1 / 40

Function

Function. 030513122 - Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka. บทนำ. รูปแบบของฟังก์ชันที่น่าจะเคยเห็นกันมาบ้างแล้ว เช่น f ( x,y ) = x+y f (x) = x f (x) = sin(x) แต่ในวิชานี้จะเรียนเกี่ยวกับการนนิยาม domains และ ranges

mortimer-coulon
Download Presentation

Function

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Function 030513122 - Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

  2. บทนำ • รูปแบบของฟังก์ชันที่น่าจะเคยเห็นกันมาบ้างแล้ว เช่น • f(x,y) = x+y • f(x) = x • f(x) = sin(x) • แต่ในวิชานี้จะเรียนเกี่ยวกับการนนิยาม domains และranges • เพราะฉะนั้นเราอาจจะไม่จำเป็นต้องเขียนฟังก์ชันในอยู่ในรูปแบบสวยหรูเหมือนข้างต้น

  3. คำนิยามของ Function • คำนิยาม: ฟังก์ชันf • จากset A ไปset B • คือการกำหนดค่าของสมาชิก B เพียงค่าเฉพาะค่าเดียว (exactly one)ไปยังแต่ละสมาชิกของ A • เราสามารถเขียนf(a)=b ถ้าb เป็นค่าเฉพาะที่เป็นสมาชิกของ B ที่ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันของค่า a เมื่อ a  A. • รูปแบบสัญลักษณ์:f: A  Bอ่านได้ว่า ‘f maps A to B’ • ข้อควรจำ • สมาชิกทุกตัวของA จะมีการ mapping เพียงค่าเดียว ( singlemapping ) • แต่ละสมาชิกในB อาจจะถูก map โดยสมาชิกใน A หลายตัว หรือไม่โดนจับคู่เลยก็ได้

  4. แบบฝึกหัด: การกำหนดฟังก์ชัน • กำหนดให้ A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4} จงหาว่า f, g, h ข้อใดเป็นฟังก์ชัน • f= {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} • g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)} • h = {(1,4), (2,2), (3,0)}

  5. คำศัพท์ที่ควรรู้ • กำหนดf: A  B และf(a)=b แล้วเราจะใช้คำศัพท์ได้ดังนี้: • A เรียกว่าเป็นdomainของf, สามารถเขียนย่อได้ว่าdom(f) • B เรียกว่าเป็นco-domainของf • b เป็นimageของa • a เป็นpreimage (antecedent) ของb • rangeของf เป็น set ของทุก image ของสมาชิกใน A, ย่อว่าrng(f)

  6. Function: Visualization Range A function, f: A  B Preimage Image, f(a)=b f a b B A Domain Co-Domain

  7. แบบฝึกหัด • กำหนด f: Z  R โดยที่ f(x) = x2 • จงหา dom(f) และ co-domain(f) • จงหา image ของ -3 • จงหา pre-image ของ 3 • จงหา pre-image ของ 4 • จงหา rng(f)

  8. คำนิยามเพิ่มเติม (1) • คำนิยาม: กำหนดให้f1และf2เป็น 2 ฟังก์ชันจาก set A to R,แล้วf1+f2และf1f2ก็จะเป็นฟังก์ชันจากA ไปยังto R เช่นกัน • (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) • f1f2(x)= f1(x)f2(x) • ตัวอย่าง:กำหนดf1(x)=x4+2x2+1 and f2(x)=2-x2 • (f1+f2)(x) = x4+2x2+1+2-x2 = x4+x2+3 • f1f2(x) = (x4+2x2+1)(2-x2)= -x6+3x2+2

  9. คำนิยามเพิ่มเติม (2) • คำนิยาม: กำหนดf: A B และS A. Image ของset Sจะเป็นsubset ของB ที่ประกอบด้วยทุกค่า image ของ S. ดังนั้นเราสามารถเขียนย่อimage ของS ด้วยf(S), โดยที่ f(S)={ f(s) |  s  S } • ข้อควรระวัง: image ของS จะเป็น set ไม่ใช่เป็นสมาชิก • ตัวอย่าง: • A = {a1,a2,a3,a4,a5}, B = {b1,b2,b3,b4,b5} • f={(a1,b2), (a2,b3), (a3,b3), (a4,b1), (a5,b4)}, S={a1,a3} • จงเขียนแผนผังของf • จงหา Domain, co-domain และ range ของf? • จงหา Image ของS, f(S)?

