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RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória

RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória. PROF. WALTER SOUSA. Análise Combinatória A análise combinatória preocupa-se com o estudo do número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória

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Presentation Transcript

  1. RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória PROF. WALTER SOUSA

  2. Análise Combinatória A análise combinatória preocupa-se com o estudo do número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento. A partir de um conjunto A com n elementos, estuda-se as possibilidades de formação de agrupamentos diferentes, com p elementos escolhidos entre as n possibilidades. Arranjos, Permutações e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares.

  3. FATORIAL (!) Dado um número natural n>1, definimos fatorial de n, representado por n!, (leia fatorial de n) como sendo o produto de 1 até n. Forma: Exemplos:

  4. OBSERVAÇÕES a) 1! = 1 b) Exemplos: c) 0! = 1 demonstração

  5. Exemplo Calcule Outra forma

  6. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM Princípio multiplicativo (e): Regra do produto Se um evento ocorre em etapas, independentes e sucessiva, o número de possibilidades para o evento é igual ao produto das possibilidades das etapas que compõe o acontecimento. Total: P1, P2, P3, ....,Pn são as possibilidades das etapas.

  7. EXEMPLO 1 Se uma pessoa dispõe de três calças e duas blusas, de quanto modos distintos uma pessoa poderá escolher uma calça e um blusa, para ir a uma festa?

  8. Solução : árvore de possibilidades TOTAL = 6 possibilidades B1 C1B1 C1 B2 C1B2 B1 B1 C2B1 Escolha de calça e blusa C2 B2 C2B2 B1 C3B1 C3 C3B2 B2

  9. EXEMPLO 1 Solução: Quadro de possibilidades das etapas. C B 3 2 Total: 3 x 2 = 6 possibilidades

  10. EXEMPLO 2 Uma moeda é lançada 03 vezes. Qual é o número de resultados possíveis?

  11. EXEMPLO 2 São três etapas: lançar a moeda a primeira vez, a segunda vez e pela terceira vez. Cada etapa são 2 possibilidades: cara ou coroa 2 2 2 Total: 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades

  12. EXEMPLO 3 Há oito finalistas em um prova de natação, sendo 3 deles brasileiros. Responda: Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares? Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que não haja brasileiro medalhista? o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que pelo menos um brasileiro seja medalhista?

  13. EXEMPLO 3 a) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 8 possibilidades 2⁰ colocado: 7 restantes 3⁰ colocado: 6 restantes 1⁰ 2⁰ 3⁰ 8 7 6 Total: 8 x 7 x 6 = 336 possibilidades

  14. EXEMPLO 3 b) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 5 possibilidades (apenas estrangeiros) 2⁰ colocado: 4 restantes 3⁰ colocado: 3 restantes 1⁰ 2⁰ 3⁰ 5 4 3 Total: 5 x 4 x 3 = 60 possibilidades

  15. EXEMPLO 3 c) Pelo menos um brasileiro medalhista: 1 , 2 ou 3 Negação: nenhum brasileiro medalhista: 60 casos. 3 3 6 60 Total: 336 - 60 = 276 possibilidades

  16. EXEMPLO 4 Quantas placas de veículos, com três letras e quatro números, podem ser formadas no sistema atual de emplacamento?

  17. EXEMPLO 4 RESOLUÇÃO São três etapas para as letras do alfabeto: A, B, C, ... , Z (26 letras possíveis para cada etapa) São quatro etapas para os números: 0, 1, 2, ..., 9. (9 algarismos do sistema decimal para cada etapa) L LL N NNN 26 26 26 10 10 10 10 Total = 26x26x26x10x10x10x10 = 175.760.000 placas

  18. EXEMPLO 5 (CESPE/ANAC) Julgue: O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.

  19. EXEMPLO 5 RESOLUÇÃO São três etapas: Origem, Escala e Destino 1ª Origem: 3 possibilidades 2ª Escala: 4 possibilidades 3ª Destino: 7 possibilidades 1ª 2ª 3ª 3 4 7 Total: 3 x 4 x 7 = 84 possibilidades item CERTO (84 é múltiplo de 12)

  20. EXEMPLO 6 (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650

  21. EXEMPLO 6 RESOLUÇÃO a) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 30 possibilidades 2⁰ colocado: 29 restantes 3⁰ colocado: 28 restantes 1⁰ 2⁰ 3⁰ 30 29 28 Total: 30 x 29 x 28 = 24.360 possibilidades

  22. EXEMPLO 7 (CESPE/BB-2009) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24.

  23. EXEMPLO 7 item (1) Equipes A, B, C, D e E O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 5 possibilidades 2⁰ colocado: 4 restantes 3⁰ colocado: 3 restantes 5 4 3 Total: 5x4x3 = 60 item: ERRADO

  24. EXEMPLO 7 item (2) (2) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 1 possibilidade (equipe A) 2⁰ colocado: 4 restantes 3⁰ colocado: 3 restantes 1 4 3 Total: 1x4x3 = 12 item: ERRADO

  25. EXEMPLO 7 item (3) (3) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 4 possibilidadeS (não equipe A) 2⁰ colocado: 3 restantes 3⁰ colocado: 2 restantes 4 3 2 Total: 4x3x2 = 24 item: CERTO

  26. EXEMPLO 8 (CESPE/ANAC) Julgue: Considere a seguinte situação hipotética. O logotipo de uma empresa aérea é constituído por 4 listras diagonais, ainda sem cores definidas. Para essa definição, a companhia aérea deseja pintá-lo sobre um avião virtual usando 5 cores diferentes, de modo que as listras adjacentes não tenham a mesma cor. Nessa situação hipotética, o número de maneiras distintas de realizar tal procedimento será superior a 300.

