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Level Set 方法介绍. 王斐 宁波大学 计算机科学技术研究所 g06b08120319@email.nbu.edu.cn. 摘要. Level Set 基本模型 Chunming Li 的模型 我的实验进展 改进想法. Level Set 基本模型. 曲线微分几何 映射 定义了一个平面曲线， 是参数。对每一个 ，我们得到曲线上的一点 正则： 曲率： 隐式曲线 的曲率表达：. Level Set 基本模型. 曲线演化 曲线演化方程：
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Level Set 方法介绍 王斐 宁波大学 计算机科学技术研究所 g06b08120319@email.nbu.edu.cn
摘要 • Level Set 基本模型 • Chunming Li的模型 • 我的实验进展 • 改进想法
Level Set 基本模型 • 曲线微分几何 • 映射 定义了一个平面曲线， 是参数。对每一个 ，我们得到曲线上的一点 • 正则： • 曲率： • 隐式曲线 的曲率表达：
Level Set 基本模型 • 曲线演化 • 曲线演化方程： • 如果只考虑几何形状的变化，曲线的演化只和法向方向的变化有关。 • 隐式曲线 的法向量 • 沿着曲率变化最大方向的变形，最后都变化为曲率为常数的曲线停止，即圆。
Level Set 基本模型 • 距离函数： • 符号距离函数 SDF （signed distance function） • 是整个区域， 是目标区域， 是边界。
Level Set 基本模型 • Level Set • 其基本思想是将随时间演化的平面闭合曲线 隐含地表达为同样随时间演化的三维连续函数曲面 的一个具有相同函数值的同值曲线，通常是 ，称为零水平集，而 称为水平集函数。 • 给定平面上的一条封闭曲线，以曲线为边界，把整个平面划分为两个区域：曲线的外部和内部区域 。用符号函数定义这条曲线：
Level Set 基本模型 • Level Set的几何意义 • 给定一个高维空间在低维空间定义上的接触面，分析和计算其边界在速度V下的运动轨迹。其中速度V是与位置，时间和接触面几何形状有关（如曲率，法向），还有外部作用力。
Level Set 基本模型 • Level Set的几何意义图释
Level Set 基本模型 • 根据零水平集定义： • 对方程求全微分： • 又水平集的定义，沿曲线弧长方向的变化为零，即 • 整理后的方程：
Level Set 基本模型 • 演化示例
Level Set 基本模型 • Level Set的离散化求解
Level Set 基本模型 • Level Set方程的通用格式： • 离散化描述： • 迭代公式：
Level Set 基本模型 • 后向差分： • 前向差分： • 中心差分：
Level Set 基本模型 • 曲率K： • K的迭代公式： • 迎风有限差分格式：
Level Set 基本模型 • 测地线轮廓模型： • 迭代公式：
Level Set 基本模型 • Level Set优点 • 自然地处理拓扑变化； • 演化时保持为函数，数值计算容易实现； • 可以扩展到高维； • Level Set缺点 • 速度函数光滑，水平集函数才能保持一个函数形式。需要重新初始化； • 函数复杂，计算费时。
Level Set 基本模型 • Level Set 改进 • 结合其他模型 • 加入区域信息 • 加入形状先验信息 • 无须重新初始化模型（Chunming Li）
无须重新初始化模型 • 加入能量概念，将LevelSet随时间演化改变为能量的变化: • 且： • 内部能量： • 使水平集保持为一个符号距离函数
无须重新初始化模型 • 外部能量： • 控制边界（零水平集）往目标演化 • 边界长度能量： • 区域能量，控制演化方向，影响速度：
无须重新初始化模型 • g是边界探测算子 • H是海维赛德函数(Heaviside Function)
无须重新初始化模型 • 整理后的方程： • Dirac函数： • 为拉普拉斯算子，用五点有限差分近似
我的实验结果 • 对模型每一项能量，每一个变量具体控制的演化作用尚不是十分清除； • 和Matlab算法的差异，没有保证每个函数的相同性； • 经验参数的影响；
可改进的方案 • 初始化 • 交互式 • 金字塔方式，多网格求精 • 边界探测算子g • F力的重新设计