  10. คำนิยามเพิ่มเติม (3) • คำนิยาม: ฟังก์ชันfที่ซึ่งdomain และ co-domain เป็นsubsets of ของset จำนวนจริง (R) จะเรียกว่า • strictly increasing ถ้าf(x)<f(y) เมื่อx<y และx และy อยู่ในdomain ของf • strictly decreasing ถ้าf(x)>f(y) เมื่อx<y และx และy อยู่ในdomain ของf • ฟังก์ชันที่มีการเพิ่ม-ลดค่า จะเรียกว่าmonotonic

  11. ประเภทของฟังก์ชัน: Injection • คำนิยาม: ฟังก์ชันfจะถูกเรียกว่าone-to-oneหรือinjective(หรือinjection) ถ้า  x,yในdomain ของf, f(x)=f(y)  x=y • ภาษาบ้านๆ คือ injection หมายถึงสมาชิกใน range จะมี preimageได้มากสุดแค่ 1 ค่า • ตัวอย่าง : • ฟังก์ชัน f จาก{a, b, c, d} ไปยัง{1, 2, 3, 4, 5} โดยที่f(a) = 4, f(b) = 5,f(c) = 1, and f(d) = 3 เป็น ฟังก์ชันแบบone-to-one. • ฟังก์ชัน f จาก Zไปยัง Zโดยที่ f(x) = x2 เป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one หรือไม่ ?

  12. ประเภทของฟังก์ชัน: Surjection • คำนิยาม: ฟังก์ชันf: AB จะถูกเรียกว่าontoหรือsurjective(หรือsurjection) ถ้า bB, aA with f(a)=b • ความหมายง่ายๆ คือ surjection หมายถึงทุกๆ สมาชิกใน co-domain จะถูก maดังนั้น range จะมีค่าเท่ากับ co-domain • ตัวอย่าง: จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น surjection หรือไม่ • กำหนดf เป็นฟังก์ชันจาก{a, b, c, d} ไป{1, 2, 3} โดยf(a) = 3, f(b) = 2, f(c) = 1, และf(d) = 3 • ฟังก์ชัน f จาก Zไปยัง Zโดยที่ f(x) = x2 • ฟังก์ชัน f จาก Zไปยัง Zโดยที่ f(x) = x+ 1

  13. ประเภทของฟังก์ชัน: Bijection • คำนิยาม: ฟังก์ชันfจะเป็นbijection, ถ้า f เป็นทั้งฟังก์ชัน injection และ surjection • ฟังก์ชัน bijectionมีความสำคัญเนื่องจากจะเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาฟังก์ชัน inverse ได้ • ตัวอย่าง: ให้f เป็นฟังก์ชันจาก {a, b, c, d} ไป{1, 2, 3, 4} โดยf(a) = 4, f(b) = 2, f(c) = 1และ f(d) = 3. จงหาว่าf เป็นฟังก์ชันแบบ bijection หรือไม่? • ตรวจสอบว่าเป็น injection หรือไม่ จะเป็นได้ว่าไม่มีค่าไหนใด domain ที่ map ไปยังค่าใน co-domain ซ้ำกัน ดังนั้น f เป็น injection • ตรวจสอบว่าเป็น surjection โดยจะเห็นได้ว่า สมาชิกทุกตัวใด co-domainถูก map ทั้งหมด (range = co-domain) ดังนั้น f เป็น surjection • ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันแบบ bijection

  14. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (1) • f: A  B จากรูปข้างต้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่? เพราะอะไร? A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4

  15. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (2) A B • f: A  B จากภาพข้างต้น จงหาว่า • f เป็นฟังก์ชันประเภท injection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท surjection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท bijectionหรือไม่? เพราะอะไร? a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4

  16. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (3) • f: A  B จากภาพข้างต้น จงหาว่า • f เป็นฟังก์ชันประเภท injection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท surjection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท bijectionหรือไม่? เพราะอะไร? A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 b4

  17. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (4) A B • f: A  B จากภาพข้างต้น จงหาว่า • f เป็นฟังก์ชันประเภท injection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท surjection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท bijectionหรือไม่? เพราะอะไร? a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4

  18. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (5) A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 • f: A  B จากภาพข้างต้น จงหาว่า • f เป็นฟังก์ชันประเภท injection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท surjection หรือไม่? เพราะอะไร? • f เป็นฟังก์ชันประเภท bijection หรือไม่? เพราะอะไร?

  19. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (6) • กำหนดf:ZZ โดยf(x)=2x-3 • จงหา domain, co-domainและrange ของf? • fเป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ onto หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ bijectionหรือไม่? • กำหนดf:NNโดยf(x)=2x-3 • จงหา domain, co-domain และ range ของf? • fเป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ onto หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ bijectionหรือไม่?

