GALILEI GEOMETRIAI ÉS KATONAI KÖRZŐJE

1. GALILEI GEOMETRIAI ÉS KATONAI KÖRZŐJE A háromszögek hasonlóságának érdekes alkalmazásai Református Iskolák Matematikaversenye, 2013.

2. Volt egyszer egy körző… Galilei 1592-1610 között a padovai egyetemen tanított mechanikát, geometriát és csillagászatot. Sok előkelő diák tanult itt, akik a hadi tudományokkal is szívesen ismerkedtek. Galilei részletes kurzust állított össze nekik, ami pontos szerkesztéseket és méréseket is tartalmazott. Két, korábban már használt műszer egyesítésével elkészített egy saját körzőt. Használatát nála kellett elsajátítani, magántanítványként. 1606-ban megjelent Compassogeometrico e militare (Geometriai és katonai körzők) című műve, amelyben közel 40 mérést ír le, amelyek a körző segítségével elvégezhetők.

5. Számtani vonal (arithmetic line) • Szakasz egyenlő részekre osztása • Szakasz adott (tört)részének meghatározása • Egy térkép kicsinyítése, nagyítása • Negyedik arányos megkeresése • Az inverz negyedik arányos módszere • Szabály a pénzváltásra • Szabály a kamatos kamat kiszámítására

6. A számtani vonal kijelölése A tengely a kezdő 0-pont, a beosztás egyenletes 0-250-ig.

7. Szakasz adott arányú része „Így, ha valaki azt kéri, hogy keressük meg egy adott AB szakasz adott részét, pl. 113/197-edét, akkor kinyitjuk az eszköz úgy, hogy a szakasz teljes hossza illeszkedjen keresztben a 197-197 pontok közé; anélkül, hogy mozgatnánk az eszközt, körzőnyílásba vesszük a 113-113 számok közötti távolságot, és ez a távolság egyenlő lesz a szakasz 113/197-ed részével.”

9. Térképek kicsinyítése, nagyítása Legyen az ábránk az ABCDE által meghatározott sokszög! Szeretnénk szerkeszteni egy másik, hasonló, alakzatot, amelyben az AB oldalnak az FG szakasz felel meg. Vegyük körzőnyílásba az AB távolságot, majd ezt mérjük fel az eszközünk egyik szárán a tengelytől kiindulva! Érjen a B végpont pl. a 60-nal jelölt pontig! Ezután vegyük körzőnyílásba az FG távolságot! Eszközünk két szárát nyissuk ki annyira, hogy az FG szakasz hossza az eszközünkön keresztben a 60-60 pontok közé essen! Ezután anélkül, hogy újra megváltoztatnánk az eszköz szárainak helyzetét, az eredeti sokszög összes többi oldalát felmérhetjük az eszközünk valamelyik szára mentén hosszában. Ekkor a végpontnak megfelelő keresztirányú távolságok megadják az új oldalhosszakat.

10. Ha a hosszak és a kicsinyítés/nagyítás mértéke úgy kívánja, használhatjuk a két skálát fordított sorrendben is. De hogy lesz sokszög az oldalhosszakból? (Erre is kitér Galilei. HF )

11. Negyedik arányos megkeresése Először Eukleidész említi a problémát: Adott a, b, c esetén keressük azt az x-et, amelyre a:b=c:x. Adott három szám: 80, 120, 100. Keressük meg a negyedik számot, amelyre 80 úgy aránylik a 120-hoz, mint 100 a keresett számhoz! „Hogy megtalálja a negyedik számot, keresse meg a számtani vonalon a 120-at, vegye körzőnyílásba a tengely és e pont távolságát, majd nyissa úgy az eszközt, hogy ez a távolság keresztben a 80-80 pontok távolsága legyen. Majd vegye a 100-100 távolságot körzőnyílásba és ezt mérje fel az eszköz szárán hosszában. Az így felmért távolság végpontja megadja a negyedik számot. Ez esetünkben 150 lesz. „

