Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás:

1. Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) • Alapfelállás: • Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). • A játék tárgya egy zárt mondat: P. • Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. • Az ellenfél automatikusan a másikat választja. • Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig P alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. • Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. A továbbiakban ennek az igazságát kell megvédenem. • Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis). • Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. • Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség.

2. Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. • Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. • Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). • Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

3. Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “xP(x)” igazságát állítom, akkor a természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa: 9.5 feladat HF: 9.10 Cél: egy szövegfájl (9.10_vezeteknev.doc, .docx vagy .rtf) tizenkét mondattal (angol vagy magyar, tetszés szerint).

4. Logikai igazságok, helyes következtetések – újak és régiek x Él(x) x Virul(x) x(Él(x)  Virul(x)) x Él(x) x Virul(x) x Él(x)  x Virul(x) x Él(x)  x Virul(x)  x (Él(x)  Virul(x)) x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x) Elsőrendű következmény(FOCon) Kijelentéslogikai következmények(TautCon)

5. Hasonlóképpen logikai igazságokkal: xTet(x) xTet(x) logikai igazság (tautológia) xTet(x) xTet(x) nem logikai igazság x(Tet(x) Tet(x)) (FO) logikai igazság, de nem tautológia. xTet(x)   xTet(x) ugyancsak FO logikai igazság, de nem tautológia. xTet(x)   xTet(x) tautológia. Definíció: Az elsőrendű nyelv egy mondata tautológia, ill. egy következtetése tautologikusan helyes (másképp: a konklúzió tautologikusan következik a premisszákból), ha a kijelentéslogikai formája tautológia, illetve helyes kijelentéslogikai következtetési séma. Emlékeztető: a kijelentéslogikai forma úgy áll elő, ha a kijelentéslogikában tovább nem bontható részmondatokat mondatbetűkkel helyettesítjük. A tárgyalási univerzum nem lehet üres!

6. Algoritmus a kijelentéslogikai (truth-functional) forma előállítására az elsőrendű nyelv egy zárt mondatából: Balról jobbra elkezdjük olvasni a mondatot. Ha kvantorhoz érünk, elkezdünk egy aláhúzást, amely a kvantifikáció hatókörének végéig tart. Ha predikátumhoz érünk, aláhúzzuk azt az atomi mondatot, amelyben ő a predikátum. Ha az, amit aláhúztunk, még nem szerepelt korábban, akkor megcímkézzük egy új mondatbetűvel. Ha szerepelt, akkor azzal a betűvel címkézzük meg, amivel az azonos mondatot korábban. Ezután tovább folytatjuk az olvasást az aláhúzás végétől jobbra. Ha a formula végére értünk, kész vagyunk az annotálással. Ezután minden részmondatot a címkéjével helyettesítünk. KÉSZ. Példa: (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) (zDodec(z)  Cube(a)))(xCube(x)  Cube(a))

7. HF: 10.3, 10.4 Centrális logikai fogalmak az elsőrendű logikában Elsőrendű logikai igazság, avagy érvényes mondat (FO validity) Elsőrendű (logikai) következmény, avagy elsőrendben érvényes következtetés Elsőrendű ekvivalencia Mindegyik a megfelelő általános fogalom specifikációja azzal a megszorítással, hogy „az elsőrendű logika konstansainak (konnektívumok kvantorok, azonosságjel) jelentéséből adódóan”. Mindegyik tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia). Pontosabb definíciót keresünk, elsősorban az érvényes következtetésre.