  20. มาทำแบบฝึกหัดด้วยกัน (7) • กำหนดf:ZZ โดยf(x) = x2 - 5x + 5 • fเป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ onto หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ bijectionหรือไม่? • กำหนดf:ZZ โดย f(x) = f(x) = 2x2 + 7x • fเป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ onto หรือไม่? • fเป็นฟังก์ชันแบบ bijectionหรือไม่?

  21. Inverse Functions (1) • คำนิยาม: กำหนดf:AB เป็นฟังก์ชันแบบbijection, ฟังก์ชันinverseของ fคือฟังก์ชันที่กำหนดค่าของสมาชิกbBไปยังaAที่ไม่ซ้ำกันใน f(a)=b • ฟังก์ชัน inverse เขียนย่อด้วยf-1 • เมื่อfเป็นฟังก์ชันแบบbijection, ฟังก์ชัน inverse คือ f(a)=b  f-1(b)=a

  22. Inverse Functions (2) • ทำไมต้องเป็นฟังก์ชันแบบbijectiveถึงจะมีฟังก์ชัน inverse? • พิจารณาถ้าf ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ injection ซึ่งหมายความว่าบางสมาชิกbB ใน co-domain จะมี pre-image มากกว่า 1 ค่า เช่น a1และ a2ดังนั้นทำให้ไม่สามารถมีฟังก์ชัน inverse ได้เพราะไม่ทราบว่าf-1(b) จะเท่ากับ a1หรือ a2 • พิจารณาถ้า f ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ surjection ซึ่งหมายความว่าบางสมาชิก bB ไม่มี pre-image aAทำให้ไม่สามารถหาค่าของf-1(b) ได้

  23. Inverse Functions: Representation A function and its inverse f(a) a b f -1(b) B A Domain Co-Domain

  24. Inverse Functions: ตัวอย่างที่1 • กำหนดf:RR โดย f(x) = 2x– 3 • จงหาf-1? • ต้องมั่นใจก่อนว่าfเป็นฟังก์ชันแบบbijection. • หา inverse ด้วยวิธีการแทนที่ • f(x) = y ดังนั้น f-1(y)=x • เมื่อy=2x-3, ก็สามารถค่าหาได้ว่าx= (y+3)/2 • ดังนั้นf-1(y)= (y+3)/2

  25. Inverse Functions: ตัวอย่างที่2 • กำหนดf(x)=x2. จงหาf-1? • กำหนดให้ domain กับ co-domain คือf:RR • เป็นฟังก์ชันแบบbijection หรือไม่? • ไม่เพราะ เช่น f(-2) = f(2) = 4 • ถ้ากำหนด f: A B ที่ A={xR|x0} และ B={yR| y0} • เป็นฟังก์ชันแบบ bijectionหรือไม่ ?

  26. Inverse Functions: ตัวอย่างที่2(ต่อ) • เพื่อจะหาฟังก์ชันinverse, กำหนด • f-1(y)=x • y=x2 • แก้สมการหาค่า x, จะได้ว่าx=y • แต่เนื่องจากdom(f) กำหนดไว้ว่าสำหรับค่าลบเท่านั้น และrng(f) จะมีค่าบวกเท่านั้นดังนั้น x ต้องมีค่าลบ ซึ่งก็คือ f-1(y)= -y • จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ domains และ co-domains มีความสำคัญมากกับฟังก์ชัน

  27. Inverse Functions: ตัวอย่างที่3 • กำหนดf(x)=2x • domain/codomain ของฟังก์ชันควรจะเป็นยังไง เพื่อให้ฟังก์ชันเป็น bijection? • ฟังก์ชัน inverse คืออะไร? • เฉลยคำตอบแรกให้ : ฟังก์ชันควรเป็นf:RR+ • ถ้าเพิ่ม0 ใน codomain จะเกิดอะไรขึ้น? • ถ้าเปลี่ยน domain หรือ co-domain เป็น Zจะเกิดอะไรขึ้น?