12. Inverz negyedik arányos módszer „Ha egy adott mennyiségű élelmiszer 60 napig tud ellátni 100 katonát, akkor hány katonát tud ellátni 75 napig? A szereplő számok sorrendben: 60, 100, 75. Vesszük hosszában az első számot, amely 60 kinyitjuk az eszközt úgy, hogy ez a távolság a harmadik szám, a 75-75 pontok közé essen, majd anélkül, hogy mozgatnánk, megkeressük a 100-100 pontok távolságát, amely a második szám, és ezt hosszában felmérjük. A végpontot a skáláról leolvashatjuk: 80, amely a keresett szám.”

13. Szabály a pénzváltásra Például firenzei arany scudikat szeretnénk váltani velencei dukátokra. A dukát ára, vagy értéke 6 líra és 4 soldi, mivel a dukát nem egész számú többszöröse a lírának, így váltópénzre is szükség van, ez a soldi. Ezért célszerű soldi-ban számolni. A scudi ára 160 soldi, a dukát ára 124 soldi.

14. Vegye körzőnyílásba az eszköz szárán hosszában a tengelynek és a scudi árfolyamának a távolságát, amely 160. Nyissa az eszközt úgy, hogy ez a távolság a dukát árfolyamának értékei közé essen keresztben, azaz a 124-124 pontok közé. Ezután ne mozgassa az eszközt. Bármilyen összegű scudit, vagy dukátot ezután át tudunk váltani egymásba. Például, szeretnénk tudni, hogy hány dukátot ér 186 scudi. Körzőnyílásba vesszük a tengely és a 186 pont távolságát a száron, majd megnézzük, hogy ez a távolság mely keresztirányú pontok között található. Így megkapjuk, hogy 240 dukátot ér.

15. Kamatos kamat Mennyit ér 140 scudi öt év múlva, ha az évi kamat 6 százalék? A kezdeti tőke értékét (azaz 140) vegyük körzőnyílásba az eszköz szárán levő skálán, nyissuk annyira a körzőnket, hogy ez a távolság illeszkedjen keresztben a 100-100 pontok közé. Ezután az eszköz mozgatása nélkül körzőnyílásba vesszük keresztben a 106-106 pontok közötti távolságot, nyissuk szélesebbre az eszközt úgy, hogy ez a távolság illeszkedjen a 100-100 pontok közé.

16. Ezután vegyük ismét a 106-106 pontok közötti jelenlegi távolságot, és ismét szélesítsük az eszközt egy kicsit, amíg a talált távolság nem illeszkedik a 100-100 pontok közé. Ismételjük tovább a műveletet annyiszor, amennyi az évek száma, így a jelen példában öt évig kamatozik a pénz, így a műveletet ötször ismételjük. Mikor ötödik alkalommal vesszük körzőnyílásba a 160-160 pontok közötti távolságot, akkor ezt felmérjük a körzőnk szárán hosszában, a tengelytől indulva. Leolvasva a skáláról a másik végpontnak megfelelő értéket megkapjuk a választ, ami most 187 1/3 scudi. Ha kényelmesebb, vehetjük a 200-200 és a 212-212 pontokat is, az eredmény ugyanaz lesz.

17. Vegye körzőnyílásba a 106 értéket a hosszanti skálán, nyissa úgy az eszközt, hogy ez a távolság illeszkedjen keresztirányban a 100-100 pontok közé, ezután soha ne változtasson az eszköz nyílásszögén. Vegye a tőke értékét jelző pontok távolságát keresztben, most a 140-140 pontok, és mérje fel hosszanti irányban. Látni fogja, hogy az első év végére a pénze 148 2/5. Vegye körzőnyílásba a 148 2/5-148 2/5 pontok közötti keresztirányú távolságot és mérje fel hosszában. A második év végére pénze 157 1/3. Folytatva az eljárást megkereshetjük pénzünk értékét az ötödik év végén. Ha az eredeti tőkeösszeg 250-nél nagyobb, azaz az eszközön nincs feltüntetve, akkor vegye a felét, harmadát, vagy bármely adott részét és azzal végezze el a műveletet! A kapott hossz kétszeresét, háromszorosát, stb. véve megkapja a kívánt végeredményt.

