Lineární algebra pro IT

1. Lineární algebra pro IT Ing. Petr Beremlijski, Ph.D. Katedraaplikované matematiky, FEI petr.beremlijski@vsb.cz, místnost EA 534 (Nová FEI) http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm

2. x1,1 O1=100 S1=100 x1,2 x1,3 O2=170 x2,2 x2,3 S2=300 O3=100 x2,4 x3,1 x3,4 O4=80 S3=50 Aplikace I: dopravní problém Úvodní přednáška LA-IT

3. Aplikace I: dopravní problém Soustava lineárních rovnic: Úvodní přednáška LA-IT

4. 100 O1=100 S1=100 0 0 O2=170 170 100 S2=300 O3=100 30 0 50 O4=80 S3=50 Aplikace I: dopravní problém Úvodní přednáška LA-IT

5. Aplikace I: dopravní problém • Řešitelnost soustavy • soustava nemá řešení (zboží nelze rozvést) • soustava má jediné řešení (zboží lze rozvést jediným způsobem) • soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem – možno dále specifikovat jakým) Maticový zápis soustavy: Úvodní přednáška LA-IT

6. O1=100 S1=100 O2=170 S2=300 O3=100 O4=80 S3=50 Aplikace I: dopravní problém Náklady na přepravu zboží: c1,1=1 c1,2=4 c1,3=2 c2,2=1.5 c2,3=2.5 c3,1=2 c2,4=0.5 c3,4=0.5 Úvodní přednáška LA-IT

7. Aplikace I: dopravní problém Optimalizační úloha: Maticový zápis: Úvodní přednáška LA-IT

8. Aplikace II: vyhledávací nástroje • Knihovny o tisících knih či jiných dokumentů • Manuální indexování pomocí klíčových slov • Boolovské vyhledávání • Internet o miliónech webových stránek a dalších dokumentů • Vyhledávání na základě podobnosti k dotazu • Statisíce klíčových slov • Automatické indexování • Vyhledávací nástroje jsou založeny na základech lineární algebry! Úvodní přednáška LA-IT

9. Aplikace II: seznam receptů • R1: Čočka po orientálsku       • Ingredience: cca 1/4 kg čočky, 2 rajčata, 1 mrkev, 1 větší cibule, kousek celeru (nemusí být), sůl, olej, špetka saturejky, kari podle chuti • R2: Fazole s klobásou       • Ingredience: 300 g bílých fazolí, 2 bobkové listy, 200 g klobásy, 1 velká cibule, 2 lžíce hladké mouky, 1 lžíce mleté papriky, 4 lžíce kečupu, 1 palička česneku, majoránka • R3: Klobásový koláč se špenátem       • Ingredience: 250 g polohrubé mouky, 140 g másla, sůl, 1 cibule, 300 g mraženého špenátu, pepř, muškátový oříšek, 2 lžíce strouhanky, 500 g bílé klobásy v celku, 1 lžíce oleje, 100 g strouhaného sýra (např. goudy), 3 vejce, 6 lžic mléka Úvodní přednáška LA-IT

10. Aplikace II: seznam receptů II • R4: Chilli concarne • Ingredience: 500 g mletého hovězího masa, 200 g červených fazolí, 2 lžíce oleje, 1 cibule, 2 zelené papriky, 500 g rajčat, 2 stroužky česneku, 1 lžíce sladké papriky, 1/2 lžička chilli, 1/2 lžičky oregana, 1/4 lžičky pepře, bobkový list, petželka, sůl • R5: Argentinská čočka       • Ingredience: 350 g čočky, olej, 2-3 velké cibule, 1 klobása, ostrý kečup Hamé, sůl, pepř • R6: Čočka s kuřecím masem a mandlemi       • Ingredience: 200 g čočky, 500 g kuřecích prsíček, 2 cibule, 100 g plátků mandlí, sůl, kari koření, 2 bobkové listy, olej Recepty převzaty z www.recepty.cz Úvodní přednáška LA-IT

11. Aplikace II: klíčová slova • Fazole (Fazolí) • Čočka (Čočky) • Kuřecí (Kuřecího) • Hovězí (Hovězího) • Klobása (Klobásy) • Česnek (Česneku) Je třeba provést indexování K1 se vyskytuje v R2,4 K2 se vyskytuje v R1,5,6 K3 se vyskytuje v R6 K4 se vyskytuje v R4 K5 se vyskytuje v R2,3,5 K6 se vyskytuje v R2,4 Úvodní přednáška LA-IT

12. Aplikace II: matice klíčových slov a dokumentů • Řádky matice reprezentují klíčová slova • Sloupce reprezentují dokumenty • Prvky matice představují počty výskytů klíčových slov v dokumentech • Sloupcové vektory pak představují výskyt klíčových slov v dokumentech Úvodní přednáška LA-IT

13. Aplikace II: dotazy • Vyber „zdravý“ recept, tj. který bude obsahovat fazole, čočku a nebo kuřecí maso • Vektorový zápis: q1=[1,1,1,0,0,0] • Vyber „nezdravý“ leč „chutný“ recept, který obsahuje klobásku a česnek • Vektorový zápis: q2=[0,0,0,0,1,1] • Výběr receptů tak závisí na „blízkosti“ dotazů q1, q2 k jednotlivým sloupcům matice A • popisují výskyty klíčových slov v jednotlivých dokumentech Úvodní přednáška LA-IT

