Cursul -10 Generari de suprafete

1. Cursul -10Generari de suprafete Caracterizam analitic suprafeţele care se obţin prin deplasarea unei curbe,numită generatoare, supusă anumitor restricţii geometrice (contact cu o curbă dată sau tangenţa la o suprafaţă dată ). Dacă familia de curbe depinde de un parametru, adică atunci suprafaţa pe care o descrie această familie de curbe, pentru R , se obţine eliminandparametrul  între cele două ecuaţii. Dacă familia de curbe din spaţiu depinde de doi parametrii,adică şi curbele acestei familii sunt supuse restricţiei de a avea contact cu o curbă dată, numită curbădirectoare, dată de ecuaţiile: atunci condiţia geometrică de contact a generatoarelor cu curba directoare este echivalentă cu compatibilitatea sistemului:

2. . Eliminînd nedeterminatele x,y,z între ecuaţiile sistemului obţinem condiţia, numită condiţia de compatibilitate: Dacă generatoarele suprafeţei sunt drepte, atunci suprafaţa va fi numită suprafaă riglată.Planul,cilindri, conurile, hiperboloidul cu o pânză, paraboloidul hiperbolic . Suprafeţe cilindrice Definiţia 1.Se numeşte suprafaţă cilindrică, suprafaţa  E3 generată de o dreaptă având direcţia fixă, supusă unei restricţii geometrice. Fiedirecţia dată de dreapta determinată de intersecţia planelor: 1 =0 şi 2=0, adică si curba directoare: Impunem conditia de compatibilitate a sistemului:

3. . Suprafeţe conice Definiţia 2.Se numeşte suprafaţă conică, suprafaţa  E3 generată de o dreaptă printr-un punct fix (numit vârf), supusă unei restricţii geometrice. Fie punctul fix V(xo,yo,zo) şi o dreaptă oarecare (d) prin V , scrisă sub forma: si curba directoare Obtinem conditia de compatibilitate: (,) = 0→ Conoizi cu plan director Definiţi 3.Se numeşte conoid cu plan director, suprafaţa  E3 generată de o dreaptă paralelă cu un plan dat (plan ditrector), se sprijină pe o dreaptă dată şi este supusă altei restricţii geometrice.

4. Să considerăm planul director dat de ecuaţia  = 0 , dreapta (d) :P = 0 şi Q = 0 şi curba directoare () : F (x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0 . generatoarea conoidului cu plan director: Suprafeţe de rotaţie Definiţia 4.Se numeşte suprafaţă de rotaţie suprafaţa  E3, generată de o curbă care se roteşte în jurul unei drepte date (axă de rotaţie). Fie curba ()şi axa de rotaţie Curba directoare estedata de: Obtinem conditia de compatibilitate:

5. Aplicatii: • Sa se determine ecuatia suprafetei cilindrice generata de dreptele paralele cu dreapta x - 2y + 1= 0, x – y + z = 0 si care intersecteaza curba x2 + 2y2 – z = 0. • Sa se scrie ecuatia suprafetei conice cu varful in origine avand curba directoare data de 3x2 + y2 – 2y – z = 0 si x + y + z -5 = 0. 3) Sa se scrie ecuatia suprafetei generate de dreptele care se sprijina pe dreapta raman paralele cu planul x – 2y – z = 0 si sunt in contact cu curba y – 2z +1 = 0, x2 – 2z – 1 = 0 . • Sa se determine suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea curbei x2 -2y2 + z2 – 5 = 0, x + z + 3 = 0 in jurul dreptei x = y = z .