18. Geometriai vonal (geometic line) • Alakzatok területének adott arányú növelése, csökkentése • Két hasonló síkidom esetén a hasonlóság arányának meghatározása • Olyan síkidom szerkesztése, amely hasonló az adott síkidomokhoz és területe az adott síkidomok területeinek összege • Olyan síkidom szerkesztése, amely hasonló az adott síkidomokhoz és területe az adott síkidomok területeinek különbsége • A négyzetgyök kiszámítása • A hadsereg elrendezésének módja egyenlőtlen front és szárnyak esetén • Mértani közép meghatározása

19. A geometriai vonal Felvétele: (nincs benne a műben) A tengelytől kiinduló félegyenest rajzolunk. Felveszünk rá egy tetszőleges egységet, nem túl közel a tengelyhez, a 0-1 szakaszra szerkesztünk egy egységnyi oldalú négyzetet, majd körzőnyílásba vesszük ennek átlóját, ez kimetszi a skálánkon a 2 egységet. Ebből a pontból merőlegest állítva a félegyenesünkre kapunk egy 2, 1 oldalú téglalapot. Ennek átlóját körzőnyílásba véve kijelölhetjük a 3 egységet, stb. – tulajdonképpen egy négyzetgyökös skálát kapunk.

20. Segítségével megtalálhatjuk egy olyan síkidom oldalhosszát, amely egy adott síkidomhoz hasonló és területeik aránya adott. Például, adott az ABC háromszög, szeretnénk megtalálni egy olyan háromszög oldalhosszát, amely hasonló az ABC háromszöghöz és területük aránya 3:2. Vegye körzőnyílásba a BC oldal hosszát és nyissa ki az eszközt úgy, hogy ez a távolság a geometriai vonal 3-3 pontjai közé essen majd, anélkül, hogy megváltoztatná az eszköz szárainak szögét, vegye körzőnyílásba a 2-2 pontok közötti távolságot!

21. Ez lesz a keresett háromszög BC oldalának megfelelő oldal hossza. Hasonlóan megkeresve a többi oldal hosszát is a keresett háromszög szerkeszthető, vagy amennyiben egy oldalnak megkerestük a megfelelőjét a háromszög nagyításához alkalmazhatjuk a harmadik műveletet is. Ha a 3-3 illetve a 2-2 pontok közötti távolság nehezen kereshető meg, akkor választhatunk nagyon számokat is, amelyeknek aránya ugyanennyi, például 3:2=12:8. Így nyithatjuk az eszközt úgy, hogy a BC távolság a geometriai vonal 12-12 pontjai közé essen majd, anélkül, hogy megváltoztatná az eszköz szárainak szögét a 8-8 pontok közötti távolság adja a keresett távolságot!

22. TALÁLJUK MEG KÉT HASONLÓ SÍKIDOM TERÜLETÉNEK ARÁNYÁT Ha a vonal hossza nem illeszkedik pontosan valamely beosztások közé, akkor meg kell ismételni a műveletet, és megpróbálni más kezdeti pontpárt venni, mint a 20-20. Ha ismert konkrétan az egyik alakzat területe, akkor a másik, hozzá hasonló alakzat területét is meg tudjuk mondani ugyanilyen módon. Például: Az A vonalat tartalmazó négyzet mekkora területű, ha a B vonalat tartalmazó 30 campi? A B vonal hosszát mérjük fel keresztben a 30-30 pontok közé, és aztán meglátjuk, hogy milyen számok közé esik az A vonal távolsága, ennyi campi az A négyzet területe.

