1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The SchrÖdinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย mechanical states ของระบบซึ่งทฤษฎีนี้เป็นที่ยอมรับและ เข้ามาแทน classical mechanics (Newtonian) Classical Mechaics (before 1900) Classical Physics : Thermodynamics *Classical Mechanics Electrodynamics of Maxwell

Classical Mechanics : based on the laws of motion of Newton “Newtonian mechanics” Stationary object z z + Spring 0 Mass - Equilibrium position of mass 1.1 The Classical Mechanics of the Harmonic Oscillator The harmonic oscillator : model system ซึ่งแทนสสารที่ถูก แขวนโดย spring จาก stationary object รูปที่ 1 A system Represented by a Harmonic Oscillator

- motion of mass จะคิดพิจารณาเฉพาะ z , x และ y direction จะไม่นำมาพิจารณาด้วย - การพิจารณา force ที่เกี่ยวข้องกับ mass นั้น พิจารณาจาก small value ของ z โดย Hooke’s law Fz = -kz k = force constant - = force is aways toward the equilibrium position

Equation of motion: differential eq. ซึ่งสามารถแก้ สมการแล้วให้ค่า z เป็นฟังก์ชันของ t - ต้องอาศัย Newton’s law (2nd law) 1st law : law of inertia 2nd law : law of acceleration * 3rd law : law of action and reaction

Newton’s second law (1.2) หรือ = mass of particle = unit vectors in direction x , y , z = accelleration Eq. of motion of harmonic oscillator : (1.3)

The general solution : = arbitrary constant (1.4) velocity component : (1.5) - สมมติ initial conditions

(1.6) (1.7)  sin(0) = 0 cos(0) = 1  vz(0) = 0 ก็ต่อเมื่อ A = 0 และ B = C solution

รูปที่ 2(a)The position as a function of time (b) The velocity as a function of time - การเคลื่อนที่ (motion) ในลักษณะนี้ เรียกว่า “simple harmonic motion” (speed สูงสุด เมื่อใกล้ origin speed ต่ำสุด เมื่อไกล origin )

Case study : • Harmonic Oscillator – Ground State • Harmonic Oscillator – Excited State

The probability density: โอกาสที่จะพบอนุภาค • ให้ เป็นค่าของ z • Probility of finding the particle between and • = • at time t • Probability density คือ probability per unit length on the z • axis • - ขึ้นกับค่า time (อนุภาคเคลื่อนที่) • ดังนั้น probability density ( f ) ณ เวลาหนึ่งจึงเป็น sharply • spiked function ( รูปที่ 3 ) • - spike จะเปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ (1.6) (1.8)

รูปที่ 3 The probability density for the position of Harmonic oscillator (classical mechanics) - โอกาสที่จะพบอนุภาคเฉลี่ย (3(b)) จะมีค่าสูงสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างช้า ๆ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างเร็ว

Periodof the oscillator ( ) : ช่วงเวลาที่อนุภาคเคลื่อนที่จาก • ตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งที่จะเริ่มการซ้ำของตำแหน่ง (1.9) - sin  และ cos  ถูกเปลี่ยนโดย 2 หรือ

 (1.10) • The frequencyof the oscillator () : ส่วนกลับของ • period หรือเป็นจำนวนของการ oscillations ต่อวินาที - frequency จะสูงขึ้นถ้า force const. มีค่ามากขึ้น (spring มีความแข็ง) และ จะมีค่าน้อยลงถ้ามวลของอนุภาคมาก

- พันธะเคมีมีลักษณะคล้าย spring เช่น typical vibrational frequencies of molecule

ระบบที่ 2 ของ Harmonic oscillator : สถานะถูกกำหนด โดย coordinates และ ความเร็ว ของอนุภาค m1 Stationary object Spring z2 z Mass m2 + Equilibrium position of mass 0 - z1 รูปที่ 4 A second system of Harmonic oscillator (two particles connected by spring)

- กำหนดตำแหน่งของสองอนุภาคโดยใช้ relative z coordinate zrel = z2– z1 - force on particle 2 F2 = -k( zrel– zrel,0 ) (1.11) equilibrium length of spring - zrelcoordinate จะเคลื่อนที่โดยการสมมติโดย force เดียวกันกับ (1.11) - อนุภาคสมมติ (fictitious particle) จะมีมวลเท่ากับ หรือ reduced mass ของสองอนุภาค  (1.12)

- พิจารณาระบบทั้งสองแบบจะเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกันโดยระบบ ที่ 2 จะแทน m ด้วย  และแทน z ด้วย zrel - mechanical state ของระบบ ใน classical mech. จะพิจารณา จาก coordinates และ velocity mechanical quantity - Kinetic energy (K) - Potential en. (V) (1.13) (1.14) (1.15)

รูปที่ 5 Mechanical variables of a Harmonic oscillator

The total energy ( E ) : (1.16) (1.17) - total energy เป็นค่าคงที่ ( สำหรับทุกค่าของ t ) เป็นตัวอย่าง ของ conservation of energy - zt เป็นค่าคงที่ หรือ magnitude ของ z ณ จุด turning point - จะมี negative turning point และ positive turning point ณ จุดที่มี potential en. สูงสุด (kinetic en. ต่ำสุดหรือหมดไป) oscillator จะเริ่มเคลื่อนไปยังตำแหน่ง z=0

