Funções Rosen 5 th ed., §1.8

1. Funções Rosen 5th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

2. Funções • Conceito familiar no cálculo • Função real f, que associa a cada número xR um valor particular y=f(x), onde yR. • Noção generalizada • Conceito de associar elementos de um conjunto qualquer a elementos de um outro conjunto qualquer Prof. Anselmo Paiva

3. Definição Formal • Sejam A e B dois conjuntos, então dizemos que um função f de A em B (f:AB) é uma associação de um único elemento f(x)B a cada elemento xA. • Generalizações desta Idéia: • Função f associa zero ou elemento de B a cada elemento xA. • Funções de n argumentos; relations. • Mais na frente veremos Prof. Anselmo Paiva

4. Gráficos de Funções • Podemos representar uma função f:AB como o conjunto de pares ordenados {(a,f(a)) | aA}. • Isto torna f uma relação entre A e B: • Para cada aA, existe somente um par (a,b). • Podemos representar os pares ordenados como pontos em um plano. • Assim desenhamos uma curva com um único y para cada x. Prof. Anselmo Paiva

5. Funções pode ser representadas graficamente: A B f • • f • • • • y • a b • • • • x A Grafo Bipartido B Gráfico Diagrama de Venn Prof. Anselmo Paiva

6. Funções que já vimos • Uma proposição pode ser vista como uma funçãoque leva de “situações”em valores veradade {T,F} • p=“Está chovendo.” • s=nossa situação aqui hoje • p(s){T,F}. • Um operador proposicional pode ser visto como uma função de pares ordenados em valores verdade: e.g., ((F,T)) = T. Prof. Anselmo Paiva

7. Mais funções • Um predicado pode ser visto como uma função de objetos em proposições: P :≡ “tem 2 metros de altura”; P(Zé) = “Zé tem 2 metros de altura.” • Uma bit string B de comprimento n pode ser vista como uma função de números {1,…,n}(posições dos bits) em bits {0,1}.E.g., B=101 B(3)=1. Prof. Anselmo Paiva

8. Continuando • Um conjunto S sobre um universo U pode ser visto como uma função dos elementos de U em {T, F}, definindo se cada elemento de U está no conjunto S • Suponha U={0,1,2,3}. Então S={3} S(0)=S(1)=S(2)=F, S(3)=T Prof. Anselmo Paiva

9. Continuando • Um conjunto de operadores tal como ,, pode ser visto como uam função de pares de conjuntos em conjuntos. • Exemplo: (({1,3},{3,4})) = {3} Prof. Anselmo Paiva

10. Notação • Podemos escrever YX para denotar o conjunto F de todas as possíveis funções f: XY. • Assim, f  YX é outra maneira de dizer que f: XY. • Notação apropriada • Para X e Y finitos |F| = |Y||X|. Prof. Anselmo Paiva

11. Detalhe • Se usarmos F0, T1, então um subconjunto TS é uma função de S em {0,1} • P(S) pode ser representado como {0,1}S (o cojunto de todas as funções de S em {0,1} ) Prof. Anselmo Paiva

12. Terminologia • Se escrevemos f:AB, e f(a)=b (onde aA & bB), podemos dizer: • A é o domínio de f. • B b é o contra-domínio de f. • b é a imagem de a em f. • O conjunto imagem de f:AB é o conjunto de todas as imagens de elementos de A. • Dizemos que f:AB mapeia A em B. Prof. Anselmo Paiva

13. Funções • Considere a função f:PC com P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} • f(Linda) = Moscow • f(Max) = Boston • f(Kathy) = Hong Kong • f(Peter) = New York • O conjunto imagem de f é C. Prof. Anselmo Paiva

14. Funções • Let us re-specify f as follows: • f(Linda) = Moscow • f(Max) = Boston • f(Kathy) = Hong Kong • f(Peter) = Boston • Is f still a function? yes What is its range? {Moscow, Boston, Hong Kong} Prof. Anselmo Paiva

15. Funções • x • f(x) Linda Boston • Linda • Moscow Max New York • Max • Boston Kathy Hong Kong • Kathy • Hong Kong Peter Moscow • Peter • Boston • Other ways to represent f: Prof. Anselmo Paiva