  28. Function Composition (1) • ค่าของฟังก์ชันหนึ่งสามารถจะใช้เป็น input ของอีกฟังก์ชันได้ • คำนิยาม: กำหนดg:AB และf:B C. ฟังก์ชัน compositionของf และg คือ (fg) (x)=f(g(x)) • fgอ่านว่า‘f circle g’ หรือ‘f composed with g’ หรือ‘f following g’, หรือ‘f of g’

  29. Function Composition (2) • เนื่องจาก(fg)(x)=f(g(x)), ฟังก์ชัน compositionfgสามารถกำหนดได้ก็ต่อเมื่อ range ของgเป็นsubset ในdomain ของf fg is defined  rng(g)  dom(f) • ลำดับของฟังก์ชันมีความหมาย: โดยจะทำจากภายในสุดก่อน • ดังนั้นหมายความว่าfg ไม่เหมือนกับg f

  30. Composition: Graphical Representation The composition of two functions (f g)(a) rng(g) f(g(a)) g(a) a f(g(a)) g(a) g(a) domain(g) co-domain(g) domain(f)

  31. Composition: Graphical Representation The composition of two functions (f g)(a) f(g(a)) g(a) a g(a) f(g(a)) C B A

  32. Composition: ตัวอย่างที่1 • กำหนดf, gเป็น 2 ฟังก์ชันบนRR และนิยามไว้ดังนี้ f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 + 1 • จงหาfg และgf • ก่อนที่จะหาค่าจะต้องพิจารณาก่อนว่าสามารถหาได้หรือไม่ • fเป็นbijective, ดังนั้นdom(f)=rng(f)= codomain(f)= R • gมี dom(g)= Rแต่rng(g)={xR| x1} R+ • เนื่องจากrng(g)={xR| x1} R+  dom(f) =R, fg จึงสามารถหาค่าได้ • เนื่องจากrng(f)= R  dom(g) =R , gf ก็สามารถหาได้

  33. Composition: ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ) • จากโจทย์ f(x) = 2x – 3 และ g(x) = x2 + 1 • (fg)(x) = f(g(x)) = f(x2+1) = 2(x2+1)-3 = 2x2 - 1 • (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x-3) = (2x-3)2 +1 = 4x2 - 12x + 10

  34. ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชัน • การเท่ากันของฟังก์ชัน กำหนดฟังก์ชัน f และ g จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ • dom(f) = dom(g) •  a dom(f) (f(a) = g(a)) • ฟังก์ชัน composition ไม่commutative (fg  gf), แต่ associative (fg) h = f(g h)

  35. ฟังก์ชันที่สำคัญ: Identity • คำนิยาม: ฟังก์ชันidentityบนset A คือฟังก์ชัน : AA กำหนดด้วย(a)=a สำหรับทุกค่า aA. • คุณสมบัติของฟังก์ชัน identity: • (a) = (ff-1)(a) = (f-1f)(a) • (f )(a) = (  f)(a) = f(a)

  36. Inverses and Identity • ฟังก์ชันidentity และการcomposition สามารถทำให้เรากำหนดคุณลักษณะของฟังก์ชันinversesได้อีกหนึ่งรูปแบบ • Theorem: ฟังก์ชันf: AB และg: BA จะมีinversesก็ต่อเมื่อ (gf)= A and (fg) =B โดยที่A และ B เป็นฟังก์ชันของ sets A และB. นั่นคือ, aA, bB ( (g(f(a)) = a)  (f(g(b)) = b) )

  37. ฟังก์ชันที่สำคัญ: Absolute Value • คำนิยาม: ฟังก์ชันabsolute valueย่อด้วยx เป็นฟังก์ชัน f ที่f: R{y R | y  0}. โดยค่าของฟังก์ชันนิยามดังนี้ x ถ้าx  0 x = -x ถ้าx < 0

  38. ฟังก์ชันที่สำคัญ: Floor & Ceiling y • คำนิยาม: ฟังก์ชัน floorเขียนย่อด้วยx, เป็นฟังก์ชันRZค่าที่ได้คือค่าของจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x 3 3 2 2 1 1 x x -2 -1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -2 -1 -5 -4 -3 -5 -4 -3 -1 -1 • คำนิยาม: ฟังก์ชัน ceiling เขียนย่อด้วยx, เป็นฟังก์ชันRZ ค่าที่ได้คือค่าของจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ x -2 -2 -3 -3

  39. แบบฝึกหัดทำส่ง (1) • กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน f: Z Zจงหาว่าฟังก์ชันด้านล่างเป็นฟังก์ชันแบบ one-to-one, onto, และ bijectionหรือไม่ • f(n) = n − 1 • f(n) = n2 + 1 • f(n) = n3 • f(n) =n/2

  40. แบบฝึกหัดทำส่ง (2) • จงหา f ◦ g และg ◦ f เมื่อ • f(x) = x2 + 1 • g(x) =x + 2 • โดยทั้ง 2 ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันจาก R ไป R • กำหนดf(x) = x2/3 จงหา f(S) เมื่อ • S ={−2,−1, 0, 1, 2, 3}. • S ={0, 1, 2, 3, 4, 5}. • S ={1, 5, 7, 11}. • S ={2, 6, 10, 14}.

More Related