23. HOGYAN KELL LÉTREHOZNI EGY OLYAN SÍKIDOMOT, AMELY TÖBB ADOTT SÍKIDOMHOZ HASONLÓ, ÉS TERÜLETE AZ ADOTT SÍKIDOMOK TERÜLETEINEK ÖSSZEGE Vegyük körzőnyílásba a C vonal hosszát, és nyissuk az eszközt, hogy ez bármilyen feltüntetett számpár közé essen a geometrikus vonalon. Mondjuk, legyen ez például a 12-12 pont, ezután az eszközt ebben a helyzetben hagyva nézzük meg, hogy milyen pontok közé illeszkedik a B vonal. Legyen ez például a 9-9! Ezután nézze meg, milyen pontok közé illeszkedik az A vonal! Mondjuk, a 6-6. Adjuk össze a kapott számokat: 12+9+6=27! Vegyük 27-27 pontok közötti távolságot! Ez lesz az a D vonal, amely a keresett síkidomban az ezen oldalaknak megfelelő oldal hossza lesz.

24. A négyzetgyök kiszámítása "Közepes méretű" számok (nagyságrendben az 5000): Körzőnyílásba vesszük a számtani vonalon a tengely és a 40-es osztás távolságát, majd úgy nyitjuk az eszközt, hogy ez a távolság keresztirányban a geometriai vonalak 16-16 osztópontjai közé essen. Ezután elvesszük az adott szám utolsó két számjegyét, amely az egységek és tízesek helyén áll! Az így kapott számot keresse meg a geometriai vonalon, vegye keresztirányban a két ilyen pont távolságát! Ha ezt hosszában ráméri a számtani vonalra, akkor megkapja a szám négyzetgyökének közelítő értékét.

25. Például, szeretné megtalálni a 4630 négyzetgyökét. Vegye el az utolsó két számjegyet (30), ekkor 46 marad, ezért vegye a 46-46 pontok közötti távolságot keresztben a geometriai vonalon és mérje ezt hosszában végig a számtani vonalra! Ott ez a 68-as beosztásig tart, amely hozzávetőlegesen a 4630 négyzetgyöke. Két dolog van azonban, amit meg kell jegyezni e művelet végzése során. Az első az, hogy amikor az utolsó két számjegy (elvett) meghaladja az 50-et, akkor adjunk hozzá egy egységet a megmaradó számhoz. Így, ha például azt szeretnénk megtudni, hogy mennyi a 4192 gyöke, mivel a 92 meghaladja az 50-et, ezért a megmaradó 41 helyett a 42-t használjuk. A másik, amit óvatosan meg kell jegyezni, hogy amikor az első két számjegy önmagában nagyobb, mint 50, akkor mivel a geometrikus vonalak legnagyobb beosztása 50, arányosságot kell alkalmaznunk. Venni kell a fennmaradt szám felét, vagy valamilyen más részét, és megkeresni ezt a távolságot a geometriai vonalon, majd az eszköz nyitásával a geometriai vonalon megduplázni, vagy többszörözni és a kapott távolságot felmérni hosszában a számtani vonalra.

26. Szeretnénk a 8412 gyökét megtudni. Az utolsó két számjegy elvétele után 84 marad. Ez nem szerepel a geometriai vonalon, ezért vegyük a felét, 42, majd megkeressük keresztben a 42-42 pontok közötti távolságot. Ezt kell a geometriai vonalon megduplázni. Ez úgy valósítható meg, hogy a 42-42 pontok közötti távolságot továbbra is a körzőnyílásban tartva kinyitjuk, vagy összébb zárjuk az eszköz szárait addig, amíg ez a távolság olyan pontpárok közé nem illeszkedik, amelynek a kétszerese is szerepel a geometriai vonalon. Például a 20-20 pontok közé. Ezután nem mozdítva az eszközt vesszük a 40-40 pontok távolságát, végül ezt mérjük hosszában fel a számtani vonal mentén. Ez körülbelül 91 2/3-ot mutat, ami az adott számnak, 8412-nek a közelítőleges gyöke.

