Numerické řešení stlačitelného proudění v kanále a mříži

1. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Numerické řešení stlačitelného proudění v kanále a mříži Autor: Milan ŽALOUDEK Vedoucí práce: Doc. Ing. Jaroslav FOŘT, CSc.

2. zákon zachování hmoty zákon zachování hybnosti zákon zachování energie Výchozí rovnice Eulerovy rovnice uzavírací vztah normování

3. Matematická formulace úlohy systém nelineárních hyperbolických rovnic slabé řešení hledáme funkci W(x,y,t) na oblasti  2+ : • WK() – třída funkcí, ve které připouštíme existenci spočetně mnoha křivek, podél nichž funkce W nabývá různých konečných limitních hodnot zleva a zprava tyto křivky nazýváme rázové vlny popř. nespojitosti I. druhu mimo tyto křivky je funkce W spojitá • W splňuje rovnici pro libovolné t2>t1 a libovolnou oblast Ds dostatečně hladkou hranicí • W splňuje počáteční podmínky W(t=0)=W0 • W splňuje okrajové podmínky

4. Okrajové podmínky • objevují se celkem 4 základní druhy (vstup, výstup, stěna, periodicita) • při formulaci vycházíme z jednodimenzionální analýzy • podzvuková rychlost v normálovém směru ke vstupní hranici k výstupní hranici Obecná výpočtová oblast rovinného kanálu Obecná výpočtová oblast lopatkové mříže

5. Numerické řešení úlohy • cell-centered (hodnoty proměnných v těžišti objemu) diskretizace základních rovnic: R: obdélníkové pravidlo numerického integrování • výpočtová oblast je pokryta strukturovanou čtyřúhelníkovou sítí L: Eulerova dopředná aproximace

6. Aproximace toku v 1Dpomocí numerické metody AUSM AUSM = zkratka ang. Advection Upstream Splitting Method  schéma je založeno na struktuře řešení Riemannova problému  Eulerovy rovnice v 1D: vlastní čísla , kde  Machovo číslo rozhoduje o druhu režimu a o počtu kladných a záporných vlastních čísel  tok F rozdělíme na advektivní a tlakovou část dále upravíme  tento tok aproximujeme pomocí hodnot z L a R jako jejich vhodnou kombinaci  proto použité hodnoty formálně přeznačíme

7. Aproximace toku F na hranici mezi i-tou a (i+1)-ní buňkou • k určení MLR ,pLR používáme tzv. rozkládající (splitting) polynomy • v každé buňce vyčíslíme jednotlivé polynomy a jejich následnou kombinací získáme MLR a pLR • Požadavky na rozkládající polynomy (platí stejně pro M+/- i p+/-): • M+ , M- spolu se svými prvními derivacemi spojitě závislé na Machově čísle • vyjádřeny polynomem nejnižšího možného stupně • vlastní čísla jsou kladná, vlastní čísla jsou záporná • výraz LR je dán proměnnými pouze jedné hraniční buňky a to podle znaménka výsledného MLR

8. Rozkládající polynomy:

9. Rozšíření numerického schématu na 2D • zavedeme kladnou orientaci hran (a, b) • vektor jednotkové vnější normály • aproximovaný numerický tok přepíšeme • zavedeme matici rotace • Eulerovy rovnice jsou invariantní vůči rotaci  • dvourozměrný případ je založen na jednodimenzionálním rozkladu v normálovém směru • o režimu proudění rozhoduje Machovo číslo v normálovém směru

10. Zvyšování řádu přesnosti v prostorových proměnných • základní numerické schéma AUSM je prvního řádu přesnosti v prostoru • původní schéma používalo pouze hodnoty v těžištích • zvyšování řádu přesnosti je založeno na náhradě těchto hodnot „přesnějšími“ lineární rekonstrukce + limiter

11. Výpočet rekonstruovaných hodnot v buňce i Lineární rekonstrukce • nové hodnoty • strukturovaná čtyřúhelníková síť  rekonstrukce ve 2 nezávislých směrech • na každé buňce 2 lokálně jednodimenzionální rekonstrukce • několik způsobů, jak spočítat rekonstrukci v buňce i • upwind • downwind • centrálně

12. Limitery (omezovače) • od prováděných úprav požadujeme neoscilativní chování •  rekonstruované hodnoty na hranici i-1/2 musí ležet mezi Wi-1 a Wi •  rekonstruované hodnoty na hranici i+1/2 musí ležet mezi Wi a Wi+1 • samotná rekonstrukce 1), 2) nebo 3) nezaručí neoscilativní chování •  doplnění o vhodný limiter definujme funkce minmod a maxmod minmod limiter MC limiter superbee limiter Barthův limiter  speciální úprava rekonstrukce v okrajových buňkách