16. Funções • Se o domínio de f for grande, é conveniente especificar f com uma fórmula, e.g.: • f:RR • f(x) = 2x • Isto leva a: • f(1) = 2 • f(3) = 6 • f(-3) = -6 • … Prof. Anselmo Paiva

17. Funções • Sejam f1 e f2 funções de A em R. • Então a soma e o produto de f1 e f2 são também funções de A em R definidas por: • (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) • (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) • Exemplo: • f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5 • (f1 + f2)(x)= f1(x)+f2(x)=3x + x + 5 = 4x + 5 • (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) =3x(x + 5) = 3x2 + 15x Prof. Anselmo Paiva

18. Funções • Seja f:AB. • Se tomarmos um subcon • If we only rejunto SA, o conjunto de todas as imagens de elementos sS é denominado imagem de S. • Denotada por f(S): • f(S) = {f(s) | sS} Prof. Anselmo Paiva

19. Funções • Considere a seguinte função: • f(Linda) = Moscow • f(Max) = Boston • f(Kathy) = Hong Kong • f(Peter) = Boston • Qual a imagem de S = {Linda, Max} ? • f(S) = {Moscow, Boston} • Qual a imagem de S = {Max, Peter} ? • f(S) = {Boston} Prof. Anselmo Paiva

20. Composição • A composição de duas funções g:AB e f:BC, denotada por fg, é definida como • (fg)(a) = f(g(a)) • Isto significa que: • a primeira função é aplicada ao elemento aA, • mapeando ele em um elemento de B, • Então f é aplicada a este elemento de B • Mapeando eme em um elemento de C. • Assim: • função composta mapeia elementos de A em C. Prof. Anselmo Paiva

21. Composição • Exemplo: • f(x) = 7x – 4, g(x) = 3x, • f:RR, g:RR • (fg)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101 • (fg)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4 Prof. Anselmo Paiva

22. Composição • Composição de função e sua inversa: • (f-1f)(x) = f-1(f(x)) = x • É a função identidade I(x) = x. Prof. Anselmo Paiva

23. Propriedades das Funções • Uma função f:AB é dita injetora sss • x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • x, yA(x,y: xy  f(x)f(y)). • F é injetora sss não mapeia dois elementos distintos de A no mesmo elemento de B. Prof. Anselmo Paiva

24. Propriedades das Funções g(Linda) = Moscow g(Max) = Boston g(Kathy) = Hong Kong g(Peter) = New York G é é injetora? Sim • De novo • f(Linda) = Moscow • f(Max) = Boston • f(Kathy) = Hong Kong • f(Peter) = Boston • F é injetora? • Não, • Max e Peter são mapeados na mesma imagem. Prof. Anselmo Paiva

25. Propriedades das Funções • Como provar que um função é injetora? • Olhe a definição primeiro: • x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • Exemplo: • f:RR • f(x) = x2 • Use contra exemplo pra provar que não é: • f(3) = f(-3), but 3  -3, so f is not one-to-one. Prof. Anselmo Paiva

26. Propriedades das Funções • … outro exemplo: • f:RR • f(x) = 3x • Injetora: x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • Mostrar que : f(x)  f(y) quando x  y • x  y • 3x  3y • f(x)  f(y), • assim se x  y, então f(x)  f(y), logo, f é injetora. Prof. Anselmo Paiva

27. Propriedades das Funções • A função f:AB com A,B  R é denominada estritamente crescente, se • x,yA (x < y  f(x) < f(y)), • E estritamente descrescente se • x,yA (x < y  f(x) > f(y)). • Um função que é estritamente crescente ou estritamente descrescente é injetora. Prof. Anselmo Paiva

28. Propriedades das Funções • Uma função f:AB é denominada sobrejetora, sss para cada elemento bB existe um elemento aA com f(a) = b. • Se o cojunto imagem for igual ao contra-domínio • Uma função f: AB é bijetora sss é injetora e sobrejetora. • Logo: se f é bijetora e A e B são conjuntos finitos, então |A| = |B|. Prof. Anselmo Paiva

29. Propriedades das Funções Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow • F é injetora? • Não. • F é sobrejetora? • Não. • F é bijetora? • Não. Prof. Anselmo Paiva

30. Propriedades das Funções Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow • F é injetora? • Não. • F é sobrejetora? • Sim. • F é bijetora? • Não. Paul Prof. Anselmo Paiva