1.2 Properties of Wave in Classical Mechanics - ปรากฏการณ์ของการเกิดคลื่น (wave) ใน classical physics มีหลายแบบ เช่น - เสียง (sound) - แสง (light) - คลื่นบนผิวน้ำ - การสั่นของเส้นลวด oscillaling displacement Period : เวลาในการเกิด 1 oscillation Frequency : จำนวน oscillation ที่เกิดในหนึ่งหน่วยเวลา รูปภาพ

2. Principal simple types of wave traveling wave standing wave รูปที่ 6 Traveling and standing waives

สมบัติที่สำคัญประการหนึ่งของคลื่น คือ การเกิด interference • โดยเกิดคลื่น 2 ชนิด ณ ตำแหน่งเดียวกัน • constructive interference • destructive interference รูปที่ 7 The superposition of two waves of different wavelengths

Case study : • Complex Waveforms • Complex Waveforms – Euler Identity • Uncertainty and Wave Packets

Wave in a Flexible String • แบบจำลอง flexible string เป็นการพิจารณาระบบของ a real • vibrating string : มีสมบัติ • Uniform ( น้ำหนักต่อหน่วยความยาว =  ) • มี Tension force (T) ดึงอยู่ที่ปลายเส้น • equilibrium position ของเส้น string มี segment เป็นเส้นตรง • string มีความยืดหยุ่นที่สมบูรณ์แบบ รูปที่ 8

วาง string บนระนาบ x-z เมื่อเกิดการสั่น ยังคงอยู่บน x-z plane • พิจารณา point ใด ๆ บน string • การเคลื่อนที่ • ความเร็ว (1.18) (1.19) assume string เคลื่อนที่น้อยมาก  ความยาว และ T จึงกล่าวได้ว่าคงที่ Solution of the wave equation สมการ classical wave eq. คือ Coordinates velocity (1.20) ให้

- สมการ (1.20) เป็น partial differential eq. แก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t ซึ่งเป็นการอธิบาย displacement ของ point บน string ในแต่ละเวลา - แก้สมการโดยอาศัย วิธี separation of variables ขั้นที่ 1 : assume trial solution (1.21) factor ขึ้นกับ x หรือ t ขั้นที่ 2: แทนค่า (1.21) ลงใน (1.20) (1.22)

แล้วหารด้วย (1.23) ( แต่ละข้างจึงเหลือตัวแปรเดียว ) ขั้นที่ 3 : x และ t เป็น independent variable กำหนดให้เทอมขวาหรือซ้าย คงที่ จากนั้นแปรค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง ขั้นที่ 4 : แก้สมการโดย (1.24) (1.25)

(1.26) (1.27) คูณ (1.24) ด้วย (1.25) ด้วย • จะคล้ายคลึงกับ (1.2) ใน Eq.of motion ของ Harmonic • oscillator • - เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t KL (1.28) (1.29) โดยที่ B , D , F และ G เป็น arbitrary const.

- สมการ (1.28) และ (1.29) เป็นไปตาม (1.20) เรียกว่า • wave function • * อาศัย Boundary conditionเพื่อหาค่าของ B , D , F และ G • displacement (z) จะหมดค่าไปเมื่อ x=0 และ x=L • x=0 ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ B=0 {sin0=0 , cos0=1} • x=L ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ sin=0 {=n} (1.30) (1.31) • ต่อไปพิจารณาค่า F และ G

พิจารณา • กรณีที่ 1 : string เคลื่อนที่ผ่านจุดสมดุล (z=0 สำหรับทุกค่าของx) • ณ เวลา t=0  F=0 กรณีที่ 2 : ค่า maximum displacement = A (G) ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า (1.32) เรียก z(x,t) ว่า wave function และ A เป็นค่า amplitude ของคลื่น

เมื่อได้ฟังก์ชัน displacement แล้วย่อมหาฟังก์ชันความเร็วได้เช่นกัน (1.33) • จาก (1.33) จะเห็นว่าแต่ละ point บน string ( ไม่รวมจุดที่เกิด • node ) มีการเคลื่อนที่แบบ Harmonic motion • สมการ (1.32) แสดง displacement ของจุดต่าง ๆ บน string • ซึ่งมีลักษณะเป็นคลื่นสำหรับค่า n ต่าง ๆ

รูปที่ 9 The ends of the string are fixed and between nodes, the string oscillates

Wave length : ความยาวที่ sine function เปลี่ยนช่วงละ 2 - สำหรับ string ที่มีความยาวเท่ากับ L ค่า wave length () คือ หรือ (1.34) Period () : ช่วงเวลาที่ string เคลื่อนที่กลับมายังจุดเริ่มต้น ( เปลี่ยนช่วงละ 2) (1.35)

v frequency(v) : จำนวน oscillation ต่อหน่วยเวลาหรือส่วนกลับของ period - ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของ string ซึ่งมีลักษณะต่อเนื่อง เช่น เครื่องดนตรีแบบเครื่องสาย จะส่งความถี่ ด้วยจำนวนของ harmonic ต่อเวลาอย่างต่อเนื่อง แสดงโดย สมการคณิตศาสตร์ (1.36)

Standing wave • เมื่อ n=1 เรียกว่า fundamental or 1st harmonic • n=2 เรียกว่า first overtone or 2nd harmonic • สมการ (1.36) คือ ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) หรือ • ผลรวมของผลคูณระหว่าง function กับค่า coefficients และ • เรียกสมการ (1.36) ว่า Fourior sine series • ค่า a1 , a2 , … , an เรียกว่า Fourior constant

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation