Presente

1. Presente • Asignaturas optativas: • -Análisis Funcional • -Ecuaciones en derivadas parciales: EDP • -Análisis de Fourier

2. Origen del Análisis Funcional La solución de ciertas ecuaciones integrales en un cierto espacio vectorial V de dimensión infinita está vinculada al valor “mínimo” de un cierto operador lineal T:V ……..>R. La genialidad de D. Hilbert consistió en proponer una ampliación del conjunto donde buscar los extremos (soluciones) que por supuesto ha de contener al conjunto V. Pero, ¿cómo agrandar? Es obvio que los nuevos elementos (funciones) habrían de ser menos regulares. La idea exigía que el conjunto sobre el que hemos de trabajar (que por supuesto debe contener al de partida V) ha de tener suficiente riqueza geométrica, para que nos asegure la existencia de estos extremos. La riqueza geométrica está inspirada en los espacios euclídeos R^2 y R^3, donde se sabe encontrar las mejores aproximaciones de un punto a una recta o a un plano. Introdujo así el concepto de espacio euclídeo de dimensión infinita, llamado más tarde espacio de Hilbert y muestra como las ecuaciones integrales son en realidad un sistema de “infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas”.

3. Nuevas disciplinas • Cálculo Variacional: • El problema de la braquistócrona, o curva de descenso mas rápido. • El problema de las geodésicas, esto es, aquellas curvas contenidas en una superficie regular que minimizan la distancia entre dos puntos de la misma. • El problema isoperimétrico. De entre todas las curvas cerradas de longitud dada encontrar aquella que, junto con el eje OX, encierra una superficie máxima. • Metodos indirectos: Métodos heredados de la minimizacion de funciones (dimensión finita) vía el calculo diferencial. Este método proporciona condiciones necesarias y suficientes. • Metodos directos. La idea fundamental es la extension del Teorema de Weierstrass a funciones definidas en espacios de dimension infinita: • Teorema. Sea F un funcional definido en un espacio de funciones V dotado de cierta nocion de convergencia para la que V es compacto y F es semicontinuo inferiormente. Entonces existe un mínimo de F en V .

4. Nuevas disciplinas • Teoría de operadores: • Teoría que extiende la teoría de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. De los vectores y valores propios de una matriz cuadrada se puede pasar  a la teoría de la estructura de operadores en ciertos espacios matemáticos.1 • D. Hilbert la denominó  teoría espectral  en su formulación original de la teoría del espacio de Hilbert, y fue introducida en términos de formas cuadráticas en infinitas variables. El posterior descubrimiento en mecánica cuántica de que la teoría espectral podría explicar las características del espectros atómicos fue por lo tanto fortuita. • Históricamente, hay tres modos principales de formular teoría espectral, todos los cuales mantienen su utilidad. • Tras la formulación inicial de Hilbert, el desarrollo posterior de espacios de Hilbert abstractos y la teoría espectral de un único operador normal  muy en paralelo con los requerimientos de la física, en particular de la mano de von Neumann.4 • La teoría se extendió posteriormente para incluir álgebras de Banach de forma abstracta. Este desarrollo conduce a la representación de Gelfand, que cubre el caso conmutativo. • Puede relacionarse con el estudio de la  transformada de Fourier.

5. Análisis Funcional Los espacios de Hilbert constituyen el germen para la posterior aparición de los espacios de Banach y han constituido uno de los motores fundamentales en el desarrollo del análisis funcional. El espíritu que dio lugar al Análisis funcional queda muy bien reflejado en las siguientes palabras atribuidas a S. Banach “ …el objetivo (…) es demostrar algunos teoremas que son ciertos para diferentes espacios funcionales. En lugar de probar los resultados para cada espacio particular, he optado por un enfoque diferente: considero en general un conjunto de elementos abstractos, para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas para esos conjuntos. Entonces pruebo que los distintos espacios funcionales particulares en los que estoy interesado satisfacen los axiomas postulados” (Tesis doctoral de S. Banach 1920)

6. Análisis funcional • Espacios de Hilbert • Espacios vectoriales +norma: Espacios normados. • Aplicaciones lineales y continuas: operadores • Teoría de operadores. • Líneas de investigación: • 1. Geometría de los espacios de Banach. • 2. Álgebras de Banach. • C*-álgebras

7. Material radiactivo • Se sabe que la vida media del isótopo de cantidad de plutonio Pu^239 es de 24700 años. ¿Cuánto tiempo se necesita para que 7 gramos se reduzcan a 1 gramo?

8. Ecuaciones diferenciales • Una ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) es una relación funcional F entre una función desconocida y de una sola variable x y sus derivadas, • F(x, y(x), y′(x), y^n)(x)) = 0, • Ejemplos: • (y′)^2 + 1 = 0 (1) • y′′ + y = 0 (2): • El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden contenida en ella. • El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada de mayor orden. • La ecuación (1) es de orden uno y grado 2 y la ecuación (2) es de orden 2 y grado 1.

9. Ecuaciones diferenciales

10. Problema de la cuerda vibrante B. Taylor (1685-1731) propuso en 1715, en su obra Methodusincrementorum directa et inversa, el problema de la cuerda vibrante. Se trata de determinar el movimiento de una cuerda elástica así como el tiempo de vibración de la misma si ésta es tensada mediante la aplicación de cierta fuerza externa y luego se deja libre. Supongamos que tenemos una cuerda perfectamente tensada, de longitud L , elástica, pinchada en el origen de coordenadas (0,0) y en el punto (L,0) y supongamos que tiramos de ésta hasta que alcance la forma de la función y=f(x), donde por supuesto hemos asumido que f(0)=f(L)=0 y f(x) es una función continua. Si soltamos la cuerda y la dejamos oscilar libremente, ¿qué formas adoptará a lo largo del tiempo?