14. Aplikace II: test blízkosti • Vzdálenost bodu dotazu od bodu definovaného sloupcem matice A • Cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Úvodní přednáška LA-IT

15. Aplikace II: výsledek vyhledávání • Test blízkosti: cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Fazole s klobásou Dotaz q1 Dotaz q2 Čočka s kuřecím masem a mandlemi Úvodní přednáška LA-IT

16. G Aplikace III: délka vodiče Určete potřebnou délku vodiče zavěšeného na sloupech vysokého napětí, pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů. L u Úvodní přednáška LA-IT

17. G P P u1 u5 u0 u6 h h h h h h u2 u4 u3 h u0 a0 u1- u0 h a1 u1 u2- u1 Malé deformace: a2 u2 Aplikace III: délka vodiče Linearizace úlohy: Úvodní přednáška LA-IT

18. a0 P0 P u0 -P1 u1 P1 a1 P Aplikace III: délka vodiče G Úvodní přednáška LA-IT

19. Aplikace III: délka vodiče Soustava lineárních rovnic: Au=b Úvodní přednáška LA-IT

20. u1 u5 u0 u6 h h h h h h u2 u4 u3 [0,u0] [h,u1] Aplikace III: délka vodiče Výpočet délky: Norma vektoru: Pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů, potřebujeme 12.0538 metrů vodiče. Úvodní přednáška LA-IT

21. Aplikace IV: složitější úloha At=b Úvodní přednáška LA-IT

22. Aplikace V: ještě složitější úloha Úvodní přednáška LA1

23. Paralelní řešení

24. Paralelní řešení

25. Paralelní řešení

26. Škálovatelné algoritmy V případě paralelních algoritmů je výpočetní náročnost přímoúměrná počtu neznámých Úvodní přednáška LA-IT

27. Současné superpočítače • Tianhe-2 • Intel Xeon E5 • Kylin Linux • 3 120 000 jader • 33.86 PetaFlops • http://www.top500.org National University of DefenseTechnology, Guangzhou,China

28. IT4Innovations – superpočítač v Ostravě http://www.it4i.cz

29. IT4Innovations – superpočítač v Ostravě • Malý klastr – Anselm • zprovozněn v květnu 2013 • http://www.it4i.cz/hardware/ • https://docs.it4i.cz/anselm-cluster-documentation • Velký klastr • předpokládáné uvedení do provozu v průběhu roku 2015 • http://www.it4i.cz/hardware/

30. www.it4innovations.eu www.it4i.eu www.it4innovations.cz www.it4i.cz

31. Obsah předmětu • Operace s vektory a maticemi • vlastnosti těchto operací • Řešení soustav lineárních rovnic • Teorie vektorových prostorů • řešitelnost soustav lineárních rovnic • Lineární zobrazení a transformace • zobecnění soustav lineárních rovnic • Multilineární zobrazení, determinanty • Úvod do spektrální analýzy Úvodní přednáška LA-IT

32. Cíle předmětu • Seznámení se se základy maticového počtu • Zvládnutí principů řešení soustav lineárních rovnic (řešení, teoretické souvislosti) • Porozumění pojmu vektorového prostoru (jeho vlastnosti a použití) • Seznámení se s pojmy, základními vlastnostmi a užitím lineárních a multilineárních zobrazení a problematikou s nimi související • Pochopení základních pojmů spektrálni analýzy • Aplikace Úvodní přednáška LA-IT

33. Organizace výuky Úvodní přednáška LA-IT

34. Hodnocení • Cvičení (max. 30 bodů) • Písemný test 1 (12 bodů), minimálně 3 body je nutno získat • Písemný test 2 (12 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat • 1 písemný test je možno opravit • Zápočtový projekt (6 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat • Aktivní účast na „koncových“ cvičeních (aktivní účastí se rozumí přítomnost na 80% cvičení, očekává se, že student je na cvičení připraven z přednášky a demonstrovaného cvičení, případně samostudiem, a zapojuje se do jeho průběhu, v případě, že student nenaplní toto očekávání, není mu započítána účast) • Pro udělení zápočtu je nutno získat minimálně 10 bodů a splnit podmínku aktivní účasti. Úvodní přednáška LA-IT

35. Hodnocení • Písemná zkouška (max. 70 bodů) • Ukázka zkouškové písemné práce • Celkem (max. 100 bodů) • nevyhověl (0-50 bodů) • dobře (51-65 bodů) • velmi dobře (66-85 bodů) • výborně (86-100 bodů) Úvodní přednáška LA-IT

36. Literatura • Základníliteratura • Z. Dostál, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2000 • Z. Dostál, V. Vondrák, D. Lukáš, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2012 http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra • M. Demlová, B. Pondělíček, Úvod do algebry, ČVUT Praha 1996 • Sylaby přednášek na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm • Doplňková literatura • L.Šindel, Sbírka úloh z algebry, VŠB-TU Ostrava 2006 • B. Budinský, J. Charvát, Matematika I, SNTL Praha 1987 • V. Havel, J. Holenda, Lineární algebra, SNTL/Alfa Praha 1984 • J. Schmidtmayer, Maticovýpočet a jehopoužití v technice, SNTL Praha 1967 • J. Vrbický, D. Šalounová, M. Sedláček, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 1994 • Sylaby cvičení na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm Úvodní přednáška LA-IT