Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

1. Entradas, Saídas e Análise de DadosRegressão Linear Jorge Cruz DI/FCT/UNL Programação para as Ciências Experimentais 1º Semestre 2005/2006 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

2. Regressão Linear : Um Exemplo Exemplo • Um dado produto é fabricado numa linha de produção por lotes. Os lotes são encomendados pelos clientes e têm um número variável de exemplares do produto, de acordo com a ordem do cliente. • A empresa produtora está interessada em desenvolver um modelo de produção, de forma a poder prever • Qual o tempo que demora cada lote a ser produzido • Quais os lotes que são produzidos em mais ou menos tempo que o esperado, de forma a poderem ser analisados os factores que facilitam ou dificultam o fabrico. • Para fazer esse estudo a empresa detém um histórico da produção de vários lotes no passado. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

3. Regressão Linear : Um Exemplo • O modelo desenvolvido tem em conta que • Antes de se começar a produzir o produto é necessário gastar um dado tempo (t0: tempo de setup) para preparar um conjunto de recursos (ex: máquinas e instalações). • Uma vez estabelecida essa preparação o número de peças produzidas é basicamente proporcional ao tempo, demorando um tempo t1 a fabricar cada peça. • Assim parece apropriado um modelo do tipo, em que o tempo T necessário para se produzirem P peças é dado por: T = t1 P + t0 • O problema consiste pois em determinar os valores de t0 e t1 a partir dos dados históricos. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

4. Análise de Dados – Regressão Linear • Este problema é apenas um exemplo de aplicação da técnica de análise de dados, denominada, regressão linear, que na sua forma geral se pode descrever por: • Regressão Linear: Dado um conjunto de dados, xi e yi verificar se eles estão numa relação linear Y = m X +b • O problema tem dois subproblemas: • Determinar os valores de m e b mais apropriados aos valores dos vários pares de valores <xi,yi>. • Avaliar se é razoável assumir a relação linear acima, ou seja, se os pares de valores <xi,yi> a “suportam” (isto é, se existe uma boa correlação linear entre X e Y). Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

5. y y x x X e Y têm uma forte correlação linear X e Y têm uma fraca correlação linear Análise de Dados – Regressão Linear Os valores de m (inclinação da recta) e de b (intersecção da recta com o eixo Y) são idênticos nos dois casos • Podemos ilustrar esta técnica com dois exemplos gráficos Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

6. Determinação de m e de b • O tratamento matemático para a determinação dos valores de m e b é relativamente simples e consiste em determinar os valores de m e b que minimizem o erro entre os resultados esperados e os resultados experimentais. • Para cada ponto <xi,yi> o erro “experimental” é dado por ei = yi – (m xi + b) O erro E que se pretende minimizar é o erro quadrático médio, E = Σ ei2 • Assim sendo o problema reduz-se a determinar os valores de m e b que minimizam o erro E. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

7. F • m • F • b = 0 e = 0 Determinação de m e de b • O mínimo de uma função em relação a uma variável ocorre quando a derivada dessa função em ordem a essa variável é nula. Assim sendo há que obter os zeros da derivada de E em relação a m e a b. • Nota 1: Assume-se uma função contínua e continuamente derivável, caso contrário o mínimo pode não ocorrer no zero da derivada. • Nota 2: A função E tem duas variáveis, m e b. A análise em Rn justifica que o mínimo deve corresponder ao zero das duas derivadas. • Nota 3: Como o mínimo de E = F coincide com o mínimo de E2 = F, pode minimizar-se F = E2 = Σei2 • Os valores de m e b que minimizam o erro são assim determinados como aqueles que verificam Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

8. F • b • F • m = 0 Σ – 2 (yi – m xi – b) = 0 Σ (yi – m xi – b) = 0 Σ (yi – m xi) – n b= 0 Σ (yi – m xi) n • Por outro lado, = 0 = 0 b = Σ – 2 xi (yi – m xi – b) = 0 Σ xi (yi – m xi – b) = 0 Σ (xi yi – m xi2 – b xi ) = 0 • Σ (yi – m xi – b)2 • m • Σ (yi – m xi – b)2 • b Determinação de m e de b • Ora = 0 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

9. Σ (yi – m xi) n b = n Σ xi yi – Σ xiΣ yi n Σ xi2 – (Σ xi)2 Determinação de m e de b Σ (xi yi – m xi2 – b xi ) = 0 permite-nos obter o valor de m: • Usando agora o valor de na fórmula Σ (xi yi – m xi2 – 1/n xiΣ (yi – m xi)) = 0 Σ (n xi yi – n m xi2 ) – Σ xiΣ (yi – m xi) = 0 n Σ xi yi – m n Σ xi2 – Σ xiΣ yi + m Σ xi Σ xi = 0 m [n Σ xi2 – (Σ xi)2] = n Σ xi yi – Σ xiΣ yi ... obtendo-se assim m = Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