27. „Nagy számok” (nagyságrend 50000) négyzetgyökének megkeresése: Az eszközt úgy állítjuk be, hogy vesszük a számtani vonalon a 100 egységet és úgy nyitjuk az eszköz szárát, hogy az illeszkedjen keresztben a geometriai vonalon a 10-10 pontok közé. Keressük meg a 32140 négyzetgyökét! Elhagyjuk az utolsó három számjegyet, így 32 marad. Körzőnyílásba vesszük keresztben a geometriai vonalak 32-32 pontok távolságát, ezt a számtani vonalra mérve a kapott szám: 179, ez a hozzávetőleges gyöke a 32140-nek.

28. „Kis számok” (100 körüli) gyökének meghatározása: Az eszközt a legelső esetben leírt módon állítjuk be. A keresés anélkül történik, hogy elvennénk számjegyet. A leolvasás során azonban a számtani vonalon kapott érték tizedét kell vennünk. Például, azt akarjuk tudni, mennyi a gyöke a 30-nak. Beállítás után vesszük a geometriai vonalak 30-30 pontjai közötti távolságot, és ezt mérjük fel hosszában a számtani vonalra. Ekkor az 55 értéket kapjuk. A 30 négyzetgyökének közelítő értéke ennek tizede, azaz 5,5.

29. SZABÁLY A HADSEREG EGYENLŐTLEN FRONTVONALÁNAK ÉS OLDALVONALÁNAK A MEGHATÁROZÁSÁRA Rendezzünk hadrendbe 4335 katonát úgy, hogy minden öt frontvonalban harcolóra három az oldalszárny mentén álló jusson. Ahhoz, hogy ezt el tudjuk végezni az eszközünk segítségével, először a kijelölt arány (5, 3) mindkét tagjának vegyük a tízszeresét, esetünkben ez azt jelenti, hogy 50-30. A frontvonalon álló katonák számát a következőképpen határozzuk meg: Vegyük a számtani vonalon a tengely és az 50-es beosztás távolságát körzőnyílásba, majd nyissuk annyira az eszköz szárait, hogy ez a távolság a geometriai vonalon az eredeti arányban szereplő két szám szorzatának (esetünkben 15) megfelelő pontok távolsága legyen. Hagyjuk el a katonák számából az utolsó két számjegyet, így a jelen példában marad 43; vegyük körzőnyílásba a geometriai vonalon a 43-43 pontok távolságát és a kapott szakasz hosszát mérjük fel hosszában a számtani vonalra. Ekkor esetünkben 85-t kapunk, ennyien fognak állni az első sorban.

30. A szárny meghatározásához az eszköz beállításakor a számtani vonalon a tengely és a 30-as beosztás távolságát mérjük fel a geometriai vonal 15-15 pontjai közé. Ezen a vonalon a 43-43 pontok távolságának a számtani vonalon 51 fog megfelelni. Ugyanez az eljárás tetszőleges számú katona és bármilyen arány esetén alkalmazható.

31. Mértani közép meghatározása Legyen adott két szám, például 36 és 16! Vegye az egyik számot, például a 36-ot, és vegye körzőnyílásba a számtani vonalon a tengely és a 36 osztásvonal távolságát! Nyissa úgy az eszköz szárait, hogy ez a távolság a geometriai vonal 36-36 pontjai közé essen! Vegye körzőnyílásba – az eszköz szárainak mozgatása nélkül – a geometriai vonalon a 16-16 pontok távolságát és ezt mérje fel a számtani vonalra! Így megkapja a 36 és a 16 számok mértani közepét, esetünkben 24-et.

32. = + a b X=? Tizenhetedik művelet Adott két kocka. Mekkora élhosszúságú az a kocka, amelynek térfogata a két kocka térfogatának összege? Galilei korában ez a művelet hasznos volt a gyakorlatban is; használták a gabonakereskedők, a kőfaragók, vagy a falak és erődítmények építői.