31. Propriedades das Funções Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Lübeck • F é injetora? • Sim. • F é sobrejetora? • Não. • F é bijetora? • Não. Prof. Anselmo Paiva

32. Propriedades das Funções Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Lübeck • F é injetora? • Não. • F não é função Prof. Anselmo Paiva

33. Propriedades das Funções • F é injetora? • Sim • F é sobrejetora? • Sim • F é bijetora? • Sim Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck Prof. Anselmo Paiva

34. Inversa • As funções bijetora possuem uma função inversa. • f:AB tem como função inversa • f-1:BA com f-1(b) = a tal que f(a) = b. Prof. Anselmo Paiva

35. Inversa Exemplo: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York É um função bijetora A inversa é dada por: f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Lübeck) = Peter f-1(New York) = Helena Inversão so é possível para bijetoras Prof. Anselmo Paiva

36. Inversa f f-1 • f-1:CP não é função • Não está definida para todos os elementos de C • Associa duas imagens a New York. Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck Prof. Anselmo Paiva

37. Função teto e piso • Mapeiam números reais em inteiros (RZ). • Piso(floor) associa rR ao maior zZ com z  r, denotado por r. • 2.3 = 2, 2 = 2, 0.5 = 0, -3.5 = -4 • Teto (ceiling) associa rR ao menor zZ com z  r, denotado por r. • 2.3 = 3, 2 = 2, 0.5 = 1, -3.5 = -3 Prof. Anselmo Paiva

38. SequênciasRosen 5th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

39. Sequências S: 2 4 6 8 10 … • Representam listas ordenadas de elementos. • É definida como uma função de um subconjunto de N em um conjunto S. • Usamos a notação an para denotar a imagem do inteiro n • Chamamos an de um termo da sequência. • Subconjunto de N: 1 2 3 4 5 … Prof. Anselmo Paiva

40. Sequências • Usamos a Notação {an} para descrever uma sequência. • É conveniente descrever uma sequência com uma fórmula. • Por exemplo: a sequência do slide anterior {an}, where an = 2n. Prof. Anselmo Paiva

41. 1, 3, 5, 7, 9, … As Fórmulas de Sequências Quais as fórmulas pras seguintes sequências a1, a2, a3, … ? an = 2n - 1 -1, 1, -1, 1, -1, … an = (-1)n 2, 5, 10, 17, 26, … an = n2 + 1 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 … an = 0.25n 3, 9, 27, 81, 243, … an = 3n Prof. Anselmo Paiva

42. Strings • Sequências finitas são denominadas de strings, denotadas por a1a2a3…an. • O comprimento de uma string S é o número de termos que S possui. • A string vazia não contém termos. Possui comprimento zero Prof. Anselmo Paiva

43. A variável j é denominada índice do somatório, indo do seu limite inferior m ao limite superior n. Somatórios O que isto significa? Prof. Anselmo Paiva

44. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Somatórios Como expressar a soma dos primeiros mil termos de uma sequência {an} com an=n2 para n = 1, 2, 3, … ? Escrevemos como Qual o valor de ? Qual o valor de ? Muito trabalho pra calcular isto Prof. Anselmo Paiva

45. Gauss apresentou a seguinte fórmula: Somatórios Quando temos esta fórmula, podemos calcular o valor de qualquer somatório: Prof. Anselmo Paiva

46. Como: Séries Aritméticas ??? Observe que: 1 + 2 + 3 +…+ n/2 + (n/2 + 1) +…+ (n - 2) + (n - 1) + n = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] +…+ [n/2 + (n/2 + 1)] = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) (com n/2 termos) = n(n + 1)/2. Prof. Anselmo Paiva

47. Como : Séries Geométricas ??? Observe que: S = 1 + a + a2 + a3 + … + an aS = a + a2 + a3 + … + an + a(n+1) assim, (aS - S) = (a - 1)S = a(n+1) - 1 Entao, 1 + a + a2 + … + an = (a(n+1) - 1) / (a - 1). E.G.: 1 + 2 + 4 + 8 +… + 1024 = 2047. Prof. Anselmo Paiva

48. Séries Úteis 1. 2. 3. 4. Prof. Anselmo Paiva

49. Somatórios Duplos • Correspondendo a loops aninhados em linguagens de programação: • Exemplo: Prof. Anselmo Paiva