5. Méthodologie de l'homogénéisation

1. milieu hétérogène multiphases Représentation Localisationsij,eij= f(Eij,Sij, Lhijkl) VER Milieu Homogène Équivalent Homogénéisation(Lhijkl) Chargement homogène (Eij,Sij) (Eij,Sij) 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.1 Représentation (définition du VER)

2. VER 5.1 Représentation(définition du VER) Hypothèse : VER représente globalement tous les volumes élémentaires • A priori, faux pour les aciers, céramiques, polymères, ... mais pour nous • Quasiment vérifié pour les structures ordonnées (composites à fibres longues,tissus, …) • VER ~> une cellule élémentaire de l’arrangement périodique

3. Utilisation d'outils d'analyse statistiques(moyennes des descriptions fines des positions, orientations, …) ou probabilistes 1/ Choix échelle microscopique + description statistique topologique • Caractéristiques géométriques et distribution spatiale (VE tous différents) • géométrie des phases (ellipsoïdes, sphères,…) • répartition • fraction volumique 2/ Identification mécanique Comportement mécanique des phases Définition du VER  Recherche, étude et description des constituants homogènes mais description complète impossible (sauf cas périodiques) Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène Equivalent

4. milieu hétérogène multiphases Localisationsij,eij= f(Eij,Sij, Lhijkl) Milieu Homogène Équivalent VER Homogénéisation(Lhijkl) Chargement homogène (Eij,Sij) (Eij,Sij) 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.2 Localisation

5. À préciser 5.2 Localisation VER = modèle de matériau hétérogène Analyse mécanique  Problème de calcul de structures (computational mechanics) mais pas complètement défini • Sollicitations • Description statistique (fonctionnelle Y(x,t))

6. M M F F Milieu Homogène Équivalent Sollicitations Sollicitations sur le VER Efforts au point macroscopique correspondant relations de moyennes Il faut revenir à un problème avec Conditions aux Limites classique ? ? ? ?

7. Contraintes homogènes * Déformations homogènes * Résultats démontrés Solution(quand c’est possible) : contraintes ou déformationshomogènes au contour Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière W * pas forcément connu  Imposé On définit

8. d (Shij - sij ) nj l  d  d 0 b<<l x Conditions homogènes au contour :justifiées quand l >> d eij(x),sij(x)

9.  2 1 s1n s1(-n) = -s1n d 1 l Conditions homogènes au contour :Remarques • Contraintes homogènes  déformations homogènes Comportement homogénéisés sil >> d d  l • Pour les milieux périodiques Conditions homogènes au contour • Conditions de déplacement périodiques • Contraintes anti-périodiques • contraintes S.A.

10. Direction de périodicité 2 2 1 1 d d 2 1 1 0 l l Conditions en déformations périodiques : Par exemple, on impose E11 seul :

11. 2 Démarches possibles Raffinement Encadrements et estimations : Conditions de moyenne sur le VER + description statistique Non-unicité de la solution 1/ Hypothèses supplémentaires solution uniquemaissens physique des hypothèses cadre de validité des ESTIMATIONS(modèle) 2/ Similaire aux approches variationnelles champ de contraintes et de déformations admissibles (contraintes S.A., déformations compatibles) Localisationrelier ces ‘ champs d’approche ’ aux grandeurs macroscopiques imposées et paramètres de description Principe : ENCADREMENT (méthodes des bornes) Encadrement optimal

12. Local Histoire du comportement Fonctionnelle spatio-temporelle de - localisation des déformations Ensemble des paramètres de description géométrique et mécanique du VER - concentration des contraintes Déformations (Contraintes) macroscopiques Considérons le problème de localisation résolu complètement :

13. milieu hétérogène multiphases Localisationsij,eij= f(Eij,Sij, Lhijkl) Milieu Homogène Équivalent VER Homogénéisation(Lhijkl) Chargement homogène (Eij,Sij) (Eij,Sij) 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.3 Homogénéisation

14. Loi de comportement locale 5.3 Homogénéisation Détermination du comportement effectif à partir du comportement local relations de localisation relations de moyennes(<>) Comportement du Matériau Homogène Équivalent

15. De manière formelle : pour les contraintes En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante : Soit finalement la loi de comportement équivalente : (qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)

16. De manière formelle : pour les déformations En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante : Soit finalement la loi de comportement équivalente : (qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)

17. Remarques • On rappelle que les fonctionnelles homogénéiséesLH et MHdépendent en toute rigueur du type de conditions au contour considérées, • de plus, rien ne garantit que ces 2 fonctionnellessoient, au contraire des fonctionnelles locales, inverses l’une de l’autre Pour tester ce dernier point, on peut utiliser le Lemme de Hill Ce théorème sera également utilisé dans les estimations des bornes d ’encadrement

18. div(s*)=0 e’= e’(u’) Lemme de Hill(condition de macrohomogénéité de Hill ou condition de Hill-Mandel) Si s*est un champ de contrainte S.A. et e’ un champ de déformation compatible soit en contraintes homogènes au contour soit en déformations homogènes au contour En conditions homogènes au contour et en homogénéisation périodique, on a égalité du travail macroscopique et de la moyenne spatiale du travail microscopique :

19. Homogénéisation Localisation • Application d’un critère local • Actualisation de la représentation locale 5. Méthodologie de l'homogénéisation • 5.4 Remarques et conclusion • L’homogénéisation peut être une étape intermédiaire dans lecalcul de réponses de matériaux : • comportement macroscopique très sensible aux comportements microscopiques (endommagement, rupture, ...). • dans le cadre de grandes transformations s,e VER (Y(x,t)) LH (MH) • Pour la suite : élasticité linéaire et déformations infinitésimales

20. s(x)=Bx[Sh,Y] e(x)=Ax[Eh,Y] VER s(x)= Lx:e(x) e(x)=Mx:s(x) 5.5 Synthèse de la démarche Y(x,t) MH-S LH-E Sh Eh Homogénéisation <e(x)> = E <s(x)> = S Localisation s(x) e(x) Comportement local s(x) e(x)