13. Numerická aproximace okrajových podmínek Předpokládáme: pracovní médium uloženo ve velkém zásobníkuze zásobníku dopraveno izoentropicky na vstupní hranici proudění výpočtovou oblastí výstup do prostředí se známým tlakem • VSTUP + VÝSTUP - podle druhu zadáme vždy vhodný počet parametrů - zbývající veličiny extrapolujeme ze 2 sousedních buněk • STĚNA - podmínka neprostupnosti stěny • PERIODICITA - periodická hranice má regulární buňky na obou stranách - numerický tok počítáme podle vzorce pro regulární hranici

14. Výsledky vlastnosti vyvinutého programu byly testovány na několika případech • koleno (kanál konstantního průřezu s otočením proudu o 90) • GAMM kanál • lopatková mříž DCA 8%

15. Koleno • výpočtová síť 16035 buněk • izočáry Machova čísla (zvýrazněná izočára M=1, přírůstek M=0.02) numerické schéma Ron-Ho-Ni výsledek převzatý z [1] 1. řád přesnosti vyšší řád přesnosti (minmod limiter) 1. řád přesnosti [1] Halama J.: 2D stacionární nevazké proudění v kanále, sem. práce z Vnitřní aerodynamiky, ČVUT, 1996

16. GAMM kanál • hrubá síť 90  30 buněk, jemná síť 150  45 buněk • tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,675 1. řád přesnosti – hrubá síť vyšší řád přesnosti (MC limiter – hrubá síť) vyšší řád přesnosti (MC limiter – jemná síť)

17. GAMM kanál – průběh Machova čísla podél stěn • vlastní výsledky: • jemná síť • minmod limiter • Barthův limiter porovnání s výsledky převzatými z [2] jiná síť, jiné numerické schéma (TVD MacCormack, Implicit WENO) [2] Kozel K., Fűrst J.: Numerické metody řešení problémů proudění I ČVUT Praha, 2001

18. lopatková mříž DCA 8% • Parametry výpočtu: • vyšší řád přesnosti s minmod limiterem • výpočtová síť 120 40 buněk • tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,833 • úhel nabíhajícího proudu =0,9

19. Závěr Cílem práce bylo vyvinout a odladit vlastní numerický program, pro řešení nevazkého stlačitelného proudění, založený na numerickém schématu AUSM. Tento cíl byl splněn. Dosahované výsledky jsou ve shodě s jinými numerickými výsledky i s fyzikálními předpoklady proudění. Další vývoj programu: • implementace a testování dalších variant AUSM schématu • přechod na stlačitelné vazké proudění • rozšíření na 3D úlohy

20. Děkuji za pozornost

21. Děkuji za pozornost

22. zákon zachování hmoty zákon zachování hybnosti zákon zachování energie Výchozí rovnice

23. rovinné proudění nevazká tekutina nulové hmotové síly žádné zdroje tepla  Eulerovy rovnice: zjednodušující předpoklady  uzavírací vztah  normování

24. Matematická formulace úlohy systém nelineárních hyperbolických rovnic  slabé řešení hledáme funkci W(x,y,t) na oblasti  2+ : • WK() • W splňuje rovnici pro libovolné t2>t1 a libovolnou oblast Ds dostatečně hladkou hranicí • W splňuje počáteční podmínky W(t=0)=W0 • W splňuje okrajové podmínky

25. Okrajové podmínky • celkem se objevují 4 základní druhy (vstup, výstup, stěna, periodicita) • vycházíme z jednodimenzionální analýzy • podzvukový vstup i výstup Obecná výpočtová oblast rovinného kanálu Obecná výpočtová oblast lopatkové mříže

26. Numerické řešení úlohy • metoda konečných objemů (FVM) • cell-centered (hodnoty proměnných v těžišti objemu) R: obdélníkové pravidlo numerického integrování L: Eulerova dopředná aproximace • výpočtová oblast je pokryta strukturovanou čtyřúhelníkovou sítí suma na R straně je aproximována pomocí numerického schématu

27. Numerické schéma AUSM v 1D AUSM = zkratka ang. Advection Upstream Splitting Method  schéma je založeno na struktuře řešení Riemannova problému  Eulerovy rovnice v 1D: vlastní čísla , kde  Machovo číslo rozhoduje o druhu režimu a o počtu kladných a záporných vlastních čísel  tok F rozdělíme na advektivní a tlakovou část dále upravíme  tento tok aproximujeme pomocí hodnot z L a R jako jejich vhodnou kombinaci  proto použité hodnoty formálně přeznačíme

