Value at Risk ( VaR )

1. Value at Risk (VaR) Wartość zagrożona ryzykiem Mariusz Mrozek 26 kwiecień, 2009 r. KNMF Kaikei

2. Co to jest zarządzanie ryzykiem? • Jest to system metod i działań zmierzających do obniżenia wpływu ryzyka na funkcjonowanie podmiotu gospodarczego. Szczegółowe poznanie charakteru potencjalnego ryzyka pozwala na wybór czynności minimalizujących jego wpływ i skutki, tzn. stabilizujących zyski i ograniczających straty. • Istotnym elementem procesu zarządzania ryzykiem jest jego pomiar. W tym celu stosuje się różne miary ryzyka. Jedną z najpopularniejszych miar ryzyka jest Value at Risk.

3. Value at Risk - wprowadzenie • Najogólniej jest to miara, która mówi nam jak duże środki należy przeznaczyć na zabezpieczenie danej inwestycji • Dokładniej, uprzedza nas ile możemy maksymalnie stracić w danym przedziale czasowym przy zadanym poziomie ufności • Pojęcie Value at Risk zostało stworzone w 1994 roku przez analityków banku J.P.Morgan • VaR została zarekomendowana bankom przez Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego (tzw. Nowa Umowa Kapitałowa)

4. Definicja dla rozkładu ciągłego • T – horyzont czasowy • X – zmienna losowa, za pomocą której modelujemy stratę z danej inwestycji (po upływie czasu T) • α – poziom ufności, należy do (0,1) • Definicja Jeśli X ma rozkład ciągły oraz dystrybuanta FX jest ściśle rosnąca to VaRα określa się w następujący sposób:

5. Definicja dla rozkładu ciągłego • Niekiedy w definicji zamiast poziomu ufności korzysta się z poziomu tolerancji β = 1 – α. Wtedy możemy zapisać: • Interpretacja: prawdopodobieństwo, że strata z inwestycji na koniec okresu przekroczy wartość VaR jest równe poziomowi tolerancji

6. Definicja w ogólnym przypadku W ogólnym przypadku definiujemy VaRα jako kwantyl dolny. • Definicja Dla dowolnej zmiennej losowej X i dowolnego poziomu ufności α należącego do (0,1)

7. Własności VaR • X ≥ 0 => VaR(X) ≥ 0 • Dodatnia jednorodność: VaR(λX) = λ VaR(X), λ>0 • Niezmienniczość ze względu na przesunięcia: VaR(X+k) = VaR(X) + k, k - l.rzeczywista • Monotoniczność: X1 ≥ X2 => VaR(X1) ≥ VaR(X2)

8. Poziom ufności i horyzont czasowy • Otwartą kwestią pozostaje wybór właściwego poziomu ufności α. • Analitycy J.P.Morgan przyjmują α = 95 % • Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego postuluję przyjęcie α = 99% • Im wyższy poziom ufności tym większa VaR • Horyzont czasowy: • 1 dzień – banki • 10 dni – okres rekomendowany przez Komitet Bazylejski • 1 miesiąc – stosowany przez fundusze inwestycyjne i przedsiębiorstwa

9. Interpretacja graficzna na przykładzie rozkładu normalnego

10. Metody szacowania VaR • Szacowanie Value at Risk jest istotnym problemem praktycznym, który nie doczekał się uniwersalnego rozwiązania. W użyciu stosowane są m.in. metody: • symulacja historyczna • symulacja Monte-Carlo

11. Metody szacowania VaR • Symulacja historyczna: Polega na tym, że w odniesieniu do rozpatrywanego portfela instrumentów finansowych stosuje się stopy zwrotu obliczone na podstawie danych historycznych np. z ostatnich 200-250 dni. Następnie zostaje wygenerowany rozkład statystyczny stóp zwrotu, który umożliwia wyliczenie VaR z definicji.

12. Metody szacowania VaR • Symulacja Monte-Carlo: W symulacji Monte-Carlo przyjmuje się pewien hipotetyczny model, który najlepiej opisuje mechanizm kształtowania się stop zwrotu. Model ten powinien być wcześniej zweryfikowany empirycznie. Następnie generuje się wiele (np. kilka tysięcy) obserwacji stóp zwrotu instrumentów finansowych, otrzymując w ten sposób rozkład, który umożliwi wyliczenie VaR z definicji

13. Zalety VaR • Uniwersalność – jest wykorzystywana do pomiaru zarówno ryzyka rynkowego, jak i kredytowego oraz operacyjnego • Wyraża ryzyko w sposób łatwy do zinterpretowania • Popularna oraz stosowany w praktyce przez banki

14. Wady VaR • Jest skuteczna tylko przy „normalnym” funkcjonowaniu rynku, nie uwzględnia gwałtownych zmian i nie określa jak wysokie będą straty jeśli VaR zostanie przekroczona • Brak podaddytywności (VaR nie jest koherentną miarą ryzyka) • Trudności w dokładnym oszacowaniu, zwłaszcza dla złożonych portfeli

15. Bibliografia • „Modelowanie matematyczne w finansach i ubezpieczeniach” P.Jaworski, J.Micał • Notatki z wykładu „Modele matematyczne w finansach” prowadzonego przez dr Joannę Czarnowską w IM UG • http://www.statsoft.pl/czytelnia/finanse/pdf/kuziak.pdf praca dr Katarzyny Kuziak pt. „Koncepcja wartości zagrożonej VaR”

16. Dziękuje za uwagę Mariusz Mrozek 26 kwiecień, 2009 r. KNMF Kaikei