10. Σ (yi – m xi) n b = m = n Σ xi yi – Σ xiΣ yi n Σ xi2 – (Σ xi)2 Determinação de m e de b • Assim, dados vectores X e Y, com n valores de xi e yi os valores de m e de b podem ser obtidos através das fórmulas • Em Octave, estas fórmulas podem calcular-se através do seguinte conjunto de equações Sx = sum(X); Sy = sum(Y); Sxx = sum(X.*X); Sxy = sum(X.*Y); m = (n * Sxy – Sx*Sy) / (n*Sxx – Sx^2) b = (Sy – m * Sx) / n Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

11. r = n Σ xi yi – Σ xiΣ yi [n Σ xi2 – (Σ xi)2] [n Σ yi2 – (Σ yi)2] Correlação entre X e Y • Para medir a qualidade da relação linear entre X e Y pode usar-se o coeficiente de correlação r. • Este coeficiente (cuja derivação exige um maior conhecimento de estatística) varia entre 1 (correlação perfeita) e 0 (correlação nula). • O seu valor em OCTAVE pode ser obtido através das equações anteriores e ainda de: Syy = sum(Y.*Y); r = (n * Sxy – Sx*Sy) / sqrt ((n*Sxx – Sx^2)* (n*Syy – Sy^2) Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

12. Armazenamento de Dados • Quando a quantidade de dados é grande, não é razoável ou mesmo possível introduzi-los “manualmente” num programa. • Tipicamente esses dados são armazenados em ficheiros que têm de ser lidos pelos programas que os tratam. • As funções básicas de manutenção de ficheiros (criação, alteração e destruição, localização, acesso ao seu conteúdo, etc.) são definidas no sistema de ficheiros (file system) , componente do sistema operativo (Operating System - Windows, Linux, MacOS, ...). • Todas as linguagens de programação têm acesso a essas funções básicas (primitivas), implementadas através de chamadas ao sistema, mas que são disponibilizadas ao nível da linguagem através de instruções próprias. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

13. Armazenamento de Dados • Existe uma grande variedade de formas nessas instruções mas algumas características são razoavelmente gerais: • Antes de se escrever ou ler num ficheiro, este tem de ser aberto num modo apropriado (leitura, escrita, leitura/escrita,...). • Na abertura de um ficheiro, este é associado a um “canal” com um identificador (tipicamente um número) único. Todos os acessos ao ficheiro referem esse valor e não o nome com que o ficheiro é conhecido no sistema de ficheiros. • Os acessos de leitura e escrita de dados dos ficheiros dependem da forma como os dados são codificados. Estes podem ser armazenados como texto ou numa forma codificada que optimiza o espaço. • Após todos os acessos pretendidos terem sido executados, o ficheiro deve ser fechado. • Como estas operações podem ser muito variadas, vamos centrar-nos nos acessos a ficheiros texto em OCTAVE. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

14. Entrada de Dados • Após a abertura de um ficheiro texto, ele pode ser lido de duas formas básicas: • Leitura carácter a carácter, sendo tarefa do programador interpretar as sequências de caracteres como números, palavras, etc... • Leitura de acordo com determinados padrões (templates) em que existem primitivas da linguagem que interpretam directamente os caracteres para o tipo de dados pretendido. • Por exemplo, assumamos que um ficheiro tem a sequência de caracteres “ 23 45.2”. Neste caso podemos • ler os 11 caracteres e tendo em atenção os espaços interpretar esses caracteres como dois números (um inteiro e outro decimal). • Indicar como padrão de leitura um inteiro seguido de um decimal que são retornados em variáveis indicadas. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

15. Saída de Dados • O armazenamento de dados num ficheiro segue passos semelhantes. A abertura de um ficheiro em modo escrita, cria um ficheiro, que pode ser escrito de duas formas básicas: • Escrita carácter a carácter, sendo tarefa do programador criar as sequências adequadas de caracteres para representar números, palavras, etc... • Escrita de acordo com determinados padrões (templates) disponibilizados por primitivas da linguagem. • Por exemplo, para se escreverem os dados 23 e 45.2 num ficheiro ( “ 23 45.2”), pode-se • escrever os 11 caracteres sequencialmente, isto é, ‘’,‘ ’,‘2’,’3’,‘ ’,‘ ’,‘4’,‘5’,‘.’,’2’,‘ ’ • indicar como padrão de escrita um inteiro (com 4 dígitos, seguido de um espaço, seguido de um decimal com 5 casas, incluindo uma casa decimal, seguido de um espaço. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