33. Az eszközzel nem tudjuk közvetlenül megmondani, mekkorák a térfogatok. Vegyük körzőnyílásba egy hagyományos körzővel a nagyobb kocka oldalhosszát (több kocka esetén a legnagyobbat). Ezt a távolságot fogjuk felmérni a szögmérőnk térfogati vonalainak két tetszőleges pontja közé pl. 20-20.

34. Ismételjük meg ezt a kisebb kockával (több kocka esetén valamennyivel)! Olvassuk le a skáláról a távolságnak megfelelő számot! Adjuk össze a számokat (térfogatokat)! 20+12=32 Keressük meg a szögmérőn a 32-32 pontokat! Ez a távolság lesz a keresett kocka oldala. Ezt a kockát kerestük. (Térfogata a két kicsi kocka térfogatának összege.)

35. Hogyan kell elkészítenünk ezen a térfogati vonalon a skálát ahhoz, hogy az előbbi mérésben alkalmazott eljárás jó eredményt adjon? – tehetséggondozás, érdeklődés felkeltés Csak kockák esetén ad helyes eredményt a mérés? Milyen további méréseket lehetne végezni egy ilyen skálával? x x

36. Huszonegyedik művelet Adott egy gömb valamilyen (az eszközön szereplő) anyagból. Mekkora az átmérője annak a gömbnek, amelynek tömege azonos, de valamely más anyagból készült?

37. Vegyük körzőnyílásba egy hagyományos körzővel a gömb átmérőjét! Ezt a távolságot fogjuk felmérni a szögmérőnk fém vonalainak két pontja közé attól függően, hogy milyen anyagból van a gömbünk pl. ólom-ólom pontok, ennek megfelelően nyitjuk ki a szögmérő szárait.

38. A körző szárainak állását nem változtatva keressük a Fém vonalak két azon pontja közötti távolságot, amelyek a keresett anyagnak megfelelnek pl. ezüst-ezüst pontok. Ez a távolság adja meg, mekkora lenne az átmérője annak az ezüstgolyónak, amelynek a tömege az ólomgolyónkéval azonos.

39. Hogyan kell elkészítenünk ezen a Fém vonalon a skálát ahhoz, hogy az előbbi mérésben alkalmazott eljárás jó eredményt adjon? – tehetséggondozás, érdeklődés felkeltés Csak golyók esetén ad helyes eredményt a mérés? Felvehetünk újabb anyagokat is! Hogyan lehetne bejelölni egy 3 rész réz+1 rész ón felhasználásával készült bronz ötvözetet? Milyen további méréseket lehetne végezni egy ilyen skálával?

40. Huszonkettedik művelet Adott két, különböző anyagú, azonos térfogatú gömb. Határozzuk meg a tömegük arányát! Meghatározás: Legyen a két golyó anyaga vas és ezüst! Vegyük körzőnyílásba a körző tengelyének és a Fém vonal vas pontjának távolságát! Nyissuk annyira a szögmérőt, hogy ez a távolság a Térfogati vonal 100-100 pontjai közé kerüljön! Körzőnyílásba vesszük a tengely-ezüst távolságot és megnézzük, hogy ez a Térfogati vonalak mely pontjai közötti távolságnak felel meg. Ha ezek a pontok a 88-88, akkor a keresett arány 88:100.

41. A két háromszög hasonló, mert szögeik megegyeznek. Így a megfelelő oldalak aránya egyenlő.

42. Galileo Galilei: Operations of the geometric and military compass, 1606. Az angol fordítást Stillman Drake készítette, Firenze 1977. A firenzei Galilei Múzeum honlapja Museo Galileo - Istituto e Museo di Storia della Scienza http://www.museogalileo.it/ A múzeum szögmérővel kapcsolatos interaktív anyaga: http://brunelleschi.imss.fi.it/esplora/compasso/index.html Köszönöm a figyelmet!