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Análise de algoritmos

Análise de algoritmos. RECURSIVIDADE UNISUL Ciência da Computação Prof. Maria Inés Castiñeira, Dra. Recursividade. um procedimento recursivo é aquele que contém uma ou mais chamadas a si mesmo a todo procedimento recursivo corresponde um não recursivo

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  1. Análise de algoritmos • RECURSIVIDADE • UNISUL • Ciência da Computação • Prof. Maria Inés Castiñeira, Dra.

  2. Recursividade • um procedimento recursivo é aquele que contém uma ou mais chamadas a si mesmo • a todo procedimento recursivo corresponde um não recursivo • os programas recursivos são mais concisos • aparente relação direta com a prova por indução matemática

  3. Recursividade • Cálculo de fatorial x! = se x <=0 1 senão x * (x-1)! • Implementação não recursiva int fatorial (int N)‏ { int result = 1; for (i=1; i<=N; i++)‏ result = result * i; return (result); }

  4. Recursividade • Implementação recursiva int fatorial (int N)‏ { if (N<= 1)‏ return(1); else return( N * fatorial(N-1)); }

  5. Recursividade • X= fatorial (4)‏ • return( 4* fatorial(3) )‏ • return( 3* fatorial(2) )‏ • return( 2* fatorial(1) )‏ • return( 1 )‏

  6. Análise de Recursividade • relação de recorrência – a função é definida em termos dela própria, recursivamente • substituição repetida • int fatorial (int N)‏ • { • if (N<= 1)‏ • return(1); • else • return( N * fatorial(N-1)); • }

  7. Análise de Recursividade T(n)‏ • tempo de processar o algoritmo para entrada n em função do número de passos ou operações dominantes Fatorial T(n) = 1, se n = 0 = T(n-1) +1, se n > 0 mas quanto é T(n-1)?

  8. T(n) - Fatorial = (T(n-1)) + 1 = (T(n-2) + 1) + 1 = T(n-2) + 2 = (T(n-3) + 1) + 2 = T(n-3) + 3 ..... • forma geral, T(n) = T(n-k) + k, 1  k  n • fazendo n = k, reduzimos a T(n) = n

  9. A notação  • Para procedimentos recursivos pode-se aplicar a seguinte técnica • determina-se o número total de chamadas ao procedimento recursivo • calcula-se a complexidade de execução de uma única chamada • complexidade número de chamadas  complexidade de uma chamada

  10. T(n) - Fatorial = (T(n-1)) + 1 = (T(n-2) + 1) + 1 = T(n-2) + 2 = (T(n-3) + 1) + 2 = T(n-3) + 3 ..... forma geral, T(n) = T(n-k) + k, 1  k  n fazendo n = k, reduzimos a T(n) = n  Fatorial = O(n) 10

  11. Relação de recorrência Como proceder para derivar uma relação de recorrência para a análise do tempo de execução de um algoritmo: • Determinar qual o tamanho n do problema. • Verificar que valor de n é usado como base da recursão. Em geral é um valor único (n=1, por exemplo), mas pode ser valores múltiplos. Vamos considerar esse valor como n0. • Determinar T(n0). Pode-se usar uma constante c, mas, em muitos, casos um número específico é necessário 11

  12. Relação de recorrência • T(n) é definido como uma soma de várias ocorrências de T(m) (chamadas recursivas), mais a soma de outras instruções efetuadas. Em geral, as chamadas recursivas estão relacionadas com subproblemas do mesmo tamanho f(n), definindo um termo a.T(f(n)) na relação de recorrência. • A relação de recorrência é definida por: – T(n) = c, se n = n0 – T(n) = a.T(f(n)) + g(n), caso contrário. 12

  13. Derivando relação de recorrência MergeSort(A, n) if n ≤ 1 return A return merge(MergeSort(A1, n/2), MergeSort(A2, n/2)) Relação de Recorrência do MergeSort T(1) = c T(n) = 2.T(n/2) + d.n 13

