Tema 4 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA

1. Tema 4 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA

2. Sumario Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.

3. Sumario Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM . Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM. Generación de señales moduladas en ángulo. Demodulación de FM. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo. Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.

4. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. Por ejemplo, se puede representar por la expresión: La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

5. Frecuencia Instantánea de una señal Es de interés conocer el valor que toma la frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de tiempo ti. El valor que toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo ti , se conoce como frecuencia instantánea de la función f(t). Veamos dos ejemplos: Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia

6. Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia En la modulación AM la información se coloca en la amplitud de la señal portadora. Esto es un inconveniente a la hora de recuperar la información pues la misma se contamina fácilmente con el ruido que se agrega en la amplitud. Ante este es posible hacer varia la frecuencia de la señal y mantener constante la amplitud, dando origen a la FM.

7. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene: Sea la ecuación: Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.

8. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es: Fase de la señal Consideremos la ecuación: Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

9. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como: El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP

10. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Considere ahora que (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene: Como vimos previamente: Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene: Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)

11. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por: El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala kf

12. Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son:

13. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene: Considérese la ecuación: La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como: Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función

14. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase

15. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FASE. Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

16. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.

17. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

18. Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante. Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

19. La ecuación para Modulación de fase se puede escribir utilizando la notación compleja, de esta manera: Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

20. Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada : Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

21. Considérese, que la señal modulante es: Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Reemplazando por la modulante dada, se tiene: Como: Entonces reemplazando, se tiene: Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

22. Considérese, que la señal modulante es: Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Como: Reemplazando la modulante, tiene: Al resolver la integral se tiene:

23. Ya que el máximo valor de m es: Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal La expresión final es: Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

24. Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por: Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Si consideramos como modulante la señal: entonces:

25. Factorizando, se tiene: Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto: (Ec. 1) Sea, y como Integrando se tiene:

26. Reemplazando en la Ec. 1, se tiene: Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Finalmente: La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM

27. Por naturaleza la FM posee un ancho debanda amplio, lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada. Sin embargo, la excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior. Se han realizado análisis y estudios que permiten reducir el ancho de banda de esta técnica de modulación, logrando salvar esta limitación. Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

28. La ecuación de una señal modulada en frecuencia es: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM (Ec. 2) En forma compleja se puede escribir: También la Ec. 2 puede ser reescrita usando identidades trigonométricas como: (Ec. 3)

29. Al observar la ecuación 3 se evidencia su complejidad para resolverla. Para simplificarla se harán algunas consideraciones. En primer lugar, considérese que los valores de  son pequeños, entonces: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Los valores de f usuales para las consideraciones anteriores, pueden ser tomados como menores a 0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio en la ecuación 3.

30. Así, se tiene que: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM (Ec. 4) La ecuación 4 representa la ecuación para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como NBFM, donde fes el índice de modulación para FM. Señal Portadora Señal Modulante Índice de Modulación En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f

31. Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se tiene: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM (Ec. 5) Consideremos una señal modulada en amplitud: Escrita en forma fasorial, se tiene: (Ec. 6)

32. Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas tomando como referencia el término de cada una. Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

33. Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente: • Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2wm. • En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura. • La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud. Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

34. El desfase se puede determinar a partir del triángulo resultante del diagrama fasorial como: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Angulo de Desfase La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:

35. La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Análisis: Para evitar variaciones en la amplitud de una señal modulada en frecuencia, se debe restringir el valor de .

36. Según el diagrama fasorial b, la magnitud del vector resultante se puede determinar como: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM (Ec. 7) • Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga constante, se deben hacer algunas consideraciones. • Si , como sen2wmt≤1 entonces 2 < 1, que nos dice que los valores de  deben ser menores que uno. • En la práctica < 0,3, es una buena aprox.

37. Con las consideraciones anteriores, se garantiza que la amplitud de una señal modulada en frecuencia sea constante, es decir: Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de modulación debe ser muy pequeño.

38. Considérese una modulante senusoidal: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM (Ec. 7) De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como: (Ec. 8)

39. El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede expandir en una serie exponencial de Fourier, resultando: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM en donde: Si se considera que: (Ec. 9)

40. La solución de la integral de la ecuación 9 se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como , donde n es el orden y  es el argumento. Los valores de se obtienen a partir de las tablas de BESSEL La función de BESSEL de primera clase y enésimo orden se denota como: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

41. Teoría de las Funciones de BESSEL La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. Veamos El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.

42. Friedrich Wilhelm Bessel Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL:

43. Índice de Modulación Representa la Portadora de la señal Modulada Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15 Generación de Señales Moduladas en Angulo Para este índice de modulación la portadora se hace CERO ! A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales

44. Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4 Generación de Señales Moduladas en Angulo

45. Retomando el análisis, la ecuación puede ser reescrita como: y empleándola en la expresión general para FM: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

46. Analizando la expresión: Se puede concluir que el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia por una onda seno, tiene un número de bandas laterales infinito. Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas laterales tienen magnitud significativas y en consecuencia el ancho de banda se hace finito. Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

47. CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Sea la ecuación de una señal modulada en frecuencia: Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada. Esto es: Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

48. CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Los valores de Jn() son despreciables para n > . Entonces el ancho de banda para FM se puede obtener tomando la última banda lateral significativa en n = , esto es: Para una forma de onda general, se emplea la regla de Carlson para determinar el ancho de banda:

49. Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

50. CONSIDERACIÓN PRELIMINAR Según los análisis anteriores, la modulación angular se produce cuando se hace variar el ángulo de fase de una señal portadora de frecuencia wc en dependencia de la amplitud de una modulante. El tipo de modulación obtenida PM o FM depende de que se use la señal modulante directamente o se utilice como modulante la señal después de ser integrada. Generación de Señales Moduladas en Angulo