Automatyczne dowodzenie twierdzeń

1. Automatyczne dowodzenie twierdzeń

2. Plan wykładu Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja LogicTheorist Means-endsAnalysis Rezolucja Programowanie w logice – PROLOG

3. Allen Newell 19.03.1927 - 19.07.1992 Herbert Simon 15.06.1916 - 9.02.2001 Logic Theorist - 1956

4. Alfred N. Whitehead 1861-1947 Bernard Russel 1872-1970 Automatyczne dowodzenie twierdzeń

5. Teoria Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne. Zbiór formuł T jest zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne wtw, gdy dla wszystkich formuł A zachodzi zależność: jeżeli A jest konsekwencją logiczną T, to AT. Reguły dowodowe Reguły generowania twierdzeń ze zbioru aksjomatów - reguły wnioskowania (np. reguła odrywania). Podstawowe pojęcia

6. Formuły rachunku predykatów P = {p, q, r} – symbole predykatywne A = {a, b, c} – stałe V = {x, y, z} – zmienne Za pomocą zastępującej gramatyki definiuje się formuły atomowe oraz formuły rachunku predykatów: argument ::= x dla dowolnego x  V argument ::= a dla dowolnego a  A argumenty ::= argument argumenty ::= argument,argumenty atom ::= p | p(argumenty) dla dowolnego p P form ::= atom form ::= form form ::= form form podobnie dla  , .... form ::= x form dla dowolnego x  V form ::= x form dla dowolnego x  V

7. Predykat Funktor Term Atom Formuła złożona Literał dodatni Literał ujemny Klauzula Horna symbol (nazwa) relacji symbol (nazwa) funkcji zmienna logiczna lub funktor z listą argumentów symbol relacji z argumentami będącymi termami ciąg formuł atomowych połączonych spójnikami    formuła atomowa negacja formuły atomowej dysjunkcja literałów, najwyżej jeden literał dodatni Słowniczek

8. Dedukcja Dedukcja jest metodą wnioskowania, w której podstawową regułą dowodową jest reguła odrywania:

9. Teoria przemijania • (A1) man(X)  die(X) • (A2) man(sokrates) • 2. na podstawie reguły odrywania: Tw. o Sokratesie: die(sokrates) Dowód: 1. na podstawie reguły podstawiania postawiamy X/sokrates w A1 (A1’) man(sokrates) die(sokrates) man(sokrates) , man(sokrates) die(sokrates) ________________________________________ die(sokrates)

10. Operacje w programie Logic Theorist Podstawienie zmiennych:: w każdym twierdzeniu, o którym wiemy, że jest prawdziwe można podstawić za zmienną dowolne wyrażenie w każdym wystąpieniu tej zmiennej. np. w wyrażeniu (ØAÚ B)  (A  B) podstawiamy ØA za B (ØA ÚØA)  (A  ØA) (*) Zastąpienie:: operator działania można zastąpić wyrażeniem równoważnym lub jego definicją. np. w wyrażeniu (ØA ÚØA)  ØA zastępujemy operator Ú jego definicją (*) (A ØA) ØA Modus ponens (reguła odrywania): [(A  B)Ù A] B

11. Algorytm: 1. Wykonanie wszystkich możliwych podstawień do bieżącego celu. 2. Zastosowanie wszystkich możliwych zastąpień i oderwań do bieżącego celu i sprawdzenie wyników za pomocą podstawień; jeżeli nie doprowadzi to do dowodu, dopisanie wyników do listy podcelów. 3. Zastosowanie reguły łańcucha a  b, b  c a  c 4. Jeżeli żadne z powyższych działań nie doprowadziło do dowodu, to jako bieżący cel przyjmij kolejny nie rozważany dotąd element z listy podcelów. 5. Zakończ jeżeli: znaleziono dowód lub lista podcelów jest pusta lub czas i pamięć zostały wyczerpane.

12. LT – PRZYKŁAD 1 Cel: p  (q  p) Zastąpienie: (q  p)  (q  p) Podcel: p  (q  p) Podstawienie: q za q Podcel: p  (q  p) Aksjomat: p  (q  p)

13. LT – PRZYKŁAD 2 Cel: (p  p)  p Zastąpienie: (p  p)  (p  p) Podcel: ( p  p)   p Podstawienie: p za p Podcel: (p  p)  p Aksjomat: (p  p)  p

14. Logic Theorist - podsumowanie • Program napisany przez Newella, Simona i Shawa w roku 1956, który dowodził podstawowe twierdzenia pierwszego rozdziału Principia Mathematica • Reprezentacja wiedzy: rachunek predykatów • Wnioskowanie: dedukcja • Procedura pomocnicza: unifikacja wyrażeń • Problemy: złożoność, sterowanie wnioskowaniem

15. General Problem Solver • Autorzy: Newell, Simon • Dowodzenie twierdzeń, rozwiązywanie problemów geometrycznych, językowych, gier (szachy) • Newell, A.; Shaw, J.C.; Simon, H.A. (1959). Report on a general problem-solving program. Proceedings of the International Conference on Information Processing. pp. 256-264. • Newell, A. (1963). A guide to the general problem-solver program GPS-2-2. RAND Corporation, Santa Monica, California. Technical Report No. RM-3337-PR. • Ernst, G.W. and Newell, A. (1969). GPS: a case study in generality and problem solving. Academic Press. (revised version of Ernst's 1966 dissertation, Carnegie Institute of Technology.)