11. Problema de la cuerda vibrante

12. Ecuaciones en derivadas parciales

13. EDP • Los ejemplos que surgieron en los siglos XVIII y XIX siguen representando un papel fundamental en la teoria moderna de EDP y en torno a ellos, o a variaciones de ellos, existen numerosos interrogan. • La teoría moderna de EDP surgió a finales del siglo XIX y principios del XX con contribuciones importantes de Poincaré y Hilbert, alcanzando un grado notable de contenido con el desarrollo en la primera mitad del siglo XX del análisis funcional. • Desde mediados de los años cincuenta del siglo pasado el uso de funciones generalizadas (distribuciones, espacios de Sobolev, etc.) y de la teoria de espacios de Hilbert, ha permitido avances muy importantes.

14. EDP No existen métodos generales de resolución efectivos sino para grupos de ecuaciones. El método más conocido de resolución es el de separación de variables, esto es, suponer que la solución es un producto de funciones de ambas variables. Supongamos que la ecuación sólo depende de dos variables (la idea es esencialmente la misma cuando hay más variables en juego). La idea consiste en buscar soluciones de la ecuación que atiendan a una descomposición de la forma u(x,t) = X(x)T(t) Esto tendrá el efecto de transformar la ecuación en derivadas parciales (EDP) bajo consideración en una o varias ecuaciones diferenciales ordinarias, cuya solución general hemos de buscar.

15. EDP • Ecuaciones clásicas. • Problemas de Cauchy(también llamado problema de valor inicial) consiste en resolver una ecuación diferencial sujeta a unas ciertas condiciones iniciales que deben conocerse para determinar con unicidad la estructura de la solución. El Teorema de existencia y unicidad de solucionesesdebido a Cauchy-Kovalevski: • Problemas de contorno(también llamado de contorno) consiste en resolver una ecuación diferencial sujeta a unas ciertas  condiciones de frontera o contorno El principio del máximo-mínimo (Los valores máximo y mínimo de la solución deben coincidir en el conjunto y en su frontera) El problema de Dírichlet: Consiste en hallar una función que es la solución de una (EDP) en el interior de un dominio conocidos sus valores en la frontera. Método de la función de Green, consiste en asociar a un operador lineal integral unacierta función que permite la resolución de problemas de contorno. La función de Green recibe ese nombre por el matemático británico George Green, que desarrolló el concepto hacia 1830. • Métodos de Fourier. Transformada de Fourier de una función, denominada así por Joseph Fourier, consiste en asociar a f una nueva función definida en términos de una integral dependiente de un parámetro.

16. EDP • Líneas de investigación : • ESTABILIDAD DE SOLUCIONES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE TIPO ELÍPTICO. DESIGUALDADES DE LYAPUNOV. • ANALISIS NO LINEAL Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. • MÉTODOS VARIACIONALES Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES ELÍPTICAS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA

17. Análisis de Fourier El análisis de Fourier surgió a partir del intento de J. Fourier por hallar la solución a un problema de conducción del calor en un anillo de hierro. La memoria de 1807 contenía investigaciones para una amplia gama de situaciones. En particular, en ella propone como Bernoulli, buscar las soluciones más sencillas que puede presentar este problema usando el método de separación de variables y afirmó que la solución viene dada como superposición de ellas.

18. Fourier entra en escena

19. Análisis de Fourier Hay que decir que mientras que las “series de Fourier” eran viejas conocidas a principios de siglo XIX, la nueva técnica de las integrales de Fourier sí debe ser considerada creación exclusiva de éste. La Teoría Analítica del Calor es considerada actualmente una de las obras maestras de la ciencia y la tecnología y, para los físicos, es sin duda uno de los documentos fundacionales de la física teórica. El impacto que ha tenido el Análisis de Fourier sobre las matemáticas, la física y las distintas ingenierías está fuera de duda y, de hecho, muchos piensan que la ciencia y la tecnología modernas no hubieran sido posibles sin el desarrollo correcto de las ideas de Fourier. Finalmente fue Dirichlet en 1829 quien demostró de forma precisa que la serie de Fourier de una función converge puntualmente (y, de hecho, uniformemente sobre ciertos compactos) para una clase amplia de funciones, incluyendo funciones con discontinuidades de salto

20. Análisis de Fourier Series de Fourier. Convergencia. Transformada de Fourier. Aplicaciones: procesamiento de señales, aplicaciones a la mecánica cuántica o la neurociencia. El estudio del sonido y de la luz y de la propagación de ondas. Filtrado de imágenes y sonido. Líneas de investigación: Técnicas algebraicas, armónicas, geométricas y topológicas en el estudio de los operadores en espacios de Banach

21. Temas para el control de 29 de abril de la asigTenatura “Historia de las Matemáticas I” (Análisis matemático). • 1. La matemática griega: concepto de la matemática como ciencia deductiva. Discusión sobre la existencia de elementos últimos indivisibles • 2. La matemática griega: concepto de la matemática como ciencia deductiva. Método de Eudoxo de Cnido. Ejemplo de uso. • 3. Estado del Cálculo en el siglo XVII. P. Fermat. • 4. El nacimiento del Cálculo. I. Newton. Coincidencias con G. Leibniz. • 5. El nacimiento del Cálculo. G. Leibniz. Coincidencias con I. Newton. • 6. Situación del Cálculo en el siglo XVIII. Uso y abuso del Cálculo. L. Euler. • 7. El siglo XIX. A. Cauchy • 8. El rigor y la axiomática. R. Dedekind. • 9. Rigor versus intuición.