§1 Jacobi 法和 Gauss - Seidel 法

k x1(k) x2(k) x3(k) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第四章求解线性方程组迭代法 §1 Jacobi 法和 Gauss - Seidel 法  Jacobi 迭代法取初值x1(0)=x2(0)=x3(0)=0 迭代结果如下：建立迭代公式精确解： x1*=1.1 x2*=1.2 x3*=1.3

建立迭代公式 Jacobi 迭代公式

输入xI，e，N k =0 Y 解方程组 N k k+1 xi yi N k>=N Y 输出迭代失败输出yi Jacobi算法流程图关键： 1 xi ,yi存储旧值，新值 2 误差控制

输入xI，e，N k =0 Y N k k+1 xi yi N k>=N Y 输出迭代失败输出yi for(k=0;k<n;k++){ maxe=0; for(i=0;i<3;i++) { s=0; for(j=0;j<3;j++) if(j!=i)s=s+a[i][j]*x[j]; y[i]=(b[i]-s)/a[i][i]; if(fabs(y[i]-x[i])>e1) maxe=fabs(y[i]-x[i]); } if(maxe<e) { for(i=0;i<3;i++) printf("%f ",y[i]); break; } for(i=0;i<3;i++) x[i]=y[i]; } if(k>=n)printf("the iteration is failed");

k x1(k) x2(k) x3(k) 1 2 3 1.16440 1.28205 1.29777 0.72000 1.04308 1.09313 0.90200 1.06719 1.19572  Gauss - Seidel迭代法建立迭代公式取初值x1(0)=x2(0)=x3(0)=0 迭代结果如下：立刻用新值替换旧值，进行剩下的运算

建立迭代公式 Gauss - Seidel迭代公式一般Gauss - Seidel 迭代要比Jacobi 迭代收敛快有时Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时， Gauss-Seidel法也可能不收敛。

输入xI，e，N k 0 yi xi Y 解方程组 N k k+1 xi yi N k>=N Y 输出迭代失败输出yi Gauss - Seidel算法流程图关键： 1 计算公式中的旧值，新值可以功用一套内存单元 2 误差控制

注：1 实质是对上一步结果和Gauss-Seidel迭代值进行加权平均 2对任意初值收敛的必要条件 3为加大Gauss-Seidel迭代值的比重， 超松弛迭代法(SOR法) 迭代加速松弛因子

U L D A = 迭代公式的矩阵表示

Jacobi迭代

迭代矩阵G，收敛性与G相关 Gauss - Seidel 迭代矩阵形式：

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