28. Aproximace toku F na hranici mezi i-tou a (i+1)-ní buňkou • k určení MLR ,pLR používáme tzv. rozkládající (splitting) polynomy • v každé buňce vyčíslíme jednotlivé polynomy a jejich následnou kombinací získáme MLR a pLR • Požadavky na rozkládající polynomy (platí stejně pro M+/- i p+/-): • M+ , M- spolu se svými prvními derivacemi spojitě závislé na Machově čísle • vyjádřeny polynomem nejnižšího možného stupně • vlastní čísla jsou kladná, vlastní čísla jsou záporná • výraz LR, je dán proměnnými pouze jedné hraniční buňky a to podle znaménka výsledného MLR

29. Rozkládající polynomy:

30. Rozšíření numerického schématu na 2D • zavedeme kladnou orientaci hran (a, b) • vektor jednotkové vnější normály • aproximovaný numerický tok přepíšeme • zavedeme matici rotace • Eulerovy rovnice jsou invariantní vůči rotaci  • dvourozměrný případ je založen na jednodimenzionálním rozkladu v normálovém směru • o režimu proudění rozhoduje Machovo číslo v normálovém směru

31. Numerická aproximace okrajových podmínek • VSTUP - médium uloženo ve velkém zásobníku, kde má klidové parametry p0, 0 - ze zásobníku dopraveno izoentropicky na vstupní hranici - zadáváme klidové parametry p0, 0, úhel náběhu  - z proudového pole extrapolujeme Machovo číslo Min

32. Numerická aproximace okrajových podmínek • VÝSTUP - médium vystupuje z výpočtové oblasti do prostředí se známým tlakem p2 - tento tlak je dán poměrem - z proudového pole extrapolujeme první 3 složky vektoru W - zadáváme tlakový poměr - čtvrtou složku W dopočítáme podle • STĚNA - idealizovaný model nevazké stěny (žádná mezní vrstva, rychlostní profil...ap.) - podmínka neprostupnosti stěny - tlak na stěně pwallnahrazujeme tlakem v nejbližší buňce přilehlé ke stěně • PERIODICITA - periodická hranice má regulární buňky na obou stranách - numerický tok počítáme podle vzorce pro regulární hranici po úpravách

33. Zvyšování řádu přesnosti v prostorových proměnných • základní numerické schéma AUSM je prvního řádu přesnosti v čase a prostoru • původní schéma používalo pouze hodnoty v těžištích • zvyšování řádu přesnosti je založeno na náhradě těchto hodnot „přesnějšími“ lineární rekonstrukce + limiter

34. Lineární rekonstrukce • strukturovaná čtyřúhelníková síť  rekonstrukce ve 2 nezávislých směrech • 2 lokálně jednodimenzionální úlohy • několik způsobů, jak spočítat rekonstrukci v buňce i • upwind • downwind • centrálně • nové hodnoty - levá hranice buňky i : • - pravá hranice buňky i :

35. Limitery • požadujeme neoscilativní chování •  rekonstruované hodnoty na hranici i-1/2 musí ležet mezi Wi-1 a Wi •  rekonstruované hodnoty na hranici i+1/2 musí ležet mezi Wi a Wi+1 • samotná rekonstrukce 1), 2) nebo 3) nezaručí neoscilativní chování •  doplnění o vhodný limiter definujme funkce minmod a maxmod minmod limiter MC limiter superbee limiter Barthův limiter

36. Rekonstrukce v okrajových buňkách • předpokládáme, že hodnota daná okrajovou podmínkou je přesná  není třeba ji upravovat hodnota na okrajových hranách je bez rekonstrukce • na následující hraně používáme jednostrannou rekonstrukci bez limiteru Rekonstrukce s použitím minmod limiteru Porovnání rekonstrukcí s různými limitery

37. Výsledky vlastnosti vyvinutého numerického programu byly testovány na několika případech • koleno • GAMM kanál • lopatková mříž DCA 8%

38. Koleno • výpočtová síť 16035 buněk • izočáry Machova čísla (zvýrazněna izočára M=1, přírůstek M=0.02) 1. řád přesnosti vyšší řád přesnosti (minmod limiter)

39. GAMM kanál • hrubá síť 90  30 buněk, jemná síť 150  45 buněk • tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,675 1. řád přesnosti vyšší řád přesnosti hrubá síť (MC limiter – hrubá síť) vyšší řád přesnosti (MC limiter – jemná síť)

40. GAMM kanál – průběh Machova čísla podél stěn • vlastní výsledky: • jemná síť • minmod limiter • Barthův limiter porovnání s předchozími výsledky (TVD, WENO) jiná síť, jiné numerické schéma

41. lopatková mříž DCA 8% • Parametry výpočtu: • vyšší řád přesnosti s minmod limiterem • výpočtová síť 120 40 buněk • tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,833 • úhel nabíhajícího proudu =0,9