1 / 17

Boolean Algebra

Boolean Algebra. วัตถุประสงค์ของบทเรียน รู้จักพีชคณิตบูล (Boolean algebra) รู้จักวิธีการเขียนนิพจน์แบบบูล (Boolean expression) ในรูปแบบต่างๆ สามารถเขียนนิพจน์แบบบูลให้อยู่ในรูปแบบที่สั้นลงได้ ศึกษาวิธีแปลงนิพจน์แบบบูลไปเป็นวงจรผสม (combination circuit). Boolean Algebra.

nariko
Download Presentation

Boolean Algebra

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Boolean Algebra วัตถุประสงค์ของบทเรียน • รู้จักพีชคณิตบูล (Boolean algebra) • รู้จักวิธีการเขียนนิพจน์แบบบูล (Boolean expression) ในรูปแบบต่างๆ • สามารถเขียนนิพจน์แบบบูลให้อยู่ในรูปแบบที่สั้นลงได้ • ศึกษาวิธีแปลงนิพจน์แบบบูลไปเป็นวงจรผสม (combination circuit) A. Yaicharoen

  2. Boolean Algebra Boolean algebra คือระบบทางคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ชื่อ George Boole คิดขึ้นในปี ค.ศ. 1854 ซึ่งประกอบด้วย • เซ็ตของสมาชิก (B) • binary operation 2 อย่างคือ + และ . • เครื่องหมาย = • วงเล็บเพื่อแสดงลำดับของการทำ operation โดยที่ข้อความ (postulate) ต่อไปนี้ต้องเป็นจริงด้วย P1: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติปิด (closed) สำหรับทุก x,y  B x+y  B และ x.y  B A. Yaicharoen

  3. Boolean Algebra P2: เซ็ต B จะต้องประกอบด้วยสมาชิกที่มีคุณสมบัติเอกลักษณ์ (identity element) แสดงด้วย 0 หรือ 1 สำหรับทุก x  B 0+x = x+0 = x และ 1.x = x.1 = x P3: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ (commutative) สำหรับทุก x,y  B x+y = y+x และ x.y = y.x A. Yaicharoen

  4. Boolean Algebra P4: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติการกระจาย(distributive) สำหรับทุก x,y,z  B x+(y.z) = (x+y).(x+z) และ x.(y+z) = (x.y)+(x.z) P5: สำหรับทุกสมาชิก x ใน B จะต้องมี x' ซึ่งเป็น compliment ของ x ซึ่งจะทำให้ x+x' = 1 และ x.x' = 0 P6: ในเซ็ต B จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยสองตัวที่ไม่เท่ากัน x,y  B โดยที่ x  y A. Yaicharoen

  5. Boolean Algebra: Rules and Theories Principle of Duality:ในพีชคณิตบูลีน expression ทางซ้ายมือและทางขวามือของเครื่องหมาย = จะยังคงเป็นจริง เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายระหว่าง + กับ . และ 1 กับ 0 ทฤษฎีอื่นๆ - x' จะมีเพียงค่าเดียวโดยจะขึ้นอยู่กับค่า x - สำหรับทุกสมาชิก x ในเซ็ต B x+1 = 1 และ x.0 = 0 A. Yaicharoen

  6. Boolean Algebra: Rules and Theories - identity element จะเป็น complement ของidentity elementที่เหลือ 0' = 1 และ 1' = 0 - Idempotent law x+x = x และ xx = x - Involution law (x')' = x A. Yaicharoen

  7. Boolean Algebra: Rules and Theories - Absorption law x+xy = x และ x(x+y) = x - สำหรับทุกคู่ของสมาชิก x,y x+(x'.y) = x+y และ x.(x'+y) = xy - Operators + และ . มีคุณสมบัติ associative x+(y+z) = (x+y)+z และ x(yz) = (xy)z A. Yaicharoen

  8. Boolean Algebra: Rules and Theories - DeMorgan’s law (x+y)' = x' y' (xy)' = x' +y' (ในระบบดิจิตอล สมาชิกในเซ็ต B คือ 0 และ 1 เท่านั้น) • + คือ or-operation ในระบบลอจิก • . คือ and-operation ในระบบลอจิก A. Yaicharoen

