Další typy dopravních problémů

1. Další typy dopravních problémů

2. Přiřazovací problém • Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m) • Čtvercová matice sazeb • Přiřazení 1:1 • Silně degenerovaná řešení • Maďarská metoda

3. Příklad Navrhněte plán rozvozu aut do garáží tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. V tabulce jsou vzdálenosti mezi auty a jednotlivými garážemi v kilometrech.

4. Maďarská metoda 1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního prvku 2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry - nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé nuly 3) Je-li počet krycích čar menší než m => sekundární redukce: - vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků - toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí - 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny - 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme Zpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven m

5. Okružní dopravní problém • Problém pošťáka, problém obchodního cestujícího • Dána síť míst, která je potřeba projít tak, že • do každého místa se jde právě jednou • skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh) • Minimalizuje se délka trasy • Přibližné řešení • Metoda nejbližšího souseda • Vogelova aproximační metoda

6. Příklad Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:

7. Metoda nejbližšího souseda • Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu • Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) • Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa • Prověřit všechna místa jako výchozí

8. Vogelova aproximační metoda • Podobná jako v JDÚ • Výpočet diferencí v každé řadě • Do řešení se zařazuje přednostně nejvýhodnější trasa z řady s maximální diferencí • Pozor na předčasné uzavírání okruhu

9. MODELY TEORIE GRAFŮ

10. Obsah • Graf - základní pojmy • Základy grafových algoritmů • Základní modely

11. Graf • G = ( V, E ) • V je množina vrcholů (uzlů) grafu • E je množina hran grafu

12. Graf - základní pojmy • sousednost vrcholů - incidence vrcholu s hranou • souvislý graf • orientovaný graf • cesta a kružnice • strom a síť • ohodnocený graf

13. Základy grafových algoritmů • zobrazení grafů • prohledávání grafu do hloubky • prohledávání grafu do šířky • topologické číslování vrcholů orientovaného grafu

14. Prohledávání grafu do šířky • v každém kroku všechny další hrany do ještě nenavštívených uzlů

15. Prohledávání grafu do hloubky • v každém kroku jedna hrana do ještě nenavštíveného uzlu

16. 4 2 5 3 Topologické číslování vrcholů orientovaného grafu • jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, pak platí pro každou hranu (i,j) že i < j 1

17. Základní modely • Nejlevnější kostra • Nejkratší cesta • Maximální tok v síti

18. Nejlevnější kostra • minimální délky větví síťového propojení počítačů • kostra: souvislý graf s minimálním počtem hran • princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, aby netvořily kružnici

19. Příklad – zapojení el. sítě Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je na následujícím obrázku:

20. Příklad – zapojení el. sítě Matice vzdáleností mezi komponentami v metrech:

21. j i k Nejkratší cesta • nejkratší cesta mezi místem A a B • maximální délka navazujících činností • princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k) (kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu k přes uzel j)

22. Nejkratší cesta v grafu • Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy • Síť cest • Některé cesty nemusí existovat • Postup řešení • Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního • Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli • Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa

23. Příklad – nejkratší cesta Najděte nejkratší cestu z místa A do místa H:

24. Maximální tok v síti • proputnost produktovodů • Ford Fulkersonova věta maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu

25. Příklad Jaké maximální množství plynu lze pustit do následující sítě? Kapacity hran jsou dány v m3.

26. Projektové plánování

27. Projektové řízení "Plánování organizování a řízení úkolů a jejich zdrojů v rámci uceleného projektu za respektování časových, zdrojových a nákladových omezení" - obvykle s cílem dosažení maximálního ekonomického efektu) • Dva typy pohledů • Manažerský (Co je reálné) • Systémově analytický (Co je teoreticky možné) • Ad a) Personalistika, teorie organizace • Především lidské zdroje (motivace, odpovědnost) • Důraz na realizaci projektu • Ad b) Operační výzkum, systémová analýza • Především exaktní realizace (analýza rezerv, optimalizace využití zdrojů, minimalizace nákladů • Důraz na projektovou osnovu

28. Uplatnění postupů projektového řízení ANO Jedinečné projekty s jasně daným počátkem a koncem (stavebnictví, marketing) Typové projekty s jasně daným počátkem a koncem (výrobní linky, sériová výroba) NE Kontinuální procesy, procesy s velkým podílem operativního řízení (služby, zásobování)

29. Projekt a jeho komponenty Definice projektu „Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle" Činnost např. : Kopání základů domu, Cesta Praha - Brno, Pracovní směna, ale i Zahájení projektu, Odpočinek Zdroj (Resource) Faktor zabezpečující činnost, v průběhu projektu se využívá nebo spotřebovává, např. : Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i Osobní automobil, Kancelář nebo písek, PHM

30. Nástroje projektového řízení Zakladatel - Henry L. Gantt (1861 - 1919) • 1901 - první společnost pro řízení projektů • od řízení lidí k řízení projektů • první postupy - Ganttův diagram, časová osa, lineární diagram Hranově orientované grafy • Metoda kritické cesty - CPM (Critical Path Method) • Technika hodnocení a kontroly programů - PERT (Program Evaluation and Review Technique) • Grafická technika hodnocení a kontroly GERT (Graphical Evaluation and Review Technique) Uzlově orientované grafy • Metoda měření potenciálů v sítích - MPM (Metra Potential Method)

31. Graf = >Dvojice {U,V} U..množina vrcholů U={u1,u2,…,un} V..množina neuspořádaných dvojic prvků {ui,uj} z U .. tj. hrana Graf -konečný x nekonečný -cesta v grafu (posloupnost navazujících hran mezi uzly ui a uj) -souvislý x nesouvislý (resp. spojitý x nespojitý) -orientovaný x neorientovaný -cyklický x acyklický

32. Síť Síť je graf, který je: • spojitý • orientovaný • acyklický • má jeden počáteční a jeden koncový uzel

33. Časová analýza projektu Metoda CPM Pro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministická Výpočet • Celkové doby trvání projektu • Termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů • Časových rezerv pro uzly a činnosti • Určení kritické cesty

34. Grafické zobrazení činností Činnost A

35. Příklad Rekonstrukce výrobního provozu

36. Postup řešení metodou CPM • Tvorba hranově orientovaného grafu • Výpočet nejdříve možných počátků činností • Výpočet nejpozději přípustných počátků činností • Určení kritických činností a kritické cesty • Výpočet časových rezerv činností a uzlů

37. Výpočet časových rezerv nezávislá rezerva činnosti zvláštní rezerva činnosti volná rezerva činnosti celková rezerva činnosti

38. Řešení

39. Časová a pravděpodobnostní analýza projektu Metoda PERT Pro hranově orientované grafy, konjunktivě stochastická Výpočet • Celkové průměrné doby trvání projektu • Průměrných termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů • Průměrných časových rezerv pro uzly a činnosti • Určení pravděpodobné kritické cesty • Pravděpodobnosti, že projekt skončí dříve/později než je stanovený čas • V jakém čase projekt skončí s danou pravděpodobností

40. Příklad Rekonstrukce výrobního provozu

41. Grafické zobrazení uzlů

42. Postup řešení metodou PERT • Tvorba hranově orientovaného grafu • Výpočet nejpravděpodobnějších dob trvání činností • Časová analýza pravděpodobnostního charakteru (viz CPM) • Pravděpodobnostní analýza projektu

43. PERT – pravděpodobnostní analýza • Pravděpodobnost, že projekt skončí do stanoveného času = P(x), kde • Interval skutečného konce projektu s požadovanou pravděpodobností resp.