  27. EXEMPLO 8 - RESOLUÇÃO Há cinco cores disponíveis: supor A, B, C, D e E. Há 4 etapas Restrição: listras consecutivas de cores diferentes. 5 4 4 4 Total: 5 x 4 x 4 x 4 = 320 Item: CERTO

  28. EXEMPLO 9 (CESPE/ANAC)Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400.

  29. EXEMPLO 9 – RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: Origem e destino em A. (ABCBA; ABCA; ACBA; ACA) A-----B B -----C C-----B B-----A 6 3 3 6 = 6x3x3x6 = 324 A-----B B-----C C-----A 6 3 2 = 6 x 3 x 2 = 36

  30. EXEMPLO 9 – CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: origem e destino em A. A-----C C -----B B-----A 2 3 6 = 2 x 3 x 6 = 36 A-----C C-----A 2 2 = 2 x 2 = 4 Item CERTO Total: 324 + 36 + 36 + 4 = 400

  31. EXEMPLO 10 (CESGRANRIO/PETROBRAS ) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura. As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

  32. EXEMPLO 10 Resolução Há 8 cores diferentes. primeira e a última contas devem ser da mesma cor (1ª = 5ª); a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor (2ª = 4ª); duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes. 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 8 7 7 1 1 = 8 x 7 x 7 = 392

  33. EXEMPLO 11 (ESAF/MF) Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a a) 720. b) 480. c) 610. d) 360. e) 540.

  34. EXEMPLO 11 Resolução Sala 1: homem = C, D, E ou F 1 2 3 4 5 6 4 5 4 3 2 1 Total: 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480 a) 720. b) 480. c) 610. d) 360. e) 540.

  35. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM 2) Princípio aditivo (ou) Se um evento A pode ocorrer de m modos distintos e um evento B pode ocorrer de n modos distintos e se não for possível a realização dos dois eventos em conjunto, então o número de possibilidades de ocorrência do evento A ou do evento B é a soma das possibilidades de A com as de B (m + n). Total: m + n

  36. EXEMPLO 12 Um casal está planejando uma viagem para um determinado destino. Existe a possibilidade de o casal escolher o transporte de por ônibus, por trem ou avião. Se existirem 3 rodovias, 1 ferrovia e 4 companhias aéreas que levem ao mesmo destino, então há quantas maneiras disponíveis para a viagem?

  37. EXEMPLO 12 RESOLUÇÃO Rodovias: 3 Ferrovia : 1 Aéreas: 4 Total: 3 + 1 + 4 = 8 maneiras disponíveis.

  38. PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM AGRUPAMENTOS SEM REPETIÇÕES 1) ARRANJOS SIMPLES São agrupamentos sem repetição de elementos, em que cada grupo difere do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos no grupo. Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples de taxa p, a todo agrupamento de p elementos distintos, dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos no grupo. ARRANJO : ORDEM DE ESCOLHA É IMPORTANTE. (ao trocarmos a ordem, encontramos uma nova solução)

  39. PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 1) ARRANJOS SIMPLES Escolher p elementos distintos (sem repetição) entre n possibilidades, em que a ordem de escolha é importante, ou seja, se trocarmos a ordem de escolha dos elementos, encontraremos uma nova solução para a questão. Forma: leia: Arranjo de n p a p.

  40. EXEMPLO 13 a) Calcule

  41. EXEMPLO 14 Em um tribunal há 7 desembargadores, dos quais deve-se escolher 3 deles os cargos de presidente, vice-presidente e corregedor da justiça. De quantas formas distintas poderão ser escolhidos?

  42. EXEMPLO 14 - Resolução Supor escolhidos os desembargadores {A, B, C}, sendo A o presidente, B o vice e C o corregedor. Invertendo a ordem no grupo {C, B, A} gera uma nova solução (C presidente, B vice e A corregedor). A ordem é importante: caso de arranjo! Escolher 3 desembargadores entre 7: formas distintas.

  43. PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 1) ARRANJOS SIMPLES – CÁLCULO PRÁTICO, SEM FÓRMULA O arranjo arranjo de n p a p possui p fatores multiplicados a partir de n. Exemplos a) b)

  44. PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 2) PERMUTAÇÃO SIMPLES A permutação simples é um caso particular do arranjo simples, em que todos os n elementos do conjunto devem ser escolhidos . O número total de agrupamentos é dado por

  45. EXEMPLO 15 De quantos modos distintos podemos organizar 5 pessoas em uma fila?

  46. EXEMPLO 15 - Resolução

  47. EXEMPLO 16 Quantos anagramas podem ser formados a partir da permutação das letras da palavra PROVA?

  48. EXEMPLO 16 - Resolução Anagramas: Palavras com ou sem significado na linguagem, obtidas pela permutação das letras de uma palavra qualquer. Palavra: PROVA = 5 letras. Total =

  49. EXEMPLO 17 Quantos anagramas da palavra PROVA começam com a letra P?

  50. EXEMPLO 17 - Resolução Começando com P, restam 4 letras. Total = P + 4 letras Veja quadro de etapas P + 4 letras restantes 1 4 3 2 1 = 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Total: 24

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