  9. Boolean Formulas and Functions Boolean formula หรือ expression เป็นข้อความที่ประกอบด้วยค่าคงที่หรือตัวแปรทาง Boolean กับ Boolean operation ที่ใช้ในการอธิบายการทำงานของ Boolean function โดยจะอยู่ในรูปของ f(x,y,z) = Boolean expression หรือ f = Boolean expression โดยอาจจะอยู่ในรูปของ normal formula หรือ canonical formula A. Yaicharoen

  10. Canonical Formulas เป็นการเขียน Boolean function ขึ้นจาก truth table โดยในแต่ละเทอมจะต้องมีตัวแปรครบทุกตัวแปร มีสองรูปแบบคือ 1. Minterm canonical formulas แต่ละเทอมจะอยู่ในรูปของผลคูณ แล้วจึงนำมาบวกกัน 2. Maxterm canonical formulas แต่ละเทอมจะอยู่ในรูปของผลบวก แล้วจึงนำมาคูณกัน A. Yaicharoen

  11. Minterm Canonical Formulas อาจเรียกเป็น standard sum-of-products หรือ disjunctive canonical formulas สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ m-notation f(v1,v2,...,vn) = mi +mj +mk +ml โดยที่ 0  i,j,k,l  2n-1 หรือ f(v1,v2,...,vn) = m(i,j,k,l) A. Yaicharoen

  12. Maxterm Canonical Formulas อาจเรียกเป็น standard product-of-sums หรือ conjunctive canonical formulas สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ M-notation f(v1,v2,...,vn) = Mi Mj Mk Ml โดยที่ 0  i,j,k,l  2n-1 หรือ f(v1,v2,...,vn) = M(i,j,k,l) A. Yaicharoen

  13. Examples Normal form: f(x,y,z) = x'y+z Minterm canonical formulas: f(x,y,z) = x'yz'+x'yz+x'y'z+xy'z+xyz m-notation: f(x,y,z) = m2+m3+m1+m5+m7 f(x,y,z) = m(1,2,3,5,7) A. Yaicharoen

  14. Examples Normal form: f(x,y,z) = (x'+z).(y+z) Maxterm canonical formulas: f(x,y,z) = (x+y+z).(x'+y+z).(x'+y'+z) M-notation: f(x,y,z) = M0.M4.M6 f(x,y,z) = ∏M(0,4,6) A. Yaicharoen

  15. Boolean Expression Manipulation 1. Equation complementation เป็นการหา complement ของสมการโดยใช้กฎของ DeMorgan 2. Expansion about a variable เป็นการจัดให้อยู่ในรูป f(x1,...,xi,...,xn) = xig1+xig2 หรือ (xi+h1).(xi+h2) โดยที่ g1,g2,h1,h2 ไม่มี xi อยู่ด้วยเลย ซี่งจะใช้ Shannon’s expansion theorem ในการจัด f(x1,...,xi,...,xn) ให้อยู่ในรูป = xi.f(x1,...,1,...,xn)+xi'.f(x1,..., 0,...,xn) หรือ = [xi+f(x1,...,0,...,xn)].[xi'+f(x1,..., 1,...,xn)] A. Yaicharoen

  16. Boolean Expression Manipulation 3. Equation simplification เป็นการหารูปที่สั้นที่สุดของสมการ โดยใช้กฎต่างๆของ Boolean algebra 4. Reduction theorem เป็นวิธีการทำให้ได้รูปสมการที่สั้นลงโดย ใช้ Shannon’s reduction theorems ช่วยลดรูปสมการ xi.f(x1,...,xi,...,xn)=xi.f(x1,...,1,...,xn) หรือ xi+f(x1,..., xi,...,xn)=xi +f(x1,...,0,...,xn) และ xi'.f(x1,...,xi,...,xn)=xi'.f(x1,...,0,...,xn) หรือ xi'+f(x1,..., xi,...,xn)=xi' +f(x1,...,1,...,xn) A. Yaicharoen

  17. Boolean Expression Manipulation 5. จัดให้อยู่ในรูป Minterm canonical formulas 6. จัดให้อยู่ในรูป Maxterm canonical formulas 7. การหา complement ของ canonical formulas สามารถทำได้โดยการหาเทอมที่เหลืออยู่ในตารางค่าความจริง A. Yaicharoen

More Related