  14. Resolvendo relação de recorrência • Resolver uma relação de recorrência nem sempre é fácil. • Resolvendo uma relação de recorrência, determina-se o tempo de execução do algoritmo recursivo correspondente. • Relação de recorrência: T(n) = T(n1) + T(n2) +...+ T(na) + f(n) • É mais fácil quando temos a subproblemas de mesmo tamanho que é uma fração de n (por exemplo, n/b): – T(n) = a.T(n/b) + f(n) • Como resolver: – Método do desdobramento – Método master 14

  15. Resolvendo a relação de recorrência: Desdobramento Método do desdobramento Consiste em: – Usar (algumas poucas) substituições repetidamente até encontrar um padrão. – Escrever uma fórmula em termos de n e o número de substituições i. – Escolher i de tal forma que todas as referências a T() sejam referências ao caso base. – Resolver a fórmula. 15

  16. Resolvendo a relação de recorrência: Desdobramento Exemplo: divisão da pizza 16

  17. Divisão da pizza 17

  18. Divisão da pizza Corte – Fatia 1 – 2 2 – 4 3 – 7 4 – 11 5 – 16 6 – 22 7 – 29 ....... O n-ésimo cortecria n novos pedaços. Logo o número total de pedaços obtidos com n cortes é chamado P(n): P(1) = 2 P(n) = P(n-1) + n, para n>=2 18

  19. Divisão da pizza • Solução para o problema da pizza: – T(1) = 2 – T(n) = T(n – 1) + n , para n≥2 • Desdobrando a relação de recorrência: T(n) = T(n-1) + n T(n) = T(n-2) + (n-1) + n T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n ... T(n) = T(n-i) + (n-i+1) + ... + (n-1) + n 19

  20. Divisão da pizza – T(1) = 2 – T(n) = T(n – 1) + n , para n≥2 T(n) = T(n-i) + (n-i+1) + ... + (n-1) + n • Caso base (T(1)) alcançado quando n-i=1, logo i=n-1 • T(n) = 2 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n • T(n) = 2 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n • T(n) = 1+1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n • T(n) = 1+1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n • T(n) = 1+ Somatória (em i de1até n) • T(n) = 1 + n.(n+1)/2 • Logo, T(n) = O(n^2) 20

  21. Resolvendo relação de recorrência • Resolvendo uma relação de recorrência, determina-se o tempo de execução do algoritmo recursivo correspondente. • Como resolver: 1- Método do desdobramento (pizza) 2- Método master 21

  22. Método MASTER: relação de recorrência •Teorema que resolve quase todas as recorrências. • T(n) da forma a.T(n/b) + f(n), a,b > 1 • Casos: 1. Se f(n) ∈ O(n^log ba - ε), para algum ε > 0, temos que: • T(n) ∈ Θ(n^log ba). 2. Se f(n) ∈ O(n^log b a), temos que: • T(n) ∈ Θ(n^log b a. log n). 3. Se f(n) ∈ O(n^log b a + ε), para algum ε > 0 e se a.f(n/b)≤c.f(n) para algum c > 0 e n suficientemente grande, temos que: • T(n) ∈ Θ(f(n)). 22

  23. Exemplo: mergesort MergeSort(A, n) if n ≤ 1 return A return merge(MergeSort(A1, n/2), MergeSort(A2, n/2)) Relação de Recorrência do MergeSort T(1) = c T(n) = 2.T(n/2) + d.n 23

  24. Método MASTER: exemplo mergesort • T(n) da forma a.T(n/b) + f(n), a,b > 1 • MergeSort: – T(n) = 2.T(n/2) + n – a = b = 2 – f(n) = n • log b a = 1. Cai no caso 2. • Logo, T(n) = Θ(n.log n) 24

  25. Método MASTER: exemplo 2 • T(n) da forma a.T(n/b) + f(n), a,b > 1 • Problema com Relação: T(n) = 9.T(n/3) + n – a = 9, b = 3 – f(n) = n • log b a = 2. Se ε = 1, Cai no caso 1. • Logo, T(n) = Θ(n^2). 25

  26. Bibliografia • Cormen, Leiserson e Rivest, ALGORITMOS: teoria e prática. Rio de Janeiro: Campus, 2002. • FIGUEREDO, Jorge. Material didático de Técnicas e análise de algoritmos. UFCG. Disponível em www.dsc.ufcg.edu.br/~abrantes/

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