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12.3 行列式按行 ( 列 ) 展开

12.3 行列式按行 ( 列 ) 展开. 一、余子式与代数余子式. 引例 , 考察三阶行列式. 在 n 阶行列式 D 中 , 把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后 , 留下来的 n –1 阶行列式叫做 ( 行列式 D 的关于 ) 元素 a ij 的 余子式 , 记作 M ij . 即. 记 A ij = (–1) i + j M ij , 称 A ij 为元素 a ij 的 代数余子式. 例如. 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.

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12.3 行列式按行 ( 列 ) 展开

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  1. 12.3 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 引例, 考察三阶行列式 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij所在的第 i行和第 j列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即

  2. 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij的代数余子式. 例如

  3. 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式. 引理:如果一个n阶行列式D的第 i行元素除 aij外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij . = aij Aij.

  4. 二、行列式按行(列)展开法则 定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n); D = a1iA1i+ a2iA2i + ··· + aniAni ( i =1, 2, ···, n). 证:

  5. 由引理得: D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n). 引理的结论常用如下表达式: ( i =1, 2, ···, n) 例1:计算行列式 解: 按第一行展开, 得 如果按第二行展开, 得

  6. 例2: 计算行列式 解:D

  7. 例3:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证:用数学归纳法 所以, 当 n=2 时, (1)式成立. 假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立. 对 n阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri –x1ri-1 ( i = n, n–1, ··· , 2, 1 ). 得

  8. 按第一列展开, 并把每列的公因子( xi –x1 )提出, 就 有: n–1阶范德蒙德行列式 则根据归纳假设得证:

  9. 例4:计算行列式 解:

  10. 推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0, i  j ; a1iA1j+ a2iA2j + ··· + aniAnj = 0, i  j . 证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得 把 ajk 换成 aik (k=1, 2, ··· , n ), 当 i  j 时, 可得

  11. 相同 第 i 行 第 j 行 所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0, i  j 同理 a1iA1j+ a2iA2j + ··· + aniAnj = 0, i  j 关于代数余子式的重要性质 其中

  12. 三、小结 1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 2.

  13. 思考题 设 n 阶行列式 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ ··· +A1n . 思考题解答 解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 A11+A12+ ··· +A1n

  14. 三、 克拉默(Cramer)法则 (1) 设线性方程组 若常数项b1, b2, ···, bn不全为零, 则称此方程组为非齐次线性方程组; 若常数项b1, b2, ···, bn全为零, 则称此方程组为齐次线性方程组; 定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 即

  15. 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为 其中Dj是把系数行列式D中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式, 即 证明:用系数行列式D的第 j 列元素的代数余子式A1j, A2j,···, Anj依次乘方程组(1)的n个方程, 得

  16. 在把 n 个方程依次相加, 得 由行列式代数余子式的性质可知, 上式中xj 的系数等于D, 而 xi (i  j) 的系数均等于0, 等式右端为Dj . (2) Dxj=Dj ( j=1, 2, ··· , n) 于是 因此, 当 D0 时, 方程组(2)有唯一解: 由于方程组(2)与方程组(1)等价, 故 也是方程组(1)的唯一解.

  17. 定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组(3) (3) 的系数行列式 D0, 则齐次线性方程组(3)没有非零解. 定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解, 则它的系数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式 D 必为零.

  18. 例1:用克拉默法则解方程组 解:

  19. 所以

  20. 例2:用克拉默法则解方程组 解:

  21. 所以

  22. 例3:问 取何值时, 齐次方程组 有非零解? 解: 由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0, 则 =0, =2或=3时, 齐次方程组有非零解.

  23. 小结 • 用克拉默法则解方程组的两个条件: • (1)方程个数等于未知量个数; • (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导, 并不适用于实际计算.

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