16. 1957-1963 - General Problem Solver • wykorzystuje metodę means-ends, która powstała na podstawie obserwacji sposobu rozwiązywania problemów przez człowieka (psychologia) • podstawowe pojęcia: różnice i operatory • operator jest opisany przez: warunki początkowe, funkcję transformacji i redukowane różnice • na każdym etapie rozwiązywania problemu formułuje się różnicę między stanem bieżącym a celem • następnie poszukuje się operatora, który można zastosować do zredukowania zaobserwowanej różnicy • jeżeli warunki początkowe operatora nie są spełnione, to zapisuje się je na listę podcelów i przechodzi się do następnego z listy podcelów

17. ? 2 l Problem dzbanków 4 l 3 l

18. Means-ends x - ilość wody w dużym dzbanku, x  {0, 1, 2, 3, 4} y - ilość wody w małym dzbanku y  {0, 1, 2, 3} stan zadania: (x, y) stan początkowy: (4, 3) cel: (2, y)

19. Tablica operatory-różnice

20. Tablica operatory-różnice

21. Tablica operatory-różnice

22. Tablica operatory-różnice

23. Tablica operatory-różnice

24. Tablica operatory-różnice

25. Tablica operatory-różnice

26. Rozwiązanie Stan początkowy (4,3) (0,3) (3,0) (3,3) (4,2) (0,2) Operator (-4,0) (3,-3) (0,3) (1,-1) (-4,0) (2,-2) Stan końcowy (0,3) (3,0) (3,3) (4,2) (0,2) (2,0)

27. General problem solver - podsumowanie • GPS został zaprezentowany w roku 1959 • Zastosowana metoda wnioskowania (means-ends analysis) była wzorowana na sposobie rozwiązywania problemów przez człowieka • Metoda ta znajduje zastosowanie w robotyce i planowaniu działań (STRIPS 1971)

28. Zasada rezolucji (Alan Robinson 1965)

29. Dowód metodą nie wprost • Założenie o niesprzeczności teorii • Zatem dodanie zdania, które nie jest prawdziwe powoduje powstanie sprzeczności w rozważanym zbiorze zdań • Szukamy tej sprzeczności • Co będzie jeżeli nie ma sprzeczności?

30. Dowód metodą rezolucji 1. Przekształć przesłanki lub aksjomaty w formę klauzul. 2. Dodaj do zbioru aksjomatów zaprzeczenie twierdzenia, które ma być udowodnione. 3. Wygeneruj nowe klauzule wynikające z tego zbioru. 4. Znajdź sprzeczność generując pustą klauzulę. 5. Warunki użyte do wygenerowania pustej klauzuli są tymi, w których zaprzeczenie celu jest prawdziwe.

31. Teoria przemijania • A1.die(X)  man(X) • A2. man(sokrates) Tw. o Sokratesie: die(sokrates) Dowód: 1. zaprzeczenie tezy: Z1. die(sokrates) 2. na podstawie reguły podstawiania:(X/sokrates) A1’. die(sokrates)  man(sokrates) 3. rezolucja Z1 oraz A1’ Z2.man(sokrates) 4. rezolucja A2 i Z2 powoduje wygenerowanie klauzuli pustej, co kończy dowód. 

32. Strategie upraszczające rezolucję • Przeszukiwanie wszerz • Strategia zbioru podpierającego • Strategia preferencji jednostkowej • Strategia liniowego wejścia

33. Przykład człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(sokrates) filozof(Y)  człowiek(Y) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(sokrates) filozof(Y)  człowiek(Y) m umrzeć(sokrates)

34. Przeszukiwanie wszerz filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates) klauzula pusta filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) klauzula pusta

35. Przeszukiwanie wszerz filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates) klauzula pusta filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) klauzula pusta

36. Strategia zbioru podpierającego Dla zbioru klauzul wejściowych S określa się podzbiór TS zwany zbiorem podpierającym. Strategia wymaga, aby w każdej rezolucji co najmniej jedna rezolwenta miała poprzednika w zbiorze podpierającym T. Jeżeli S jest sprzeczny i S\T nie jest sprzeczny, to strategia ta jest zupełna. Np. jeżeli T zawiera zaprzeczenie celu.

37. zbiór podpierający Strategia zbioru podpierającego filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

38. Strategia zbioru podpierającego filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

39. Strategia zbioru podpierającego filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

40. Strategia zbioru podpierającego filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates) klauzula pusta filozof(sokrates) umrzeć(sokrates)

41. Strategia preferencji jednostkowej Rezolucja, w której jedna rezolwenta jest literałem prowadzi do „skrócenia” drugiej rezolwenty. Zatem preferuje się rezolucje z pojedynczymi literałami. Jeżeli nie dopuścimy innych rezolucji, jak tylko z pojedynczymi literałami, to strategia nie jest zupełna.

42. Strategia preferencji jednostkowej filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

43. Strategia preferencji jednostkowej filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

44. Strategia preferencji jednostkowej filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates) filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) klauzula pusta

45. Strategia liniowego wejścia W pierwszej rezolucji rezolwentami są aksjomat i zanegowany cel. W kolejnych krokach jedną z rezolwent jest ostatnio otrzymana klauzula, a drugą aksjomat. Strategia nie jest zupełna.

46. Strategia liniowego wejścia filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

47. Strategia liniowego wejścia filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) X X X filozof(X)  umrzeć(X) człowiek(sokrates) człowiek(sokrates)

48. Strategia liniowego wejścia filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) człowiek(sokrates)

49. Strategia liniowego wejścia filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) człowiek(sokrates) filozof(sokrates)

50. Strategia liniowego wejścia filozof(sokrates) umrzeć(sokrates) człowiek(X)  umrzeć(X) filozof(Y)  człowiek(Y) człowiek(sokrates) filozof(sokrates) klauzula pusta