Vergleich zwischen numerischer, exakter und Näherungslösung - Quasistationarität

1. Technische Universität Darmstadt Vergleich zwischen numerischer, exakter und Näherungslösung - Quasistationarität Vortrag von Maryia Shakun

2. Inhalt • Einleitung • exakte Lösung eines Differentialgleichungssystems • Näherungslösung des Differentialgleichungssystems • Beispiel I • Beispiel II • Anwendung der numerischen Verfahren Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

3. Einleitung • die meisten chemischen Prozessen bestehen aus einer Vielzahl von Elementarreaktionen • exakte analytische Lösung des entstehenden Differentialgleichungssystems aus den Zeitgesetzten ist sehr aufwendig oder gar nicht möglich • in diesem Fall werden entweder numerische oder die Näherungsverfahren angewendet • der Vergleich dieser Verfahren wird hierbei auf dem Beispiel der Reaktionen mit Zwischenprodukten betrachtet Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

4. Exakte analytische Lösung • betrachtet wird eine Folgereaktion aus zwei Elementarreaktionen jeweils erster Ordnung: • Zeitgesetze: inhomogene DGL Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

5. Exakte analytische Lösung • Lösung: Methode der Variation der Konstanten; Randbedingungen: [S1]t=0=[S1]0; [S2]t=0=0; [S3]t=0=0. Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

6. Exakte analytische Lösung • für den Fall: k23 > k12 (k12 / k23 = 0.1) • S2 – kurzzeitiges reaktives Spezies Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

7. Näherungslösung – Quasistationarität Annahme: die Konzentration des reaktiven Spezies S2 ist während der gesamten Reaktion bis auf die Induktionsphase klein und nahezu konstant ! Konzentrationen werden aus [S1]0 berechnet ! starke Vereinfachung der Geschwindigkeits-gesetze Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

8. Näherungslösung – Quasistationarität k23 > k12 ! (k12 / k23=0.1) • Die Lösung entspricht bis auf die anfängliche Überhöhung der [S2] der exakten analytischen Lösung Näherungslösung exakte Lösung Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

9. Beispiel I • betrachtet wird der komplizierte Reaktionsmechanis-mus – der Zerfall von C3H8 • CH3., C2H5., C3H7.sind reaktive Zwischenstufen • d[RZ]/dt = 0 Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

10. Beispiel II: SN1-Reaktionen zwei Fälle: 1) k2[Y-] << k-1[X] 2) k2[Y-] >> k-1[X] Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

11. Grenzen der Näherungsverfahren • die Näherungslösungen wie Quasistationarität sind nur bei bestimmten Reaktionsbedingungen (T und Zusammensetzung) eine gute Lösung • zur Lösung der DG wurde angenommen, dass k12 konzentrationsunabhängig ist, was in der Realität nicht der Fall ist • schneller chemischer Prozess (~10-6s) ist nicht immer schnell in der Realität, weil dessen Kopplung mit den physikalischen Prozessen (~10-3s) stattfindet Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

12. Anwendung der numerischen Verfahren in diesen Fällen werden numerische Verfahren angewendet: z.B. ILDM (intrinsish low dimensional manifolds) – Methode FGM (flamelet generated manifolds) – Methode. Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07

13. Literatur • M. Wright, Chemical Kinetics, John Wiley & Sons, 2004. • Freyland, Kappes, Mitschrieb zu Physikalische Chemie I: Thermodynamik und Kinetik, 2001/2002. • P. W. Atkins, Physikalische Chemie, 2.Auflage, Wiley-VCH Verlag, Weinheim (1996). • R. Bender, Modelierung der Kopplung von chemischen Reaktion und turbulener Mischung, Diss. Universität Stuttgart, 2003. Vortrag von Maryia Shakun, 15.06.07