoque sospechas sobre el cálculo infinitesimal en el espíritu de tantos.

20. Joseph Louis Lagrange Joseph Louis Lagrange, (Turín , 1736 - 1813 en París) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia . Trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Se le atribuye la demostración del teorema del valor medio ,

21. Joseph Louis Lagrange • En su Théorie des fonctions analytiques, llevó a cabo el intento más ambicioso de reconstruir los fundamentos del cálculo infinitesimal. • El subtítulo de su libro revela su ambiciosa pretensión: • «Conteniendo los principales teoremas del cálculo diferencial sin hacer uso de lo infinitamente pequeño, ni de cantidades evanescentes ni de límites o fluxiones, y reducido al arte del análisis algebraico de cantidades finitas.»

22. Joseph Louis Lagrange • Critica el enfoque de Newton señalando que, en lo que se refiere a la razón límite del arco a la cuerda, ya que considera iguales arco y cuerda no antes o después de desvanecerse sino cuando se desvanecen. Tampoco le satisfacen los ceros pequeños (infinitesimales) de Leibniz, ni los ceros absolutos de Euler, porque “ no son lo suficientemente claros como para servir de fundamento a una ciencia cuya certeza debe reposar en su propia evidencia”. • Estos métodos tiene el inconveniente de considerar cantidades en el estado en que, por así decirlo, cesan de ser cantidades; pues aunque siempre podemos concebir correctamente las razones de dos cantidades mientras ellas permanecen finitas, la mente no se hace una idea clara y precisa de esa razón cuando sus términos se convierten, ambos al mismo tiempo, en nada.» • Para hacer rigurosas las demostraciones propuso lograr reducirlas al álgebra, la cual, incluía la series como extensiones de polinomios. • La teoría de funciones es para él la parte del álgebra que se refiere a las derivadas de funciones.

23. Joseph Louis Lagrange Lagrange propuso utilizar series de potencias, señalando con discreta modestia su extrañeza de que este método no se le hubiese ocurrido a Newton. • Se propuso expresar f(x+h)= f(x)+ph+ qh^2+rh^3 +sh^4+ ..., • en donde los coeficientes p, q, r, s. . . dependen de x pero son independientes de h; • Pero …¿tal desarrollo en serie de potencias es siempre posible? • Tanto Lagrange como Euler aceptaban sin reservas que era perfectamente posible un desarrollo en serie conteniendo potencias enteras y fraccionarias de h. Lo sabe cierto para numerosos ejemplos, pero concede que hay casos excepcionales (alguna derivada infinita). Estas excepciones sólo ocurren en puntos aislados y Lagrange no las tiene en cuenta; sin mayores miramientos hace frente a una segunda dificultad: Queriendo eliminar la necesidad de las potencias fraccionarias; dice que éstas surgen sólo si f(x) contiene radicales, con lo que también las descarta como casos excepcionales

24. Joseph Louis Lagrange • Mediante un argumento un tanto complicado pero puramente formal • Así despreciando las potencias de h, f(x + h) - f(x) = ph , • y dividiendo por h concluye que p = f' (x). • le queda mostrar cómo obtener f‘’(x) a partir de f(x). Para ello, desprecia todos los términos después del segundo. p = f’ (x), q = f’’(x)/2, r= f'“’ (x )/3!,… • Lagrange concluye entonces que esta «expresión tiene la ventaja de mostrar cómo los términos de la serie dependen uno de otro, y especialmente cómo cuando se sabe formar la primera función derivada, se pueden formar todas las funciones derivadas que intervienen en la serie». • Añade que: «Para quien conoce los rudimentos del cálculo diferencial es claro que estas funciones derivadas coinciden con dy/dx, d^2y/dx^2, • • • »

25. Joseph Louis Lagrange • A pesar de todos estos puntos débiles (convergencia de la serie de potencias) el enfoque de Lagrange del cálculo infinitesimal gozó de gran aceptación durante bastante tiempo y contribuyó como Euler a separar la fundamentación del análisis de la geometría y la mecánica ; • Lagrange creyó que había prescindido del concepto de límite. • Reconocía que el cálculo infinitesimal se podía fundamentar sobre una teoría de límites, pero afirmó que la clase de metafísica que era necesario emplear era ajena al espíritu del análisis .

26. Jean le Rond D'Alembert Jean le Rond D'Alembert (París; 1717 - 1783) fue un matemático, filósofo y enciclopedista francés, uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado.

27. Jean le Rond D'Alembert • D' Alembert redactó la mayoría de los artículos de matemáticas y ciencias para la Encyclopédie . En uno de los artículos pensaba que Newton había tenido la idea correcta y que él simplemente explicaba lo que había querido decir Newton. • En su artículo «Différentiel» de la célebre Encyclopédie ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers (1 751 -80), afirma: • Newton nunca contempló el cálculo diferencial como un cálculo de infinitesimales, sino como un método … para encontrar el límite de [ciertas] razones.» • D´Alembert formuló argumentos de carácter metafísico, analítico y geométrico para mostrar que log(-1)=0

28. Jean le Rond D'Alembert • D' Alembert redactó la mayoría de los artículos de matemáticas y ciencias para la Encyclopédie . Él pensaba que Newton había tenido la idea correcta y que él simplemente explicaba lo que había querido decir Newton. • En su artículo «Différentiel» de la célebre Encyclopédie ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers (1 751 -80), afirma: • Newton nunca contempló el cálculo diferencial como un cálculo de infinitesimales, sino como un método … para encontrar el límite de [ciertas] razones.» • D´Alembert formuló argumentos de carácter metafísico, analítico y geométrico para mostrar que log(-1)=0

29. J. D'Alembert • En otro artículo afirma : • «La teoría de límites es la verdadera metafísica del cálculo ... No es nunca cuestión de cantidades infinitesimales …es únicamente una cuestión de límites de cantidades finitas. • Los infinitesimales eran simplemente una manera de hablar que evitaba las descripciones más extensas en términos de límites. • Dio una aproximación a la definición de límite en términos de una cantidad variable que se aproxima a una cantidad fija con un error menor que cualquier cantidad fijada, aunque aquí también él dice que la variable nunca alcanza el límite. • Con todo, no llevó a cabo una exposición formal del cálculo infinitesimal que incorporase y utilizase sus, en esencia, correctas opiniones. • Fue también impreciso cuando definió la tangente a una curva como el límite de la secante cuando los dos puntos de intersección se hacen uno. • Esta imprecisión, especialmente en su enunciado de la noción de límite, originó un debate sobre la cuestión de si una variable puede alcanzar su límite. • D' Alembert aconsejaba a los estudiantes de cálculo infinitesimal, «Persistid y os llegará la fe».

30. Temas para el control de 29 de abril de la asigTenatura “Historia de las Matemáticas I” (Análisis matemático) hasta el tema VIII. • 1. La matemática griega: concepto de la matemática como ciencia deductiva. Discusión sobre la existencia de elementos últimos indivisibles • 2. La matemática griega: concepto de la matemática como ciencia deductiva. Método de Eudoxo de Cnido. Ejemplo de uso. • 3. Estado del Cálculo en el siglo XVII. P. Fermat. • 4. El nacimiento del Cálculo. I. Newton. Coincidencias con G. Leibniz. • 5. El nacimiento del Cálculo. G. Leibniz. Coincidencias con I. Newton. • 6. Situación del Cálculo en el siglo XVIII. L. Euler. • 7. Uso y abuso del Cálculo. J. Lagrange.