16. Objectivos: • Estabelecer uma relação linear T = t1 P + t0 ; Exemplo de Regressão Linear • Assumamos pois um ficheiro em duas colunas, em que • A primeira coluna representa o número de peças de cada lote (Pi) • A segunda coluna, o número de horas necessárias para produzir esse lote (Ti) 188 606.39 40 161.35 145 396.18 ......... 61 196.93 139 357.33 • Escrever um ficheiro em 3 colunas em que: • As duas primeiras colunas são como antes • A 3ª coluna, representa a diferença entre o tempo estimado e o tempo gasto efectivamente . 188 606.39 19.51 40 161.35 19.55 145 396.18 -61.39 ............. 61 196.93 -8.03 139 357.33 -82.19 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

17. Entrada de Dados • A instrução fopen abre o ficheiro com o nome “linear.txt”, em modo de leitura (“r” - read), e atribui-lhe um número de canal ‘fid’, usado posteriormente. • A instrução fclose fecha o canal com número ‘fid. [fid,msg] = fopen("linear.txt", "r"); i = 0; X = []; Y = []; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”); while !feof(fid) i = i + 1; X(i) = xi; Y(i) = yi; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”); endwhile; n=i; fclose(fid); 188 606.39 40 161.35 145 396.18 ... 113 445.69 88 248.63 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

18. Entrada de Dados • A instrução [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”) permite ler dados • do canal de entrada (1º argumento - fid) • de acordo com um padrão (template - ,"%i%f") • como na linguagem C (3º argumento – “C”) • os dados efectivamente lidos são colocados nas variáveis xi e yi • o seu número é colocado na variável count. • Neste caso, são lidos 2 números do canal de entrada. O primeiro é um inteiro ("%i") e o segundo é decimal ("%f"). [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”); xi = 188 yi = 606.39 count = 2 188 606.39 40 161.35 145 396.18 ... 113 445.69 88 248.63 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

19. Entrada de Dados • Quando não há mais dados para ler, a instrução [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”) retorna xi e yi vazios (xi = yi = []) e count = 0. • Normalmente existe uma função “end of file” para indicar se a última leitura já foi feita após o fim do ficheiro. Em Octave essa função é expressa por feof(fid). [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”) F = feof(fid). count = 2, xi = 88, yi = 248.63, F = 0 [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",2) F = feof(fid). count = 0, xi = [], yi = [], F = 1 188 606.39 40 161.35 145 396.18 ... 113 445.69 88 248.63 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

20. Entrada de Dados • A instrução fscanf pode poisser usada no ciclo abaixo, que instancia os vectores X e Y. i = 0; X = []; Y = []; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”); while !feof(fid) i = i + 1; X(i) = xi; Y(i) = yi; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",”C”); endwhile; n = i; • Notas: • A chamada de fscanf é feita antes do ciclo. • A condição de entrada no ciclo é !feof • A variável n guarda o número de pontos X e Y lidos. Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

21. Tratamento dos Dados • Uma vez obtidos os vectores X e Y com n pontos, os parâmetros m, b e r da regressão linear podem ser recalculados, bem como os erros (valores observados e os valores esperados). sx = sum(X); sy = sum(Y); sxy = sum(X.*Y); sxx = sum(X.*X); syy = sum(Y.*Y); m = (n*sxy-sx*sy)/(n*sxx-sx^2); b = (sy-m*sx)/n; r = (n*sxy-sx*sy)/sqrt((n*sxx-sx^2)*(n*syy-sy^2)); E = zeros(1,n); for i = 1:n E(i) = Y(i) - (m * X(i) + b); endfor; . Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

22. Saída dos Dados • As instruções fopen e fclose são semelhantes, mas com modo de escrita (“w” - write). • A instrução fprintf escreve no canal de saída com identificador fid os 3 valores indicados com formatos: • Inteiro com 5 dígitos (1º dado – X(i)) • Decimal, com 7 casas, das quais duas decimais (2º/3º dado – Y(i) e E(i)) • Separados por espaços (no template) e com mudança de linha (“\n”) [fid,msg] = fopen("linear_out.txt", "w"); for i = 1:n fprintf(fid,"%5i %7.2f %7.2f\n", X(i),Y(i),E(i)); endfor; fclose(fid); Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear

23. Visualização dos Dados • Ax e Ay , e portanto As, definem os limites dos eixos dos X e Y (na realidade P – nº de peças e T – tempo de fabrico). • Os vários plots destinam-se aos valores X e Y (na forma de pontos – formato “@”, a recta de regressão (Y2 tem os dois pontos limites) . Ax = [0,1.1*max(X)]; Ay = [0,1.1*max(Y)]; As = [Ax,Ay]; Y2 = [m*min(Ax)+b, m*max(Ax)+b]; clearplot; hold on; axis(As); plot(X,Y,'@33'); plot(Ax,Y2,'2'); Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear